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2025年九年级中考数学二轮复习专题圆的证明与计算练习
一、选择题
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
3．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
4．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
5．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　　）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
二、填空题
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　 　°．
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 　 　；DF的长度是 　 　．
8．如图，△ABC中，BA＝BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cos∠ABC，则半径OC的长为 　 　．
9．若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 　 　cm．
10．如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　．
三、解答题
11．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD，DA＝FG＝2，求CE的长．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
13．如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B C D A B
二、填空题
6．答案为：60．
7．答案为：，．
8．答案为：6．
9．答案为：．
10．答案为：2．
三、解答题
11．【解答】解：（1）证明：连接OC
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DCA＝∠OBC，
∴∠DCA＝∠OCB，
而AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线，
（2）设OC＝OA＝r，
∵，
∴，
∴r＝8，
∴OC＝OA＝8，
在 Rt△OCD 中，，
∵∠DCA+∠ECF＝∠BFG+∠CBA＝90°，
∴∠ECF＝∠BFG，
又∵∠BFG＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF，设EC＝EF＝x，
∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE，
∴△DOC∽△DEG，
∴，则 ，
解得：x＝14，
经检验x＝14是所列方程的解，
∴CE＝14．
12．【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠CAE，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠D＝90°，CD，
∴AD3，
∵∠F＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝30°，
∴AF＝2AD＝6．
13．【解答】（1）证明：连接OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠ABC＝∠BAO，
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴，
∴，
∴BC＝16，
∴BE＝BC﹣CE＝12，
连接BD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴，
∴BD＝DE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝BDBE＝6．
14．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI cos45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
15．【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠B，
∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵sin∠B，
∴∠B＝30°，
∴∠PCA＝∠B＝30°，
由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，
∴AC＝AP；
（3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴CD2＝AD×BD＝6x，
∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），
在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，
即（4+x）2+6x＝4（10+x），
整理得x2+10x﹣24＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），
故AD＝2

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