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石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试
数学参考答案
1．B 2．C 3．B 4．C
5．B 6．C 7．C 8．C
9．AC 10．AD 11．AB
12．
13．
14．
15．（1）设等差数列的公差为，，
由，且，，成等比数列，
有，解得或（舍）， （3分）
有，
所以数列的通项公式为； （6分）
（2）由，有，（9分）
有，
可得.（13分）
16．（1）由和余弦定理可得.
因为为的内角，所以，故，（3分）
由变形得，由正弦定理得.（7分）
（2）选择条件①：，
由正弦定理得，解得，
因为为的内角，所以，故，
与相互矛盾，故不存在这样的三角形，
所以我们不选择条件①，
选择条件②：，
因为，，所以，
解得，由余弦定理得，
化简得，解得或（舍），
所以.
选择条件③：，
因为，所以.
因为，所以，
由余弦定理得，化简得.
解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，
所以.（15分）
17．(1)证明：取三等分点，由等比例性质可得且，根据已知条件有且，再由平行四边形性质有，最后由线面平行的判定即可证结论.（6分）
（2）法一：由题设易得平面，则为所求二面角的平面角，进而由已知条件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：构建空间直角坐标系求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值.
(1)
取三等分点，则，且，故且，
又，，即且，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，故平面.
(2)
法一：由平面即平面，且，平面，
所以平面，则为所求二面角的平面角，
在等腰△中，，则，
又，，由，即，
所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为.（15分）
法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，若，可得，
，若，可得，
所以，即二面角的余弦值为.（15分）
18．
（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后通导数的正负可求出函数的单调区间，
（2）由函数有两个极值点可得方程的有两个不等正根，则有，求得，，将问题转化为可化为对恒成立，构造函数，利用导数求其最小值即可
(1)
的定义域为，
由，求导得，
令，得，解得，，（3分）
所以当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；（7分）
(2)
的定义域为，求导得，
有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，
所以，所以，，（10分）
此时不等式恒成立，等价于对恒成立，
可化为对恒成立，
令，则，
令，得，得或（舍去），（13分）
所以当时，，当时，，
故
所以在恒成立，所以在上单调递减，
所以，所以.
故实数的取值范围是（17分）
19．（1）设，，
设直线的方程为，
联立方程组，得，（2分）
所以，，
则，（3分）
点到直线的距离为：，
所以，
令，（6分）
则，当即时面积取得最大值，
所以面积的最大值为.（8分）
（2）设，，
设直线的方程为，
联立方程组，得，（10分）
即
所以，即，（12分）
同理可得：，
所以（15分）
化简得：，
当时，取得最大值.（17分）

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数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．计算 的值是(　　)
A． B．
C． D．
5．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，，令，，则（ ）
A．与的单调区间相同 B．与的单调区间相同
C．与有相同的最小值 D．与有相同的最小值
10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ）
附：随机变量服从正态分布，则，，.
A．该校学生的体能检测结果的期望为
B．该校学生的体能检测结果的标准差为
C．该校学生的体能达标率超过
D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
11．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于原点对称 B．曲线与轴恰有3个公共点
C．的周长最小值为4 D．的面积最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为 .
13．用3种不同的颜色给两个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则两个区域颜色相同的概率是__________.
14．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．（15分）
记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求及；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
17．（15分）
已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
18．（17分）
已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）
已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．
(1)求面积的最大值；
(2)求与面积之比的最大值．
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