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第二章 方程与不等式
2.3 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，一元二次方程的相关概念和解法、根的判别式、根与系数的关系、实际应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为10分左右。
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 ☆☆
考点3 一元二次方程的应用 ☆☆
预计2025年浙江中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
1
3
■考点一　一元二次方程的相关概念及解法 3
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 6
■考点三　一元二次方程的实际应用 9
14
24
■考点一　一元二次方程的相关概念及解法
1.一元二次方程的相关概念 概念：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 次的 方程，叫做一元二次方程。
一般形式：，其中：a是 系数，b是 系数，c是 。
一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边 的未知数的值，就是该一元二次方程的解。
2.直接开平方法：适合于或形式的方程。
3.配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为 ；
（3）方程两边同时加上 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程。
4.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 。
5.公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，则将根据求得方程的解；若b2-4ac＜0，则方程无解。
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的 来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式，记为△。
（1）当△＞0时，方程有两个 的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个 的实数根；
（3）当△＜0时，方程 实数根。
2.根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则 ．
■考点三　一元二次方程的实际应用
1.利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤，即审、设、列、解、验、答六步．
2.增长率等量关系
设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有 ．
3.利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量
4.面积问题：常用平移法解决面积问题
5.碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；
则m= 。
（2）不重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
则m= 。
■考点一　一元二次方程的相关概念及解法
◇典例1：（2024·浙江·模拟预测）若是方程的一个根，则（ ）
A． B． C．2 D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（2023·浙江湖州·二模）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根．
(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
(2)请选择合适的方法求解此方程．
◆变式训练
1．（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：(1)；(2)解方程：．
◇典例3：（2024·湖北·二模）已知，则的值为__________．
◆变式训练
1．（2020·湖北荆州市·中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，原方程可化为：，
续解：
2.（2024·广东·九年级专题练习）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵ ∴ ∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◇典例4：（2024·浙江·三模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关
◇典例5：（2024·河北·模拟预测）已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ）
淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为
A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·三模）方程的一个根为，则另一个根为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
◇典例6：（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
◆变式训练
1.（2023年四川省乐山市中考数学真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为 ．
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程．
(1)若方程的一个实根是3，求实数的值．(2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
■考点三　一元二次方程的实际应用
◇典例8：（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为（），则有（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南红河·模拟预测）如图是由一些等边三角形“△”堆成的“金字塔”图形，它的下一排依次比上一排多一个“△”；若第个图形的“△”的个数为45个，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例9：（2024·江西赣州·二模）艾米粿是客家人的传统美食，不仅风味独特，还能温肺健脾，散寒除湿，某顾客在一美食商铺购买素馅艾米粿6个，肉馅艾米粿4个，共付款24元．已知肉馅艾米粿单价是素馅艾米粿的1.5倍．(1)求素馅艾米粿和肉馅艾米粿的单价；
(2)美食商铺为了促销，购买艾米粿达20个及以上时实行优惠，下表列出了小张、小廖的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
素馅艾米粿 肉馅艾米粿 付款金额
小张 30 10 70
小廖 20 20 80
①根据上表，求素馅艾米粿和肉馅艾米粿优惠后的单价；②为进一步提升艾米粿的销量．美食商铺将艾米粿打包成，两种包装销售，每包都是40个艾米粿，其中种包装中有个素馅艾米粿，包装中有个肉馅艾米粿（包装成本忽略不计），按①冲优惠后的单价销售三天后统计发现，，两种包装的销量分别为包，包，销售总额为6960元．求的值．
◆变式训练
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）科技创新活动一直在路上．现将某品牌平面展示屏设计与生产过程中收集的精准数据统计如下：
信息数据一：屏占比，指的是屏幕面积与整个外观面积的比，计算公式为：屏占比
信息数据二：某厂商设计了该款版平面展示屏（如图），正面外观呈矩形，长，宽，正中央是长宽之比为的矩形屏幕，若要使屏占比达到，且左右边框等宽，均为，上下边框等宽，均为，应如何设计屏四周边框的宽度？
信息数据三：在上述版平面展示屏的升级版版中，外观保持不变，对屏的长宽进行调整，调整之后使得左右边框的宽度各减少了，上下边框的宽度各减少了，从而使屏占比进一步提升至．(1)求，的值；(2)求的值．
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
4．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
10．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
11．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A． B． C． D．
12．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
13．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．

14．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
15．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
16．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
17．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
18．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
19．（2024·上海·中考真题）解方程组：．
20．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
21．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若，且，，都是整数，求的值．
22．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；
(2)求，；(3)已知，求的值．
23．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
24．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
1．（2024·浙江·模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·浙江·一模）取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去4个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），则这张长方形纸板的周长为（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·安徽蚌埠·三模）安徽省某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着国务院《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》的推出及当地汽车购置税优惠政策，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加了22万辆，如果设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，那么可得方程（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
9．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
10．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ．
11．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
12．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
13．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ．
14．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为 ．
15．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下：
解： ①
， ②
， ③
． ④
(1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号；(2)写出你的解答过程．
16．（2024·安徽滁州·模拟预测）在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
(1)用含，的代数式表示的长．(2)图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由．

17．（2024·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根．(2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根．
18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的例题，范例：解方程，
解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是，
请参照例题解方程
19．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的对称轴为，且．
(1)当时，求方程的根；(2)当时，求证：；
(3)已知该二次函数的图象与x轴交于两点，（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点，若，且为直角三角形，求该二次函数的表达式．
20．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克．
(1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率；
(2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元．
设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式．
现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元．
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第二章 方程与不等式
2.3 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，一元二次方程的相关概念和解法、根的判别式、根与系数的关系、实际应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为10分左右。
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 ☆☆
考点3 一元二次方程的应用 ☆☆
预计2025年浙江中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
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■考点一　一元二次方程的相关概念及解法 3
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 6
■考点三　一元二次方程的实际应用 9
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■考点一　一元二次方程的相关概念及解法
1.一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个 未知数，并且未知数的最高次数是2 次的整式 方程，叫做一元二次方程。
一般形式：，其中：a是二次项 系数，b是一次项 系数，c是常数项 。
一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值，就是该一元二次方程的解。
2.直接开平方法：适合于或形式的方程。
3.配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项 ；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程。
4.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 。
5.公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，则将根据求得方程的解；若b2-4ac＜0，则方程无解。
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号 来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式，记为△。
（1）当△＞0时，方程有两个不相等 的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个相等 的实数根；
（3）当△＜0时，方程没有 实数根。
2.根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则， ．
■考点三　一元二次方程的实际应用
1.利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤，即审、设、列、解、验、答六步．
2.增长率等量关系
设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有 ．
3.利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量
4.面积问题：常用平移法解决面积问题
5.碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；
则m=n（n－1） 。
（2）不重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
则m=n（n－1） 。
■考点一　一元二次方程的相关概念及解法
◇典例1：（2024·浙江·模拟预测）若是方程的一个根，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：把代入一元二次方程得到，得，解得，．故选：D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·二模）已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴；故选B．
2．（2023·浙江湖州·二模）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】2
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，故答案为：2．
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根．
(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
(2)请选择合适的方法求解此方程．
【答案】(1)两位同学均错 (2)，
【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确．
（2），，或，所以，．
◆变式训练
1．（2024·浙江金华·二模）用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【详解】解：∴，∴，∴，∴，故选：A．
2．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：，
，
或，
所以，． 故选：B．
3．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：(1)；(2)解方程：．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：分解因式得：，即，，故．
◇典例3：（2024·湖北·二模）已知，则的值为__________．
【答案】１
【详解】解：设 ，由原方程得，
解得，或（舍去）所以， 故答案为：1
◆变式训练
1．（2020·湖北荆州市·中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，原方程可化为：，
续解：
【答案】，．
【详解】续解：，，
解得，（不合题意，舍去），，
，，，经检验都是方程的解．
2.（2024·广东·九年级专题练习）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵ ∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2(2)当时，有最大值(3)证明见详解
【解析】(1)解：由题意得：，
∵∴∴当时，有最小值．
(2)解：由题意得：，
∵∴∴当时，有最大值．
(3)解：由题意得：=
=；
∵∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◇典例4：（2024·浙江·三模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，即，
∵原方程有实数根，∴，解得，
∴实数的取值范围是且， 故选：C ．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，或．故选：C．
2．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程，该方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关
【答案】C
【详解】解：由题意得， ，
∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．
◇典例5：（2024·河北·模拟预测）已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ）
淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为
A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对
【答案】A
【详解】淇淇的解法：根据韦达定理：，，
；
嘉嘉的解法：，，解得：，
，，，
原式，嘉嘉，淇淇都对，故选：A．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·三模）方程的一个根为，则另一个根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，解得，
即方程的另一个根为，故选：．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
【答案】/
【详解】解：，，，
，、可看作方程的两根，，，
，．故答案为：．
◇典例6：（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：的两个实数根，
，解得：，由题可得：，，
，即，
将，，代入得，即，解得，，
，，故答案为：．
◆变式训练
1.（2023年四川省乐山市中考数学真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，∴，
∵，∴，∴，故选：C．
2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为 ．
【答案】2
【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，由题意得：，，
∴，∴，解得：，经检验：是分式方程的解，
检验：，
∴符合题意，∴．故答案为：2．
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程．
(1)若方程的一个实根是3，求实数的值．(2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根．
【答案】(1) (2)见解析
【详解】（1）解：由题意，得：，解得：；
（2）∵，
∴；∴无论取什么实数，方程总有实数根．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：，原方程为，解得：；
（2）证明：中，，
，，，，此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为，
，
，，即，．
■考点三　一元二次方程的实际应用
◇典例8：（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：，故选：D．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·二模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为（），则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为（）根据题意得： 故选：C．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设矩形门高为尺，则矩形门宽为尺，
由题意得，，故选：B．
3．（2024·云南红河·模拟预测）如图是由一些等边三角形“△”堆成的“金字塔”图形，它的下一排依次比上一排多一个“△”；若第个图形的“△”的个数为45个，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，解一元二次方程，关键是能根据观察图形变化，能够猜想、验证、归纳出此题规律，并能运用此规律解决相关问题．找出规律，第个图形有个“△”，再解一元二次方程即可．
【详解】解：第1个图形有1个，第2个图形有个，
第3个图形有个，第4个图形有个，，
则第个图形有个，∴，解得：或（舍），故选：C．
4．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为；故选：B．
◇典例9：（2024·江西赣州·二模）艾米粿是客家人的传统美食，不仅风味独特，还能温肺健脾，散寒除湿，某顾客在一美食商铺购买素馅艾米粿6个，肉馅艾米粿4个，共付款24元．已知肉馅艾米粿单价是素馅艾米粿的1.5倍．(1)求素馅艾米粿和肉馅艾米粿的单价；
(2)美食商铺为了促销，购买艾米粿达20个及以上时实行优惠，下表列出了小张、小廖的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
素馅艾米粿 肉馅艾米粿 付款金额
小张 30 10 70
小廖 20 20 80
①根据上表，求素馅艾米粿和肉馅艾米粿优惠后的单价；②为进一步提升艾米粿的销量．美食商铺将艾米粿打包成，两种包装销售，每包都是40个艾米粿，其中种包装中有个素馅艾米粿，包装中有个肉馅艾米粿（包装成本忽略不计），按①冲优惠后的单价销售三天后统计发现，，两种包装的销量分别为包，包，销售总额为6960元．求的值．
【答案】(1)素馅艾米粿的单价为2元，肉馅艾米粿的单价为3元
(2)①素馅艾米粿优惠后的单价为1.5元，肉馅艾米粿优惠后的单价为2.5元；②10
【详解】（1）设素馅艾米粿的单价为元，肉馅艾米粿的单价为元；
由题意可得：，解得：，（元）
答：素馅艾米粿的单价为2元，肉馅艾米粿的单价为3元；
（2）①设素馅艾米粿优惠后的单价为元，肉馅艾米粿优惠后的单价为元，
由题意可得：，解得：，
答：素馅艾米粿优惠后的单价为1.5元，肉馅艾米粿优惠后的单价为2.5元；
②由题意可得：，
化简得：解得：，（舍去），．
◆变式训练
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）科技创新活动一直在路上．现将某品牌平面展示屏设计与生产过程中收集的精准数据统计如下：
信息数据一：屏占比，指的是屏幕面积与整个外观面积的比，计算公式为：屏占比
信息数据二：某厂商设计了该款版平面展示屏（如图），正面外观呈矩形，长，宽，正中央是长宽之比为的矩形屏幕，若要使屏占比达到，且左右边框等宽，均为，上下边框等宽，均为，应如何设计屏四周边框的宽度？
信息数据三：在上述版平面展示屏的升级版版中，外观保持不变，对屏的长宽进行调整，调整之后使得左右边框的宽度各减少了，上下边框的宽度各减少了，从而使屏占比进一步提升至．
(1)求，的值；(2)求的值．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由题可得的矩形屏幕的长为，宽为，
∵正中央是长宽之比为的矩形屏幕，∴①，∵外观呈矩形，长，宽，
∴，即②，联列①②可解得，．
（2）由题可得屏幕外观呈矩形，长，宽，原左右边框宽均为，上下边框等宽，均为，矩形屏幕的长为，宽为，
∴减小边框后，屏幕长为，屏幕宽为，
∴屏占比为，解得，（舍），故．
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【答案】（1）；（2）路面设置的宽度符合要求；（3）可以，理由见解析．
【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即
解得：纵向道路宽度的取值范围为故答案为：；
（2）根据题意可得：整理得：解得：，
符合题意路面设置的宽度符合要求；故答案为：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，根据题意得：
整理得：解得：，
符合题意假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得，故选：D．
2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得：，故选：C．
3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【详解】解：由题意得：，解得：或（舍）故选：C．
4．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】解：∵方程无实数根，∴，
解得：，则函数的图象过二，四象限，而函数的图象过一，三象限，
∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，故选：A．
5．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：故选B．
6．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根，．
，，∴，解得，
经检验，是原分式方程的解，故选：B．
7．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
则2023年平均每公顷产，根据题意有：，故选：A．
8．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：，故选：B．
9．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【详解】解：∵，∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，解得且，故选：D．
10．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【详解】解： ∵，∴，
∴ ，
，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．
11．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；故选：B．
12．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
【答案】或/或
【详解】解：当时，．
当时，可得，解得：，符合题意；
当时，可得，解得：，不符合题意；
当时， ，则∴．
∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，
∴，解得：，，解得：，即．
综上可得，实数m的取值范围是或．故答案为：或．
13．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．

【答案】 6 /
【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，∴，解得，故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，∴，∴，∴，
∵有且只有一个的值，∴，∴，
解得（舍去），故答案为：．
14．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，
由题意得，，故答案为：．
15．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故答案为：12．
16．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【详解】∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6
∵∴的最小值6答案为：6．
17．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程有一个根为，∴，解得：．故答案为：4．
18．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵而，
∴①当时，则有，解得，；
②当时，，解得，
综上所述，x的值是或，故答案为：或．
19．（2024·上海·中考真题）解方程组：．
【答案】，或者，．
【详解】解：，由得：代入中得：
，，
，，解得：或，
当时，，当时，，
∴方程组的解为或者．
20．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
【答案】或
【详解】解：设方程的两个根为，则，
由条件知，即且，故．
则方程为．
当，即时，关于x的方程为有实数根，
不等式即为，则，或．
当时，，．
又是正整数，且，，但使不等式的分母无意义．
综上，不等式的解为：或．
21．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若，且，，都是整数，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，∴，解得：；
（2）解：∵，由（1）得，∴，∴整数的值有，，，
当时，方程为，解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
22．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；
(2)求，；(3)已知，求的值．
【答案】(1)，；(2)，；(3)．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，故答案为：，；
（2）解：∵，，∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，∴，∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，∴，∴，∴，解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；∴．
23．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，由题意得：，
整理得：，解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
24．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；(2)不能(3)一共能摆放20排．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；故答案为：36；120；；
（2）解：不能，理由如下：由题意得，得，
，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，由题意得，
得，即，解得或（舍去），∴一共能摆放20排．
1．（2024·浙江·模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：①解方程 ，∴或，
解得，，，得，，方程不是倍根方程；故①不正确；
②∵，则：，，，
，因此是倍根方程，故②正确；
③若是倍根方程，，因此或，
当时，，当时，，
，故③正确；故选：C．
2．（2024·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，将方程 的两边都除以得，
∵，，∴，为方程的两个实数根，
∴．故选：A．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，∴，∴，故选：B．
4．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】∵ ，，∴，
整理，得，解得或，故选C．
5．（2023·浙江·一模）取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去4个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），则这张长方形纸板的周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设这张长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，根据题意，得，
解方程，得（不合题意，舍去），，∴厘米，
∴厘米．∴这张长方形纸板的周长为84厘米．故选：D．
6．（2024·安徽蚌埠·三模）安徽省某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着国务院《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》的推出及当地汽车购置税优惠政策，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加了22万辆，如果设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，那么可得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，，故选：A．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：∵是四次三项式，
∴，解得：，∴方程，转化为：，
∵方程有实数根，∴，，∴，，
∴；故选A．
8．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
【答案】C
【详解】解：方程中，，，，
，此时方程无实数根，珍珍说得对．故选：．
9．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【详解】根据题意得，解得，
方程化为，把代入得，解得，
∴，∴，∴或，∴．故选D．
10．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：∵方程有一个解为，
∴∴即
∴解得： 故答案为：．
11．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
【答案】①②④
【详解】解：若，则，∴，故①是真命题；
若该方程的两根为和1，则，∴，∴，故②是真命题；
若有两个相等的实数根，则，
∴的判别式：，
∵a的符号不确定，∴方程根的情况不确定，故③是假命题；
若r是该方程的一个根，则，∵，∴，
∴，∴，∴是的一个根，故④是真命题；故答案为：①②④．
12．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ．
【答案】13
【详解】解：、为实数，且满足，，，，
、是方程，即的两个根，或；
①当，时，，即；
②当，时，，即，不合题意；
综上所述，；故答案为：13．
13．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 5 485
【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，
设较小的正奇数为，则另一个正奇数为，
，，
利用求根公式得：或(舍)，
∴当为正奇数时，为“彗星数”，
，，
∵为正奇数，∴为整数，∴也必须为整数，为偶数，令，p为正整数，，
∵∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大，
∵p为正整数∴当时，n有最小值为，此时
∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，，
，∴当时，的最大值是485，
∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485．故答案为：5，485．
14．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为 ．
【答案】6
【详解】
又可知和是方程的两个根
那么有
，时，随的增大而增大时，有最小值，最小值是
故答案为：6．
15．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下：
解： ①
， ②
， ③
． ④
(1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号；
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)第②步开始出现错误(2)见详解
【详解】（1）解：第②步开始出现错误；原②过程应改为，则或，
（2），
，
则，
或，
解得，．
16．（2024·安徽滁州·模拟预测）在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
(1)用含，的代数式表示的长．(2)图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由．

【答案】(1)；(2)，理由见解析．
【详解】（1）解：，，，，
；
（2）线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下：
设，则，在中，由勾股定理得：，
整理得：，线段的长是一元二次方程的一个正根
17．（2024·浙江宁波·三模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根．(2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x，则，解得，故该方程的另一个根为3．
18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的例题，范例：解方程，
解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是，
请参照例题解方程
【答案】，
【详解】解：
①当时，此时，原方程化为，即
解得：，（舍）；
②当时，此时，原方程化为，即，
解得：，（舍），
∴原方程的根是，．
19．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的对称轴为，且．
(1)当时，求方程的根；(2)当时，求证：；
(3)已知该二次函数的图象与x轴交于两点，（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点，若，且为直角三角形，求该二次函数的表达式．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【详解】（1）解：当时即，
由，得，而，则，所以，∴
又，故解得；
（2）解：由题意得，又，所以，
因为，且，所以，，故，所以；
（3）解：由于点A在点B的左侧，因此，又，所以，
而由得到是方程的根，故，，所以，，
所以该二次函数图象的对称轴为，得，又，所以，
由于为直角三角形，只能为，∴，∴，
∵，∴，∴，
所以，故，故，由于点位于y轴的负半轴，所以，解得，
又因为，故，所以，因此，所求二次函数的解析式为．
20．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克．
(1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率；
(2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元．
设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式．
现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元．
【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为；
(2)；每千克应涨价元．
【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率，
由题意得：，解得：，（舍去）；
答：月份到月份的销售量月平均增长率为；
（2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，；
由题意得：，解得 或，
由于要尽可能的给予顾客优惠， 所以
答：每千克应涨价元．
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