资源简介

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分课时教学设计
第三课时《8.1平方根（第三课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容主要是学习用计算器计算一个数的算术平方根和利用算术平方根的估算来解决实际问题。是在前面学习了乘方运算、平方根、算术平方根的基础上进行的，并以算术平方根为前提，为后面学习实数的知识作准备，并为学习二次根式做出了铺垫，提供了知识积累。
学习者分析 在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数和如何求一个非负数的平方根和算术平方根，计算器也不陌生，所以学生很快能掌握用计算器计算非负数的平方根的近似值，学生能通过观察被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动得出规律，但估计一个含有根号的数的大小，并能用估算解决实际问题会有难度，应给予足够时间让学生理解。
教学目标 1.会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术平方根的小数点移动规律，培养学生的数感。 2.会估计一个含有根号的数的大小，并能用估算解决实际问题。 3.体验现代科技产品快捷、精确的功能，体会利用计算器给探求数量间的关系与变化带来的方便，激发学习、探索知识的兴趣。 4.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点 了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题。
教学难点 会估计一个含有根号的数的大小，并能用估算解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术平方根的小数点移动规律，培养学生的数感。 2.会估计一个含有根号的数的大小，并能用估算解决实际问题。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 1.正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的___________。正数a的算术平方根用______来表示，0的算术平方根是____。 答案：算术平方根， 2.非负数a的算术平方根 具有双重非负性， 即：_____≥ 0 且________≥ 0 答案：a， 3.被开方数越大，对应的算术平方根也越_____。 答案：大 4.无限不循环小数是指小数位数________，且小数部分________的小数。 答案：无限，不循环 5.请列举几个无限不循环小数：____________________ 答案：, , , , 等 引言：大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根 （或其近似值）。不同品牌的计算器，按键顺序有所不同。 学生活动2： 学生认真听老师讲解活动意图说明： 通过介绍计算器的键，让学生初步了解到计算器可以求一个正有理数的算术平方根或其近似值，激发学生的学习兴趣。环节三：新知讲解教师活动3： 例1：用计算器求下列各式的值： (1)； (2) （结果保留小数点后三位）． 解：(1) 依次按键， 显示：56． 所． (2) 依次按键， 显示：1.414213562． ∴ ≈1.414． 指出：计算器上显示的1.414213562是的近似值。 解决问题：下面，我们利用计算器解决本章引言中提出的问题： 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力 加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)， R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m). 怎样求v呢 解：由v2=2gR及v的实际意义，得v= ，其中g≈9.8(单位：m/s2)，R≈6.4×106(单位：m)。用计算器求得 v≈=1.12×104. 因此，第二宇宙速度v约为1.12×104m/s，即11.2km/s. 探究：(1)用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？ …………
预设： ………0.250.7912.57.912579.1250…
归纳：被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位. 探究：(2)用计算器计算（结果保留小数点后三位），并利用你在(1)中发现的求出，，的近似值，你能根据的值说出的近似值吗？ 解：由1.732，得 0.1732， 7.32， 173.2， 由的值不能求出值。 例2：小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3:2．但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm, 根据边长与面积的关系，得 3x 2x=300 6x2=300 x2=50 由边长的实际意义，得 x=
因此，长方形纸片的长为3cm. （注意：33） 因为50＞49，所以＞7， 由上可知3 ＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm． 因为=20，所以正方形纸片的边长只有20cm． 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长． 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．学生活动3： 学生认真观察、思考、动手操作、计算，然后小组合作探究，班内汇报，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过活动，会用计算器求算术平方根，掌握用夹值法估算含算术平方根符号的无理数的大致范围来解决实际问题。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：8.1平方根（第三课时）一、用计算器求一个非负数的算术平方根 二、用估算解决实际问题教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1.用计算器求下列各式的值： (1) (2) (结果保留小数点后三位) 解：(1) 依次按键： 显示结果： 所以= 74. (2) 依次按键： 显示结果： 所以≈0.938. 2．的值介于整数3和4之间，则整数的值是 ． 答案：10或11或12或13或14或15 3．观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（ ） A．111111111 B．11111111 C．1111111 D．111111 答案：A 选做题： 4．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由. 解：不能.理由如下： 因为大正方形纸片的面积为， 所以大正方形的边长为6cm. 设截出的长方形的长为，宽为， 则.所以（取正值）. 因为，所以. 由上可知. 所以不能截得长、宽之比为，且面积为的长方形纸片. 【综合拓展类作业】 5．如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值． 解：（1）阴影部分面积为：， ∵阴影部分是一个正方形， ∴边长为：， 故答案为：13，． （2）不大于的所有正整数为：1，2，3． （3）∵， ∴， ∵ ∴ ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.用计算器求下列各式的值： (1) (2) (结果保留小数点后三位) 解：(1) 依次按键： 显示结果： 所以= 88. (2) 依次按键： 显示结果： 所以≈0.980. 2．已知，，那么下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．已知．若为整数且，则的值为（ ） A．43 B．44 C．45 D．46 答案：B 选做题： 4．一块正方形空地的面积是，在这块空地上沿着边的方向建造一间占地的房子，要求所建造的房子的地基是长方形，而且长是宽的两倍，能否做到 为什么 解：假设能做到，设所建造房子地基的宽为，则长为 由题意得， 即， （舍负值） 地基的长为 又正方形空地的边长为，， 不能做到． 【综合拓展类作业】 5．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案； (2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 解：（1）设面积为的正方形纸片的边长为 ， ， 又， ， 又要裁出的长方形面积为， 若以原正方形纸片的边长为长方形的长， 则长方形的宽为：， 可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形； （2）长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为 ，则宽为 ， ， ， 又， ， 长方形纸片的长为， 又 ， 即：， 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
教学反思 本节课的设计思想是从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索交流、解释、应用的学习过程。先讲解如何利用计算器求一个数的算术平方根，让学生在操作、探索、交流的过程中感悟算术平方根的意义及规律，同时让学生在学习知识技能的同时，注意数学思想方法和良好学习习惯的养成，使学生体验数学的“实践第一”和数学来源于实践，又服务于实践的思想。
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第八章 实数
8.1平方根（第三课时）
1.会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术平方根的小数点移动规律，培养学生的数感。
2.会估计一个含有根号的数的大小，并能用估算解决实际问题。
1.正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的___________。正数a的算术平方根用______来表示，0的算术平方根是____。
2.非负数a的算术平方根 具有双重非负性，
即：_____≥ 0 且________≥ 0
3.被开方数越大，对应的算术平方根也越_____。
4.无限不循环小数是指小数位数________，且小数部分________的小数。
5.请列举几个无限不循环小数：____________________
算术平方根
0
a
大
无限
不循环
, , , ,
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根 （或其近似值）。不同品牌的计算器，按键顺序有所不同。
例1：用计算器求下列各式的值：
(1)； (2) （结果保留小数点后三位）．
解：(1) 依次按键 ，
显示：56．
所．
(2) 依次按键 ，
显示：1.414213562．
∴ ≈1.414．
计算器上显示的1.414213562是的近似值。
下面，我们利用计算器解决本章引言中提出的问题：
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力
加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)，
R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m).
怎样求v呢
由v2=2gR及v的实际意义，得v= ，其中g≈9.8(单位：m/s2)，R≈6.4×106(单位：m)。用计算器求得
v≈=1.12×104.
因此，第二宇宙速度v约为1.12×104m/s，即11.2km/s.
v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m).
怎样求v呢
探究：(1)用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 …
被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位.
探究：(2)用计算器计算（结果保留小数点后三位），并利用你在(1)中发现的求出，，的近似值，你能根据的值说出的近似值吗？
解：由1.732，得
0.1732， 7.32， 173.2，
由的值不能求出值。
例2：小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3:2．但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm,
根据边长与面积的关系，得
3x 2x=300
6x2=300
x2=50
由边长的实际意义，得
x=
因此，长方形纸片的长为3cm.
33
因为50＞49，所以＞7，
由上可知3 ＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm．
因为=20，所以正方形纸片的边长只有20cm．
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
【知识技能类练习】必做题：
1.用计算器求下列各式的值：
(1) (2) (结果保留小数点后三位)
显示结果：
74
所以= 74.
所以≈0.938.
0.93808315
显示结果：
5
=
4
7
6
(1) 依次按键：
(2)依次按键：
0
=
.
8
8
【知识技能类练习】必做题：
2．的值介于整数3和4之间，则整数的值是 ．
10或11或12或13或14或15
【知识技能类练习】必做题：
3．观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（ ）
A．111111111 B．11111111
C．1111111 D．111111
A
【知识技能类练习】选做题：
4.如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由.
【知识技能类练习】选做题：
解：不能.理由如下：
因为大正方形纸片的面积为，
所以大正方形的边长为6cm.
设截出的长方形的长为，宽为，
则.所以（取正值）.
因为，所以.
由上可知.
所以不能截得长、宽之比为，且面积为的长方形纸片.
【综合拓展类练习】
5.如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
13
解：（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，∴，
∵ ∴
∴．
用计算器求
算术平方根（估算）
用估算
解决实际问题
计算中的规律
用计算器
求算术平方根
【知识技能类作业】必做题：
1.用计算器求下列各式的值：
(1) (2) (结果保留小数点后三位)
显示结果：
88
所以= 88.
所以≈0.980.
0.97979589
显示结果：
7
=
7
4
4
(1) 依次按键：
(2)依次按键：
0
=
.
9
6
【知识技能类作业】必做题：
2．已知，，那么下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
3．已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
B
【知识技能类作业】选做题：
4.一块正方形空地的面积是，在这块空地上沿着边的方向建造一间占地的房子，要求所建造的房子的地基是长方形，而且长是宽的两倍，能否做到 为什么
解：假设能做到，设所建造房子地基的宽为，则长为
由题意得，
即，
（舍负值）
地基的长为
又正方形空地的边长为，，
不能做到．
【综合拓展类作业】
5.小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
解：（1）设面积为900 的正方形纸片的边长为a cm ，
∴a2=900，
又∵a>0，
∴a=30，
又∵要裁出的长方形面积为600 ，
∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：600÷30=20(cm)，
∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为20cm 的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；
【综合拓展类作业】
5.小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由.
（2）∵长方形纸片的长宽之比为4:3，∴设长方形纸片的长为4x cm ，则宽为3x cm ，∴12x2=600，∴x2=50，
又∵x>0，∴x= ，
∴长方形纸片的长为1cm ，
又∵ (1)2=450<302，
即： 1<30，
∴小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 8.1平方根（第三课时） 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术平方根的小数点移动规律，培养学生的数感。 2.会估计一个含有根号的数的大小，并能用估算解决实际问题。
重点 了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题。
难点 会估计一个含有根号的数的大小，并能用估算解决实际问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的___________。正数a的算术平方根用______来表示，0的算术平方根是____。 2.非负数a的算术平方根 具有双重非负性， 即：_____≥ 0 且________≥ 0 3.被开方数越大，对应的算术平方根也越_____。 4.无限不循环小数是指小数位数________，且小数部分________的小数。 5.请列举几个无限不循环小数：____________________ 引言：大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根 （或其近似值）。不同品牌的计算器，按键顺序有所不同。
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助计算器来求算术平方根，并研究用估算的方法解决有关算术平方根的实际问题。 例1：用计算器求下列各式的值： (1)； (2) （结果保留小数点后三位）． 解：(1) 依次按键________________， 显示：__________． 所． (2) 依次按键__________________，显示：__________． ∴ ≈______． 提示：计算器上显示的1.414213562是的________。 解决问题：下面，我们利用计算器解决本章引言中提出的问题： 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力 加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)， R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m). 怎样求v呢 解：由v2=2gR及v的实际意义，得v=_______，其中g≈9.8(单位：m/s2)，R≈6.4×106(单位：m)。用计算器求得 v≈=__________. 因此，第二宇宙速度v约为1.12×104m/s，即______km/s. 探究：(1)用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？ …………
归纳：被开方数的小数点向右（或向左）移动____位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动______位. 探究：(2)用计算器计算（结果保留小数点后三位），并利用你在(1)中发现的求出，，的近似值，你能根据的值说出的近似值吗？ 例2：小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3:2．但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1.用计算器求下列各式的值： (1) (2) (结果保留小数点后三位) 解：(1) 依次按键：________________ 显示结果：_________ 所以= _______. (2) 依次按键：____________________ 显示结果： 所以≈_________. 2．的值介于整数3和4之间，则整数的值是 ． 3．观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（ ） A．111111111 B．11111111 C．1111111 D．111111 选做题： 4．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由. 【综合拓展类作业】 5．如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.用计算器求下列各式的值： (1) (2) (结果保留小数点后三位) 解：(1) 依次按键：________________ 显示结果：___________ 所以= _______. (2) 依次按键：__________________ 显示结果： 所以≈_______. 2．已知，，那么下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知．若为整数且，则的值为（ ） A．43 B．44 C．45 D．46 选做题： 4．一块正方形空地的面积是，在这块空地上沿着边的方向建造一间占地的房子，要求所建造的房子的地基是长方形，而且长是宽的两倍，能否做到 为什么 【综合拓展类作业】 5．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案； (2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
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