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11.3一元一次不等式组培优练习人教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．下列各式不是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．关于x的不等式组的解集中每一个值均不在﹣1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1或a＞4.5 B．a≤1或a≥4.5
C．a＞4或a＜1.5 D．a≥4或a≤1.5
4．对a，b定义一种新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23
5．如果关于x的不等式组有且只有5个整数解，且关于y的方程3y+6a＝22﹣y的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．已知点P（m，m+2）在第二象限，则m的取值范围是　 　．
7．关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围是　 　．
8．若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 　 　．
9．若关于x，y的方程组的解满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是 　 　．
10．大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 　 　．
三、解答题
11．解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
12．已知关于x，y的方程组的解都小于1，且关于x的不等式组无解．
（1）分别求出m和n的取值范围；
（2）化简：|m+3|+|1﹣m|+|n+2|．
13．新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
（1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
（2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
14．对x，y定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，b均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1．
（1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，请求出该定值．
15．阅读运用：
对x，y定义一种新运算，规定T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：T（0，1）＝a 0+2b 1﹣1＝2b﹣1，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
（1）求a，b的值；
（2）求T（3，﹣6）；
（3）若关于m的不等式组 恰有2个整数解，求实数P的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B C B B B
二、填空题
6．已知点P（m，m+2）在第二象限，则m的取值范围是　﹣2＜m＜0　．
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得．
【解答】解：已知点P（m，m+2）在第二象限，依题意得：
，
解得：﹣2＜m＜0，
∴m的取值范围是﹣2＜m＜0，
故答案为：﹣2＜m＜0．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点坐标的特征是解题关键．
7．关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围是　a＜﹣1或a＞0　．
【分析】由题意分类讨论a的范围，先判断a＞0时满足条件，当a＜0时，再根据，求出a的范围即可．
【解答】解：∵关于x的不等式组的解集有解，则a≠0，
∴当a＞0时，满足不等式组 的解集有解；
当a＜0时，不等式组 ，即 ，
∵它有解集，
∴，
解得a＜﹣1，
综上可得，a的范围为a＜﹣1或a＞0，
故答案为：a＜﹣1或a＞0．
【点评】本题主要考查其它不等式的解法，分类讨论是关键．
8．若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 　m≤2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解x﹣1＞1，得：x＞2，
∵不等式组的解集是x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．若关于x，y的方程组的解满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是 　﹣4＜k＜0　．
【分析】两方程相加得4x+4y＝k+4，由0＜x+y＜1知0＜4x+4y＜4，据此可得0＜k+4＜4，解之即可．
【解答】解：两方程相加得4x+4y＝k+4，
∵0＜x+y＜1，
∴0＜4x+4y＜4，
则0＜k+4＜4，
解得﹣4＜k＜0，
故答案为：﹣4＜k＜0．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据题意列出关于k的不等式组．
10．大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是 　51人或59人　．
【分析】设共分为x组，根据每个小组8人，则还余3人，每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，表示出该班人数以及不等式组，进而可求出班级人数．
【解答】解：设八年级网络班级计划将全班同学分成x组，由题意得：
∵若每个小组8人，则还余3人，
∴该班人数为：8x+3，
∵若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，
根据题意得出不等式组：
，
解得：5＜x＜8，
∴该班可分为6组或7组，
∴该班有：6×8+3＝51人，或7×8+3＝59人，
故答案为：51人或59人．
三、解答题
11．解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
【分析】先分别解两个不等式得到x≤3和x＞﹣1，再利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集，接着在数轴上表示其解集，然后写出它的整数解．
【解答】解：解不等式①得x≤3，
解不等式②得x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
解集在数轴上表示为：
不等式组的整数解为0，1，2，3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．也考查了在数轴上表示不等式组的解集．
12．已知关于x，y的方程组的解都小于1，且关于x的不等式组无解．
（1）分别求出m和n的取值范围；
（2）化简：|m+3|+|1﹣m|+|n+2|．
【分析】（1）解不等式组求得x、y，根据方程组的解都小于1可得关于m的不等式组，解不等式组可得m的取值范围；解不等式组可得关于n的范围，根据不等式组无解可得关于n不等式组，解不等式组可得n的范围；
（2）由（1）中m、n的范围，根据绝对值性质去绝对值符号，再去括号、合并同类项可得．
【解答】解：（1）解方程组得：．
依题意得：，解得：﹣3＜m＜1，
解不等式组得：x≥﹣5且x≤2n﹣1，
∵该不等式组无解，所以2n﹣1＜﹣5，
解得：n＜﹣2；
（2）﹣3＜m＜1，n＜﹣2，
则原式＝m+3+1﹣m﹣n﹣2＝2﹣n．
【点评】本题是考查解不等式组、解二元一次方程组，绝对值的化简，是中考常出现的题型．
13．新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
（1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
（2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）根据“购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元”列方程组求解；
（2）根据“利润＝单利润×数量”列出函数表达式，再根据函数的性质求解．
【解答】解：（1）设每副春联的进价x元，每对窗花的进价y元，
则，
解得：，
答：每副春联的进价8元，每对窗花的进价3元；
（2）设购进a副春联，销售为w元，
∴w＝（15﹣8）a+（6﹣3）（300﹣a）＝4a+900，
∵，
解得：50≤a≤80，
∵4＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝80时，w取最大值，为：4×80+900＝1220（元），
∴购进80副春联时销售利润最大，最大利润为1220元．
【点评】本题考查了一元一次不等式及方程组的应用，找到相等关系或不等关系三解题的关键．
14．对x，y定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，b均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1．
（1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，请求出该定值．
【分析】（1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
②把a与b的值代入确定出θ（x，y）＝4x+y+1，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可；
（2）利用新定义θ（n﹣m，3m+2）+n＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1+n，变形后得出（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1，由不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，即可得出，解得，代入﹣2b+1，即可求得θ（n﹣m，3m+2）+n．
【解答】解：（1）①∵θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12，
∴，
解得：a＝2，b＝﹣1；
②由①得：θ（x，y）＝4x+y+1，
∵，
∴，
解得：，
∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解，
∴2026＜2p﹣3≤2027，
∴1014.5＜p≤1015；
（2）θ（n﹣m，3m+2）+n＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1+n＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1，
∵不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，
∴，
解得，
∴θ（n﹣m，3m+2）+n＝﹣2，
∴该定值为．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组，掌握新运算，找出关于a，b的二元一次方程组是解题的关键．
15．阅读运用：
对x，y定义一种新运算，规定T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：T（0，1）＝a 0+2b 1﹣1＝2b﹣1，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
（1）求a，b的值；
（2）求T（3，﹣6）；
（3）若关于m的不等式组 恰有2个整数解，求实数P的取值范围．
【分析】（1）根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）根据新定义计算即可；
（3）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数p的取值范围．
【解答】解：（1）∵T（x，y）＝ax+2by﹣1，T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
∴，
解得；
（2）由（1），得T（x，y）xy﹣1，
∴T（3，﹣6）3（﹣6）﹣1＝1﹣8﹣1＝﹣8；
（3）解不等式组 ，得m，
因为原不等式组有2个整数解，
所以23，
解得﹣4≤p．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组的整数解，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．

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