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专题08 平面向量（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 5
【热考考点】 7
【热考点一】平面向量基本定理及其应用 7
【热考点二】平面向量共线的充要条件 8
【热考点三】平面向量的数量积 9
【热考点四】平面向量的模与夹角 10
【热考点五】等和线问题 11
【热考点六】极化恒等式 12
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
4.平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
5.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
6.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
8.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
9.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
10.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
11.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
7．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
12．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
14．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
16．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
【热考点一】平面向量基本定理及其应用
【典例1-1】如图，在中，，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
1．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【热考点二】平面向量共线的充要条件
【典例2-1】在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【变式2-2】如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
1．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【热考点三】平面向量的数量积
【典例3-1】如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ．
【典例3-2】已知向量，满足，且，则 ．
【变式3-1】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 .
【变式3-2】如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 .
1．已知是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F．使得，则 ．
【热考点四】平面向量的模与夹角
【典例4-1】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量，满足，，，则 ．
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时， ．
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期末）已知非零向量满足：，且，则 .
【变式4-2】已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 .
1．平面向量满足，，若，则 .
【热考点五】等和线问题
【典例5-1】已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示）
【典例5-2】如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ．
【变式5-1】已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是 .
【变式5-2】如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ．
1．已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 ．
【热考点六】极化恒等式
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【典例6-2】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式6-1】已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 .
【变式6-2】在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ．
1．已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为 ．
2．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .专题08 平面向量（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 5
【热考考点】 17
【热考点一】平面向量基本定理及其应用 17
【热考点二】平面向量共线的充要条件 21
【热考点三】平面向量的数量积 24
【热考点四】平面向量的模与夹角 27
【热考点五】等和线问题 30
【热考点六】极化恒等式 35
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
4.平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
5.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
6.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
8.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
9.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
10.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
11.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
7．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
12．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
14．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
16．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B B B D A D
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
2．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
4．D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
5．B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
6．B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
7．B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
8．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
9．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
10．D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
11．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
12．D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
13．
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
14．
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

15．
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
16．
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
【热考点一】平面向量基本定理及其应用
【典例1-1】如图，在中，，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为是的中点，所以，
所以，
又，所以，，即.
故选：D.
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接DE，
由题意可知，，所以，则，
所以，所以，
则，
故.
又，所以，则.
故选：A
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．
【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在中，取为基底，
因为点分别为的中点，，
所以，
所以.
故选：A.
【变式1-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可得：，
，
设，
则,
又三点共线，所以，
解得，
所以，
故选：A
1．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为点为的中点，所以，
所以.
故选：B.
【热考点二】平面向量共线的充要条件
【典例2-1】在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中，
即，
所以，，
又因为，则，，其中、均为正数，
且有，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是.
故选：A.
【典例2-2】已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三点共线的充要条件是且，
即，由是两个不共线向量，
所以，故.
故选：C.
1、平面向量共线定理：已知，若，则三点共线；反之亦然．
2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量，，则的充要条件是；（2）若，则．
【变式2-1】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【解析】
如图，延长交于点，因点是的重心，
则，①
因三点共线，则，使，
因，，代入得，，②
由①，②联立，可得，，消去即得，，
则，
当且仅当时等号成立，
即时，取得最小值，为.
故选：C.
【变式2-2】如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】因为点是线段的中点，则，
则，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
1．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
【热考点三】平面向量的数量积
【典例3-1】如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ．
【答案】1
【解析】
如图，连接，在平行四边形中，分别为的中点，
则三点共线，且为的中点，所以．
过点作于点，设，
由，，
得，则．
由分别为的中点，
则，，所以，
所以
．
故答案为：1.
【典例3-2】已知向量，满足，且，则 ．
【答案】/0.25
【解析】由得，
两式相减得，
所以，则．
故答案为：.
1、向量的数量积：设两个非零向量的夹角为，则叫做与的数量积，记作．
2、数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
3、设向量，，则，由此得到：
（1）若，则或．
（2）设，则A，B两点间的距离
（3）设两个非零向量，且，，则
（4）若都是非零向量，是与的夹角，则
【变式3-1】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 .
【答案】1
【解析】由，可得，
又，，三点共线，
则有，
由于，所以，即，
又，
且，，，
故
.
故答案为：1.
【变式3-2】如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 .
【答案】9
【解析】如图，在中，D为的中点，下面证明结论：.
因为D为的中点，
所以，所以①
又，所以②
①-②得，所以
因为在平面四边形中，O为的中点，且，.
所以，解得，
.
故答案为：
1．已知是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F．使得，则 ．
【答案】2
【解析】如图：
以为基底，则，.
所以，，
所以.
所以.
故答案为：2
【热考点四】平面向量的模与夹角
【典例4-1】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量，满足，，，则 ．
【答案】6
【解析】由 可得，
，解得，
故答案为：6
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时， ．
【答案】/
【解析】
如图所示，以为坐标原点，以方向为x轴，垂直方向为y轴，建立平面直角坐标系，
因为，，所以，．
设，圆O方程为，
则，，
所以．
因为，当时，，
此时，且，，
所以，，则．
故答案为：.
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为．
(2)求非零向量的夹角一般利用公式先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期末）已知非零向量满足：，且，则 .
【答案】
【解析】.
，
，解得，
故．
故答案为：.
【变式4-2】已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，，.
当，反向时，有，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
1．平面向量满足，，若，则 .
【答案】/
【解析】因为，所以，
由题设有，故，
而，故，
故答案为：
【热考点五】等和线问题
【典例5-1】已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示）
【答案】
【解析】
因为，所以，
整理得，所以P为的重心，
取AC的中点D，则.
因为，所以，
所以当点M在线段BP上时，取得最小值1，
当点M与C重合时，取得最大值2，
所以的取值范围为，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【典例5-2】如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为与交于点，所以三点共线，
所以与共线，设，则，
因为，所以，
可得＝＋，因为三点共线，所以，可得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
【变式5-1】已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】方法一：设圆的半径为1，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过O点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系，
其中，其中，
由，
即，整理得，
解得，
则，
所以.
方法二：设，如图，当位于点或点时，三点共线，所以；
当点运动到的中点时，，所以
故答案为：
【变式5-2】如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】连接，则，，
因为，所以,
因为点是圆及其内部任意一点，
所以，且当三点共线时，取得最值，
当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形,
则和为等边三角形，
所以，
所以，
所以的最大值为，
同理可求得的最小值为，
所以，
故答案为：
1．已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，即，
可得，
因为，
即，
整理可得，且不共线，
则，解得，
即，，
又因为点在内（不含边界），设，且，
可得，
则，
可得，可得，
且，可得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【热考点六】极化恒等式
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【答案】C
【解析】取EF的中点M，连接CM，则，
，
又，所以，
所以，
当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，
故选：C．
【典例6-2】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值4，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以．
所以，
即的最小值为8．
故选：D
极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
【变式6-1】已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 .
【答案】6
【解析】取的中点，连接，，，如图所示：
因为为中点，所以，
所以，
因为，所以最大值为；
所以的最大值为.
故答案为：6．
【变式6-2】在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ．
【答案】3
【解析】
如图，取中点，连接，
，
，
两式相减得
，
要使有最大值，则最小，
当时，，
所以的最大值为.
故答案为：3.
1．已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】取的中点N，连接，取其中点D，如图所示，
当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．
由外接圆半径为1，
则，
从而．所以的最小值是，
又，，
所以，即，
所以
，
所以的最小值为.
故答案为：5.
2．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .
【答案】 6
【解析】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，
所以，，
则；
，
显然，当为的中点时，，
所以
故答案为：6；．

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