资源简介

第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
［学习目标］　1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法.
一、函数的零点及求法
问题1　观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2-2x-3=0 y=x2-2x-3
x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
x2-2x+3=0 y=x2-2x+3
利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系.
知识梳理
函数零点的概念
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零，即　　　　，则称α为函数y=f(x)的零点.
α是函数f(x)零点的充分必要条件是，　　　　　　　　　　　　　　　　.
角度1　求函数的零点
例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)=；(2)f(x)=x2+2x+4.
反思感悟　求函数y=f(x)的零点的方法
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解，求解时注意函数的定义域.
(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)=0.
跟踪训练1　求下列函数的零点.
(1)f(x)=x2+7x+6；
(2)f(x)=.
角度2　函数的零点个数问题
例2　函数f(x)=的零点个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
反思感悟　判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断.
(2)结合函数图象进行判断.
跟踪训练2　函数f(x)=(x2-1)·的零点个数是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
问题2　画出二次函数y=x2-12x+20的图象，图象与x轴有两个交点，这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？
问题3　你能根据二次函数y=x2-12x+20的图象，写出x2-12x+20<0的解集吗？
知识梳理
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx +c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
例3　利用函数解下列不等式：
(1)2x2+5x-3<0；
(2)-3x2+6x≤2.
反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤
(1)求函数的零点.
(2)作出函数的图象.
(3)求对应不等式的解集.
跟踪训练3　利用函数解下列不等式：
(1)4x2-4x+1>0；
(2)-x2+6x-10>0.
三、简单高次不等式的解法
例4　求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
跟踪训练4　求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)2的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
1.知识清单：
(1)函数的零点及求法.
(2)二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系.
(3)简单高次不等式的解法.
2.方法归纳：数形结合法、数轴穿根法.
3.常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论.
1.函数y=3x-1的零点是 (　　)
A.0 B.
C. D.
2.(多选)下列图象表示的函数中有零点的是 (　　)
3.函数f(x)=x-零点的个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
4.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为　　　　　　　　.
答案精析
问题1　方程x2-2x-3=0的根为-1，3，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1，0)，(3，0)；
x2-2x+1=0有两个相等的实数根，为1，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1，0)；
x2-2x+3=0没有实根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.
知识梳理
f(α)=0　(α，0)是函数图象与x轴的公共点
例1　解　(1)令=0，解得x=-3，
所以函数f(x)=的零点是x=-3.
(2)令x2+2x+4=0，由于Δ=22-4×1×4=-12<0，
所以方程x2+2x+4=0无实数解，
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
跟踪训练1　解　(1)解方程x2+7x+6=0，
得x=-1或x=-6，所以函数的零点是-1，-6.
(2)解方程=0，
得x=-6，所以函数的零点为-6.
例2　C
跟踪训练2　B
问题2　函数图象与x轴交点的横坐标恰好是方程的根.
问题3　从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2-12x+20<0的解集为｛x|2知识梳理
｛x|xx2｝　　R　｛x|x1例3　解　(1)不等式的对应方程为2x2+5x-3=0，因为Δ=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3，x2=，
所以作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①所示.
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0，其对应方程为3x2-6x+2=0，
因为Δ=12>0，方程3x2-6x+2=0的两根为x1=，x2=，
所以作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
跟踪训练3　解　(1)∵方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.∴作出函数y=4x2-4x+1的图象如图.由图可得原不等式的解集为∪.
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0，
设f(x)=x2-6x+10，
令f(x)=0，得x2-6x+10=0，
即(x-3)2=-1，
∴方程x2-6x+10=0无实根，
从而f(x)的图象与x轴没有交点，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图.
由图可知，原不等式的解集为 .
例4　解　函数零点依次为-，1，3.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每一个区间函数值的符号如表所示.
x (1，3) (3，+∞)
f(x) - + - +
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为∪(3，+∞)；
f(x)≤0的解集为∪［1，3］.
跟踪训练4　解　令f(x)=0，得f(x)的零点为-2，-1，1，由此可画出f(x)的图象的示意图.
∴f(x)>0的解集为(-∞，-2)∪(-1，1)∪(1，+∞)，f(x)≤0的解集为［-2，-1］∪｛1｝.
随堂演练
1.B　2.BCD　3.C
4.(-∞，-1)∪(2，3)(共69张PPT)
第1课时
第三章
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函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.
2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.
3.了解高次不等式的解法.
学习目标
同学们,我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法,比如:大约在公元50~100年间编成的《九章算术》,就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法,11世纪的时候,北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法,13世纪,南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法,今天,让我们站在这些数学巨人的肩上,来探究方程的解与函数零点的关系吧.
导 语
一、函数的零点及求法
二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
课时对点练
三、简单高次不等式的解法
随堂演练
内容索引
函数的零点及求法
一
提示　方程x2-2x-3=0的根为-1,3,函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1,0),(3,0);
x2-2x+1=0有两个相等的实数根,为1,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1,0);
x2-2x+3=0没有实根,函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.
观察下列三组方程与函数:
问题1
方程 函数
x2-2x-3=0 y=x2-2x-3
x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
x2-2x+3=0 y=x2-2x+3
利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系.
函数零点的概念
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即 ,则称α为函数y=f(x)的零点.
α是函数f(x)零点的充分必要条件是, .
f(α)=0
(α,0)是函数图象与x轴的公共点
(1)函数的零点是一个实数,不是点,即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
(2)方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点.
(3)不能用公式求解的方程,可利用函数的图象和性质找零点,然后得到方程的解;或将方程转化为两个函数,利用这两个函数图象来解决问题.
注 意 点
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角度1　求函数的零点
　判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=;
例 1
令=0,解得x=-3,
所以函数f(x)=的零点是x=-3.
(2)f(x)=x2+2x+4.
令x2+2x+4=0,由于Δ=22-4×1×4=-12<0,
所以方程x2+2x+4=0无实数解,
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域.
(2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.
反
思
感
悟
求函数y=f(x)的零点的方法
　求下列函数的零点.
(1)f(x)=x2+7x+6;
跟踪训练 1
解方程x2+7x+6=0,
得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)f(x)=.
解方程=0,得x=-6,所以函数的零点为-6.
角度2　函数的零点个数问题
　函数f(x)=的零点个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
例 2
√
方法一　因为方程x+2=0(x<0)的根为x=-2,方程x2-1=0(x>0)的根为x=1,所以函数f(x)有2个零点:-2与1.
方法二　画出函数f(x)=的图象,如图
所示,观察图象可知,f(x)的图象与x轴有2个交点,所
以函数f(x)有2个零点.
(1)直接求出函数的零点进行判断.
(2)结合函数图象进行判断.
反
思
感
悟
判断函数零点个数的方法
　函数f(x)=(x2-1)·的零点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
跟踪训练 2
√
要使函数有意义,则x2-4≥0,即x≥2或x≤-2.
由f(x)=0,得x2-4=0或x2-1=0(不成立,舍去).
解得x=2或x=-2,
∴函数的零点个数为2.
二
二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
提示　函数图象与x轴交点的横坐标恰好是方程的根.
画出二次函数y=x2-12x+20的图象,图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系
问题2
提示　从图象上看,位于x轴上方的图象使得函数值大于零,位于x轴下方的图象使得函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2你能根据二次函数y=x2-12x+20的图象,写出x2-12x+20<0的解集吗
问题3
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
不等式ax2+bx+c >0(a>0)的解集 ______________ _____________ ____
不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ___________ ____ ____
{x|xx2}
R
{x|x1

(1)二次函数的零点,即对应方程的根,即对应不等式解集的端点.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则解集为空集.
注 意 点
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利用函数解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;
例 3
不等式的对应方程为2x2+5x-3=0,
因为Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,
所以作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.
由图可得原不等式的解集为.
(2)-3x2+6x≤2.
原不等式等价于3x2-6x+2≥0,其对应方程为3x2-6x+2=0,
因为Δ=12>0,方程3x2-6x+2=0的两根为x1=,x2=,
所以作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,
由图可得原不等式的解集为.
反
思
感
悟
(1)求函数的零点.
(2)作出函数的图象.
(3)求对应不等式的解集.
解一元二次不等式的一般步骤
利用函数解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;
跟踪训练 3
∵方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.
∴作出函数y=4x2-4x+1的图象如图.
由图可得原不等式的解集为∪.
(2)-x2+6x-10>0.
原不等式可化为x2-6x+10<0,
设f(x)=x2-6x+10,
令f(x)=0,得x2-6x+10=0,即(x-3)2=-1,
∴方程x2-6x+10=0无实根,
从而f(x)的图象与x轴没有交点,又因为函数图象是开口向上的抛物线,所以可以作出函数图象的示意图,如图.
由图可知,原不等式的解集为 .
三
简单高次不等式的解法
求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图象的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
例 4
函数零点依次为-,1,3.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间,每一个区间函数值的符号如表所示.
x (1,3) (3,+∞)
f(x) - + - +
由此可以画出函数图象的示意图如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为∪(3,+∞);
f(x)≤0的解集为∪[1,3].
反
思
感
悟
(1)通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0(注意:一定要保证最高次项的系数为正数).
(2)将不等号换成等号解出所有根.
(3)在数轴上从左到右依次标出各根.
(4)画穿根线,以数轴为标准,从最右根的右上方穿过根,往左下画线,然后再穿过次右根,一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透).
数轴穿根法的步骤
反
思
感
悟
(5)观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方穿根线以内的范围;如果不等号为“<”,则取数轴下方穿根线以内的范围.
数轴穿根法的步骤
求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)2的零点,并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
跟踪训练 4
令f(x)=0,得f(x)的零点为-2,-1,1,由此可画出f(x)的图象的示意图.
∴f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(-1,1)∪(1,+∞),f(x)≤0的解集为[-2,-1]∪{1}.
1.知识清单:
(1)函数的零点及求法.
(2)二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系.
(3)简单高次不等式的解法.
2.方法归纳:数形结合法、数轴穿根法.
3.常见误区:一元二次不等式含字母时需要讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数y=3x-1的零点是
A.0 B. C. D.
√
令y=3x-1=0,
得x=.
1
2
3
4
2.(多选)下列图象表示的函数中有零点的是
√
B,C,D的图象均与x轴有交点,故函数均有零点,A的图象与x轴没有交点,故函数没有零点.
√
√
3.函数f(x)=x-零点的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
1
2
3
4
√
令x-=0,即x2-1=0,
∴x=±1.
∴f(x)=x-的零点有两个.
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4
4.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为　　　　　　　.
函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)的零点为-1,2,3.
利用数轴穿根法作出函数f(x)图象的示意图(图略),
由图可知不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为(-∞,-1)∪(2,3).
(-∞,-1)∪(2,3)
课时对点练
五
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2
3
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7
8
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11
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13
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15
16
基础巩固
1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是
A.-,-1 B.,1 C.,-1 D.-,1
√
方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=,
所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是,1.
2.(多选)函数y=ax-2的零点的个数可能是
A.0 B.1 C.2 D.无法判断
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16
√
令y=ax-2=0,若a=0,则函数没有零点;当a≠0时,得x=,函数有一个零点.
∴函数y=ax-2的零点有0个或者1个.
√
3.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为
A.2 B.-2 C.±2 D.3
√
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因为函数有一个零点,令x2-bx+1=0,
所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.
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16
4.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则ab的值为
A.-6 B.-2 C.2 D.6
√
由题意知方程ax2+bx+1=0的实数根为-1和,且a<0,
由根与系数的关系得
解得a=-2,b=-1,所以ab=2.
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16
5.函数y=f(x)的大致图象如图所示,则函数y=f(|x|)的零点的个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
∵y=f(|x|)是偶函数,
∴其图象关于y轴对称.
∵当x>0时,函数有三个零点,
∴当x<0时,函数也有三个零点.
又∵0是y=f(|x|)的一个零点,故共有7个零点.
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6.(多选)下列各选项能使不等式<0成立的是
A.{x|-1C.{x|2√
原不等式可化为(x-2)2(x+1)(x-3)<0,所以-1√
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7.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是
　　　,g(x)<0的解集是　　　　　　　　　 　　.
-,-
∪
由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2,3,
∴
∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-,-,
即为函数g(x)的零点.由g(x)=bx2-ax-1<0,结合图象(图略)可知x<-或x>-.
8.若函数f(x)=|x2-4x|-a有四个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　.
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(0,4)
令|x2-4x|-a=0,
得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象如图所示,则由图象可知,要使函数f(x)=|x2-4x|-a有四个不同的零点,即函数y=|x2-4x|的图象与直线y=a有四个不同的交点,则09.利用函数图象求下列不等式的解集.
(1)-x2-2x+3>0;
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16
设f(x)=-x2-2x+3,令f(x)=0,
得-x2-2x+3=0,即(x+3)(x-1)=0.
解得x=-3或x=1,
因此-3和1都是函数f(x)的零点,
从而f(x)的图象与x轴相交于点(-3,0)和(1,0),
又因为函数的图象是开口向下的抛物线,
所以可以作出函数图象的示意图,如图所示,
由图可知,不等式的解集为(-3,1).
(2)x3-x2-4x+4<0.
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设g(x)=x3-x2-4x+4=(x3-x2)-(4x-4)
=x2(x-1)-4(x-1)
=(x-1)(x2-4)
=(x-1)(x+2)(x-2),
所以函数零点依次为-2,1,2.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间,每一个区间函数值的符号如表所示.
x (-∞,-2) (-2,1) (1,2) (2,+∞)
g(x) - + - +
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由此可以画出函数图象的示意图,如图所示.
由图可知 x3-x2-4x+4<0的解集为(-∞,-2)∪(1,2).
x (-∞,-2) (-2,1) (1,2) (2,+∞)
g(x) - + - +
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10.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
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16
函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,
所以Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<;
函数有一个零点,即Δ=0,解得m=;
函数无零点,即Δ<0,解得m>.
故当m<时,函数有两个零点;
当m=时,函数有一个零点;
当m>时,函数无零点.
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(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
由已知得,0是对应方程的根,所以有1-m=0,
解得m=1.
1
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11.(多选)不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集不可能是
A. B.R
C. D.
√
综合运用
√
√
因为Δ=a2+4m>0,
所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,
又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D.
12.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(aA.a<α<βC.α1
2
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√
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因为α,β为f(x)=0的两根,
所以α,β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.
因为a,b为(x-a)(x-b)=0的两根,
令g(x)=(x-a)(x-b),
所以a,b为g(x)与x轴交点的横坐标.
可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到,由图知选A.
1
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13.一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是
A. B.(-∞,-5)
C. D.
√
关于x的一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,
则解得-≤m<-5.
14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有　　个零点,这几个零点的和为　　.
1
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3
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴由奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也是增函数,
又∵f(2)=-f(-2)=0,
∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,
综上,f(x)在R上共有3个零点,其和为-2+0+2=0.
0
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15.已知函数f(x)=x|x-1|-a,x∈R有三个零点x1,x2,x3,则
实数a的取值范围是　　　;x1+x2+x3的取值范围是
　 　　.
拓广探究
1
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16
根据题意,设g(x)=x|x-1|=
其图象如图所示.
若函数f(x)=x|x-1|-a有三个零点,
则函数y=g(x)的图象与直线y=a有3个交点,
必有0设x11,解得x=,
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则1所以2即x1+x2+x3的取值范围是.
1
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16.若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3.
(1)求f(x)在R上的解析式;
当x=0时,f(0)=0;
当x<0时,-x>0,根据奇函数的定义可知,
f(x)=-f(-x)=-(x2+4x+3)=-x2-4x-3,
故f(x)=
1
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(2)若a∈R,g(x)=f(x)-a,试讨论a取何值时,g(x)零点的个数最多 最少
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在平面直角坐标系中,作出函数f(x)的图象,如图所示.
令g(x)=f(x)-a=0,g(x)零点的个数即为f(x)的图象与直线y=a交点的个数.
由图可知,
当a=0时,g(x)=f(x)-a有5个零点;
当0当a=±1时,g(x)有3个零点;
当1当a≤-3或a≥3时,g(x)有1个零点.
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故当a=0时,g(x)=f(x)-a零点的个数最多;
当a≤-3或a≥3时,g(x)零点的个数最少.第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
［学习目标］　1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数. 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.
一、函数零点存在定理
问题1　探究函数f(x)=2x-1的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？函数f(x)=x2+4x-5呢？
知识梳理
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是　　　　　的，并且　　　　　　　(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)，　　　.
例1　函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为 (　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
反思感悟　判断函数零点所在区间的方法
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间［a，b］上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
注意：对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之，不一定成立.
跟踪训练1　(多选)若aA.(-∞，a) B.(a，b)
C.(b，c) D.(c，+∞)
二、二分法
问题2　某档综艺栏目有猜价格游戏，主持人给出一件商品，让参赛者猜价格.在规定的时间内猜中，则商品归参赛者所有.参赛者可以不断报价格，主持人只说“高了”或“低了”，采取什么样的策略，能提高猜中的可能性？
知识梳理
二分法的概念：
一般地，求函数零点的近似值，可以通过计算　　　　　　　　　　　　，从而不断缩小零点所在的区间来实现，这种求函数零点近似值的方法称为二分法.
例2　(1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 (　　)
(2)(多选)下列函数中，能用二分法求零点的是 (　　)
A.f(x)=2x+3 B.f(x)=x2+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1
反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似值的零点的个数分别为 (　　)
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
(2)下列对于函数y=f(x)，x∈［a，b］的命题中，正确的是 (　　)
A.若x0∈［a，b］且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在［a，b］上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
三、用二分法求函数零点的近似值
知识梳理
用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间［a，b］上的图象是　　　　　　　　，且　　　　　　　　)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下：
第一步：检查　　　　　是否成立，如果成立，取x1=，计算结束；如果不成立，转到第二步.
第二步： 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f=0，取x1=，计算结束；若f≠0，转到第三步.
第三步： 若f(a)f<0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)<0，将的值赋给a，回到第一步.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
例3　用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
延伸探究　若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”，结论又如何？
反思感悟　(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间［a，b］(一般采用估计值的方法完成).
②取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(a，c)还是(c，b)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
(2)切记最后的区间的两端点满足|b-a|≤2ε，则取x=为所求函数零点的近似值.
跟踪训练3　用二分法求方程f(x)=0在［0，1］内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，则可得出方程的一个近似解为　　　　　　　(精确度为0.1).
1.知识清单：
(1)函数零点存在定理.
(2)二分法的概念.
(3)用二分法求函数零点的近似值.
2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时精确度理解不准确.
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 (　　)
A.［-2，-1］ B.［-1，0］
C.［0，1］ D.［1，2］
2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是 (　　)
x 1 2 3 5
f(x) 3 -1 2 0
A.(1，2) B.［1，3］
C.［2，5) D.(3，5)
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表所示：
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.02)为 (　　)
A.1.312 5 B.1.375
C.1.422 25 D.1.406 5
4.函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　.
答案精析
问题1　函数f(x)=2x-1的零点为，∈(0，1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)=x2+4x-5的零点为-5，1，-5∈(-6，-4)，1∈(0，2)，且有f(-6)·f(-4)<0，f(0)f(2)<0，且以上函数在零点附近的图象都是连续的.
知识梳理
连续不断　f(a)f(b)<0　f(x0)=0
例1　B
跟踪训练1　BC
问题2　可以不断地取两个价格的中间值，能够比较迅速地接近真实价格.
知识梳理
区间中点函数值
例2　(1)A　(2)ABD
跟踪训练2　(1)D　(2)A
知识梳理
连续不断的　f(a)f(b)<0　 |b-a|≤2ε
例3　解　令f(x)=2x3+3x-3，
经计算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3+3x-3=0在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a,b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) |0.625-0.75|=0.125<0.1×2
由于|0.625-0.75|=0.125<0.1×2，所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解.
延伸探究　解　在本例的基础上，取区间(0.625，0.75)的中点x=0.687 5，因为f(0.687 5)<0，f(0.75)>0且|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.05×2，所以x=0.718 75可作为方程的一个近似解.
跟踪训练3　0.687 5
随堂演练
1.A　2.ABC　3.C　4.a2=4b(共67张PPT)
第三章
<<<
第2课时
零点的存在性及其近似值的求法
1.掌握函数零点存在定理,并会判断函数零点的个数.
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.
3.理解函数与方程之间的联系,并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.
学习目标
路边有一条河,小明从A点走到了B点,观察下列两幅画面,并推断哪一幅能说明小明的行程一定曾渡过河

(1)　　 　　　(2)
你能把这个实际问题抽象成数学模型吗
导 语
一、函数零点存在定理
二、二分法
课时对点练
三、用二分法求函数零点的近似值
随堂演练
内容索引
函数零点存在定理
一
提示　函数f(x)=2x-1的零点为,∈(0,1),且有f(0)f(1)<0;函数f(x)=x2+4x-5的零点为-5,1,-5∈(-6,-4),1∈(0,2),且有f(-6)·f(-4)<0,f(0)f(2)<0,且以上函数在零点附近的图象都是连续的.
探究函数f(x)=2x-1的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况,并说明函数图象在零点附近有什么变化规律 函数f(x)=x2+4x-5呢
问题1
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的,并且 (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即 x0∈(a,b), .
连续不断
f(a)f(b)<0
f(x0)=0
(1)定理要求函数在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件.
(3)该定理是用来判断函数的变号零点,比如y=x2,有零点为0,但是该零点的两侧函数值的符号相同,称为不变号零点.
注 意 点
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函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
例 1
√
由函数f(x)=x3+x-5,可得f(1)=1+1-5=-3<0,f(2)=8+2-5=5>0,
故有f(1)f(2)<0,根据函数零点存在定理可得,
函数f(x)的零点所在区间为(1,2).
判断一个函数是否有零点,首先看函数f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,若连续,看是否存在f(a)f(b)<0,若存在,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
注意:对于连续函数f(x),若存在f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内有零点,反之,不一定成立.
反
思
感
悟
判断函数零点所在区间的方法
　(多选)若aA.(-∞,a) B.(a,b) C.(b,c) D.(c,+∞)
跟踪训练 1
√
∵f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),
∴f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b),
∵a∴f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
√
二
二分法
提示　可以不断地取两个价格的中间值,能够比较迅速地接近真实价格.
某档综艺栏目有猜价格游戏,主持人给出一件商品,让参赛者猜价格.在规定的时间内猜中,则商品归参赛者所有.参赛者可以不断报价格,主持人只说“高了”或“低了”,采取什么样的策略,能提高猜中的可能性
问题2
提示　从图象上看,位于x轴上方的图象使得函数值大于零,位于x轴下方的图象使得函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2你能根据二次函数y=x2-12x+20的图象,写出x2-12x+20<0的解集吗
问题3
二分法的概念:
一般地,求函数零点的近似值,可以通过计算 ,从而不断缩小零点所在的区间来实现,这种求函数零点近似值的方法称为二分法.
区间中点函数值
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.它是一种近似求解的具体方法,是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现.
(2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
注 意 点
<<<
(1)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是
例 2
√
按定义,f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的,且f(a)·f(b)<0,才能不断地把函数零点所在的区间一分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得B,C,D满足条件,而A不满足,在A中,函数图象经过零点时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.
(2)(多选)下列函数中,能用二分法求零点的是
A.f(x)=2x+3 B.f(x)=x2+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1
√
因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即含有零点的区间[a,b]不满足f(a)·f(b)<0,故C不能用二分法求零点,其余的都可以.
√
√
反
思
感
悟
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
运用二分法求函数的零点应具备的条件
　(1)已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数及可以用二分法求近似值的零点的个数分别为
A.4,4 B.3,4
C.5,4 D.4,3
跟踪训练 1
√
由图象知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号,因此不能用二分法求零点近似值,而其余3个均可使用二分法求零点近似值.
(2)下列对于函数y=f(x),x∈[a,b]的命题中,正确的是
A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解
√
A中,若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,故A正确;
B中,若f(x)=x2,则无法使用二分法求x0的近似值,故B错误;
C中,函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故C错误;
D中,用二分法求方程的根时,得到的根可以是准确值,故D错误.
三
用二分法求函数零点的近似值
用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图象是________
,且 ,给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
第一步:检查 是否成立,如果成立,取x1=,计算结束;如果不成立,
转到第二步.
第二步: 计算区间(a,b)的中点对应的函数值,若f=0,取x1=,计算结束;若f≠0,转到第三步.
连续不
断的
f(a)f(b)<0)
|b-a|≤2ε
第三步: 若f(a)f<0,将的值赋给b,回到第一步;否则必有ff(b)<0,将的值
赋给a,回到第一步.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
例 3
令f(x)=2x3+3x-3,
经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,
即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0,
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:
由于|0.625-0.75|=0.125<0.1×2,所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解.
(a,b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) |0.625-0.75|=0.125<0.1×2
若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”,结论又如何
延伸探究
在本例的基础上,取区间(0.625,0.75)的中点x=0.687 5,因为f(0.687 5)<0, f(0.75)>0且|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.05×2,所以x=0.718 75可作为方程的一个近似解.
反
思
感
悟
(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[a,b](一般采用估计值的方法完成).
②取区间端点的中点c,计算f(c),确定有解区间是(a,c)还是(c,b),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.
(2)切记最后的区间的两端点满足|b-a|≤2ε,则取x=为所求
函数零点的近似值.
(1)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是
例 2
√
按定义,f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的,且f(a)·f(b)<0,才能不断地把函数零点所在的区间一分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得B,C,D满足条件,而A不满足,在A中,函数图象经过零点时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.
用二分法求方程f(x)=0在[0,1]内的近似解时,经计算,f(0.625)<0,
f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,则可得出方程的一个近似解为　　　 (精确度为0.1).
跟踪训练 4
0.687 5
因为|0.75-0.625|=0.125<0.1×2,
所以x=0.687 5可作为方程的一个近似解.
1.知识清单:
(1)函数零点存在定理.
(2)二分法的概念.
(3)用二分法求函数零点的近似值.
2.常见误区:f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件,求近似值时精确度理解不准确.
随堂演练
四
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1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
A.[-2,-1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2]
√
由于f(-2)=-3<0,f(-1)=4>0,故可以取区间[-2,-1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.
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2.(多选) 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,且其中的四组对应值如下表,那么在下列区间中,函数f(x)一定存在零点的是

A.(1,2) B.[1,3] C.[2,5) D.(3,5)
√
√
√
x 1 2 3 5
f(x) 3 -1 2 0
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由图表可知,f(1)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0.由f(1)·f(2)<0,可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点;则函数f(x)在[1,3]上一定有零点;由f(2)·f(3)<0,可知函数f(x)
在(2,3)上一定有零点;则函数f(x)在[2,5)上一定有零点;由f(3)>0,f(5)=0,可知f(x)在(3,5)上不一定有零点.
x 1 2 3 5
f(x) 3 -1 2 0
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表所示:

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.02)为
A.1.312 5 B.1.375 C.1.422 25 D.1.406 5
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√
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052
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∵f(1.406 5)<0,f(1.438)>0,
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0,
∴该方程的解在区间(1.406 5,1.438)内,
又|1.406 5-1.438|=0.031 5<0.02×2,
∴方程的近似解可以是1.422 25.
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052
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4.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是　　　 .
∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,
∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切.
∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b.
a2=4b
课时对点练
五
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基础巩固
1.(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,能
求出的零点是
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
√
由图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.
√
√
2.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f(4)
<0,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是
A.(2,4) B.(2,3)
C.(3,4) D.无法确定
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√
3.已知连续函数f(x)的部分对应值如下表:
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x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 14 8 -2 2 7 3 -2 -1 8
则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
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∵f(2)=8>0,f(3)=-2<0,f(4)=2>0,
f(6)=3>0,f(7)=-2<0,f(8)=-1<0,f(9)=8>0,
∴f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,
f(6)·f(7)<0,f(8)·f(9)<0,
∴在(2,3),(3,4),(6,7),(8,9)上都至少各有一个零点,
∴至少有4个零点.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 14 8 -2 2 7 3 -2 -1 8
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4.(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是
A. B.[-2,1] C. D.
√
∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],
∴第三次所取的区间可能为,,,.
√
√
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5.用二分法求方程的近似解,求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示:
由表格可得,当精确度为0.1时,函数f(x)=x3+2x-9的零点在(1.75,1.875)中,
故方程x3+2x-9=0的近似解可取为1.812 5.
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f(x) -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时,方程x3+2x-9=0的近似解可取为
A.1.625 B.1.75 C.1.812 5 D.1.875
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6.下列说法正确的是
A.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)
中一定没有零点
B.若函数y=f(x)在区间(a,b)中有零点,则f(a)f(b)<0
C.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在区间(a,b)中至多有一个零点
D.函数y=2x-1的零点是
√
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对于A选项,函数f(x)=x2在(-1,1)中的零点为0且满足在区间[-1,1]上的图象连续,且f(-1)f(1)=1>0,故A错误;
对于B选项,函数f(x)=x2在(-1,1)中的零点为0,但f(-1)f(1)=1>0,故B错误;
对于D选项,该函数的零点为,而不是点,故D错误;易知C正确.
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7.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　,第二次应计算　　　　.
(0,0.5)
f(0.25)
∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).
8.设f(x)=x2-3x+a,若函数f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数a的取值范围为
　　　　.
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显然函数f(x)图象的对称轴是直线x=,
根据二次函数的性质可知f(1)因为函数f(x)在区间(1,3)内有零点,
所以f(3)·f<0或f=0,解得09.用二分法求方程x2-5=0的一个正零点近似值.(精确度为0.05)
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令f(x)=x2-5,
因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,
所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29,
因为f(2.2)·f(2.3)<0,
所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,
f(2.25)=0.062 5,
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因为f(2.2)·f(2.25)<0,
所以x0∈(2.2,2.25).
由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05,
因此原方程的正零点近似值可取为=2.225.
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10.已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.
(1)求证:f(x)在区间(1,2)中存在零点;
因为f(x)=2x3-x2-3x+1,
所以f(1)=-1<0,f(2)=7>0,
所以f(1)·f(2)=-7<0.
且f(x)=2x3-x2-3x+1在区间[1,2]上的图象连续,
所以f(x)在区间(1,2)中存在零点.
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(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示,请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x)的近似值 -1 1 -0.406 25 0.183 59 -0.138 18 0.015 81
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由(1)知,f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)中存在零点,由表知f(1)=-1,f(1.5)=1,
所以f(1)·f(1.5)<0,所以f(x)的零点在(1,1.5)中,因为f(1.25)=-0.406 25,
所以f(1.25)·f(1.5)<0,
所以f(x)的零点在(1.25,1.5)中,
因为f(1.375)≈0.183 59,
所以f(1.25)·f(1.375)<0,所以f(x)的零点在(1.25,1.375)中,
由于|1.375-1.25|=0.125<0.1×2,
所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是=1.312 5.
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11.已知函数f(x),g(x)的图象在[-1,3]上都是连续不断的.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是
综合运用
x -1 0 1 2 3
f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
√
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令F(x)=f(x)-g(x),
因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)=-0.147<0,
F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.44<0,
F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0,
F(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0,
F(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0,
于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点,即f(x)=g(x)在(0,1)内有实数解.
12.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解,现在已经将一个实数根锁定在
区间(1,2)内,则下一步可断定该实数根所在的区间为　　　.
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令f(x)=x3-x2-1,则f(1)=-1<0,f(2)=3>0,f=>0,所以ff(1)<0,
故可断定该实数根所在的区间为.
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13.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)中有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为　　.
设等分的最少次数为n,则由<0.01,
得2n>10,∴n的最小值为4.
4
14.设方程2x+x3=10的唯一正实根为β,β所在区间为(n,n+1),n∈N+,则n=　 .
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设f(x)=2x+x3-10,
又f(0)=-10,f(1)=-7,f(2)=2,
∴f(1)·f(2)<0,∴β∈(1,2),n=1.
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15.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称　　次就可以发现这枚假币.
拓广探究
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将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.
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16.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7,问:30名木工如何分组(一组制作课桌,一组制作椅子)才能使任务完成最快
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设x(1≤x≤29,x∈N+)名木工制作课桌,(30-x)名木工制作椅子.
一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子,所以x名木工制
作100张课桌所需要的时间P(x)=,(30-x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)==,要想任务完成最快,
则应求y=max{P(x),Q(x)}的最小值,该函数图象
是图中实线上的29个点,记x0为y取最小值时x的
值,假设P(x)=Q(x),下面用二分法的思想求x0.
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令f(x)=P(x)-Q(x)=+,则f(1)=-≈13.60>0,f(29)
=-20≈-19.51<0,所以x0∈(1,29);取区间(1,29)的中点
x1==15,f(15)≈-0.38<0,所以x0∈(1,15);同理可得,x0∈
(8,15),x0∈(11.5,15),x0∈(11.5,13.25),x0∈(12.375,13.25),x0∈(12.375,12.812 5).又x0∈N+,所以x0=12或x0=13.当|f(x)|取最小值时,表示木工分别完成两项工作的时间最接近,此时完成此项工作时间最短.当x0=12时,f(x)≈0.079;当x0=13时,f(x)≈-0.078.因为|0.079|>|-0.078|,所以取x0=13,即安排13名木工制作课桌,17名木工制作椅子,可使任务完成最快.作业32 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是 (　　)
A.-，-1 B.，1
C.，-1 D.-，1
2.(多选)函数y=ax-2的零点的个数可能是 (　　　　)
A.0 B.1
C.2 D.无法判断
3.函数y=x2-bx+1有一个零点，则b的值为 (　　)
A.2 B.-2
C.±2 D.3
4.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为，则ab的值为 (　　)
A.-6 B.-2
C.2 D.6
5.函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(|x|)的零点的个数为 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
6.(多选)下列各选项能使不等式<0成立的是 (　　　　)
A.｛x|-1C.｛x|27.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　，g(x)<0的解集是　　　　　　　　　　　　　.
8.若函数f(x)=|x2-4x|-a有四个不同的零点，则实数a的取值范围是　　　　　　.
9.(10分)利用函数图象求下列不等式的解集.
(1)-x2-2x+3>0；(5分)
(2)x3-x2-4x+4<0.(5分)
10.(10分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(6分)
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.(4分)
11.(多选)不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集不可能是 (　　　　)
A.
B.R
C.
D.
12.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(aA.a<α<βC.α13.一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2，则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.(-∞，-5)
C. D.
14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和为　　　　.
15.已知函数f(x)=x|x-1|-a，x∈R有三个零点x1，x2，x3，则实数a的取值范围是　　　　；x1+x2+x3的取值范围是　　　　.
16.(12分)若函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-4x+3.
(1)求f(x)在R上的解析式；(5分)
(2)若a∈R，g(x)=f(x)-a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？(7分)
答案精析
1.B　2.AB　3.C　4.C　5.D
6.AC　［原不等式可化为(x-2)2(x+1)(x-3)<0，
所以-17.-，-
∪
8.(0，4)
9.解　(1)设f(x)=-x2-2x+3，令f(x)=0，
得-x2-2x+3=0，
即(x+3)(x-1)=0.
解得x=-3或x=1，
因此-3和1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图象与x轴相交于点(-3，0)和(1，0)，
又因为函数的图象是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图象的示意图，如图所示，
由图可知，不等式的解集为(-3，1).
(2)设g(x)=x3-x2-4x+4
=(x3-x2)-(4x-4)
=x2(x-1)-4(x-1)
=(x-1)(x2-4)
=(x-1)(x+2)(x-2)，
所以函数零点依次为-2，1，2.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每一个区间函数值的符号如下表所示.
x (-∞，-2) (-2，1) (1，2) (2，+∞)
g(x) - + - +
由此可以画出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知 x3-x2-4x+4<0的解集为(-∞，-2)∪(1，2).
10.解　(1)函数有两个零点，则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ>0，
即4+12(1-m)>0，解得m<；
函数有一个零点，即Δ=0，
解得m=；
函数无零点，即Δ<0，解得m>.
故当m<时，函数有两个零点；
当m=时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点.
(2)由已知得，0是对应方程的根，所以有1-m=0，
解得m=1.
11.BCD　［因为Δ=a2+4m>0，
所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点，
又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D.］
12.A　［因为α，β为f(x)=0的两根，
所以α，β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x-a)(x-b)=0的两根，
令g(x)=(x-a)(x-b)，
所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.］
13.C　［关于x的一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2，
则
解得-≤m<-5.］
14.3　0
解析　∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)=0，
又∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，
∴由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也是增函数，
又∵f(2)=-f(-2)=0，
∴f(x)在(0，+∞)上只有一个零点，
综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0.
15.　
解析　根据题意，设g(x)=x|x-1|
=
其图象如图所示.
若函数f(x)=x|x-1|-a有三个零点，则函数y=g(x)的图象与直线y=a有3个交点，必有0设x11，解得x=，则1即x1+x2+x3的取值范围是.
16.解　(1)当x=0时，f(0)=0；
当x<0时，-x>0，根据奇函数的定义可知，
f(x)=-f(-x)=-(x2+4x+3)=-x2-4x-3，
故f(x)=
(2)在平面直角坐标系中，作出函数f(x)的图象，如图所示.令g(x)=f(x)-a=0，g(x)零点的个数即为f(x)的图象与直线y=a交点的个数.由图可知，
当a=0时，
g(x)=f(x)-a有5个零点；
当0g(x)有4个零点；
当a=±1时，
g(x)有3个零点；
当1g(x)有2个零点；
当a≤-3或a≥3时，
g(x)有1个零点.
故当a=0时，
g(x)=f(x)-a零点的个数最多；
当a≤-3或a≥3时，
g(x)零点的个数最少.作业34 零点的存在性及其近似值的求法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分
1.(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是 (　　　　)
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
2.用二分法求函数y=f(x)在区间［2，4］上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1==3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是 (　　)
A.(2，4) B.(2，3)
C.(3，4) D.无法确定
3.已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 14 8 -2 2 7 3 -2 -1 8
则函数f(x)在区间［1，9］上的零点至少有 (　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
4.(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是［-2，4］，则第三次所取的区间可能是 (　　　　)
A. B.［-2，1］
C. D.
5.用二分法求方程的近似解，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f(x) -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为 (　　)
A.1.625 B.1.75
C.1.812 5 D.1.875
6.下列说法正确的是 (　　)
A.若函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象连续，且f(a)f(b)>0，则y=f(x)在区间(a，b)中一定没有零点
B.若函数y=f(x)在区间(a，b)中有零点，则f(a)f(b)<0
C.若函数f(x)在区间［a，b］上单调，则f(x)在区间(a，b)中至多有一个零点
D.函数y=2x-1的零点是
7.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈　　，第二次应计算　　　　.
8.设f(x)=x2-3x+a，若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为　　　　.
9.(10分)用二分法求方程x2-5=0的一个正零点近似值.(精确度为0.05)
10.(11分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)中存在零点；(5分)
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).(6分)
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x)的近似值 -1 1 -0.406 25 0.183 59 -0.138 18 0.015 81
11.已知函数f(x)，g(x)的图象在［-1，3］上都是连续不断的.根据下表，能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是 (　　)
x -1 0 1 2 3
f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A.(-1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
12.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解，现在已经将一个实数根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为　　　　.
13.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)中有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为　　　　.
14.设方程2x+x3=10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n+1)，n∈N+，则n=　　　　.
15.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　　　　次就可以发现这枚假币.
16.(12分)学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？
答案精析
1.ABD　2.B　3.C　4.ACD　5.C
6.C　［对于A选项，函数f(x)=x2在(-1，1)中的零点为0且满足在区间［-1，1］上的图象连续，且f(-1)f(1)=1>0，故A错误；
对于B选项，函数f(x)=x2在(-1，1)中的零点为0，但f(-1)f(1)=1>0，故B错误；
对于D选项，该函数的零点为，而不是点，故D错误；易知C正确.］
7.(0，0.5)　f(0.25)　8.
9.解　令f(x)=x2-5，
因为f(2.2)=-0.16<0，f(2.4)=0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，
f(2.3)=0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，
所以x0∈(2.2，2.3).
再取区间(2.2，2.3)的中点x2=2.25，
f(2.25)=0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2，2.25).
由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05，
因此原方程的正零点近似值可取为=2.225.
10.(1)证明　因为f(x)=2x3-x2-3x+1，
所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0，
所以f(1)·f(2)=-7<0.
且f(x)=2x3-x2-3x+1在区间［1，2］上的图象连续，
所以f(x)在区间(1，2)中存在零点.
(2)解　由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)中存在零点，
由表知f(1)=-1，f(1.5)=1，
所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)中，
因为f(1.25)=-0.406 25，
所以f(1.25)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.5)中，
因为f(1.375)≈0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.375)中，
由于|1.375-1.25|=0.125<0.1×2，
所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是=1.312 5.
11.B　［令F(x)=f(x)-g(x)，
因为F(-1)=f(-1)-g(-1)
=-0.677-(-0.530)=-0.147<0，
F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.44<0，
F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0，
F(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0，
F(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0，
于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0，1)内有零点，即f(x)=g(x)在(0，1)内有实数解.］
12.
解析　令f(x)=x3-x2-1，则f(1)=-1<0，f(2)=3>0，f=>0，所以ff(1)<0，
故可断定该实数根所在的区间为.
13.4
解析　设等分的最少次数为n，则由<0.01，
得2n>10，∴n的最小值为4.
14.1
解析　设f(x)=2x+x3-10，
又f(0)=-10，f(1)=-7，
f(2)=2，
∴f(1)·f(2)<0，∴β∈(1，2)，n=1.
15.4
解析　 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币.综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币.
16.解　设x(1≤x≤29，x∈N+)名木工制作课桌，(30-x)名木工制作椅子.一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，所以x名木工制作100张课桌所需要的时间P(x)=，(30-x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)==，要想任务完成最快，则应求y=max｛P(x)，Q(x)｝的最小值，该函数图象是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，
假设P(x)=Q(x)，
下面用二分法的思想求x0.
令f(x)=P(x)-Q(x)=+，则f(1)=-≈13.60>0，f(29)=-20≈-19.51<0，所以x0∈(1，29)；取区间(1，29)的中点x1==15，f(15)≈-0.38<0，所以x0∈(1，15)；同理可得，x0∈(8，15)，x0∈(11.5，15)，x0∈(11.5，13.25)，x0∈(12.375，13.25)，x0∈(12.375，12.812 5).又x0∈N+，所以x0=12或x0=13.当|f(x)|取最小值时，表示木工分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短.当x0=12时，f(x)≈0.079；当x0=13时，f(x)≈-0.078.因为|0.079|>|-0.078|，所以取x0=13，即安排13名木工制作课桌，17名木工制作椅子，可使任务完成最快.

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