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2025年浙江省杭州市西湖区中考数学一模押题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知|a|=2，|b|=3，且b>a，则a，b的值分别为(　　)
A．2，3 B．-2，3 C．2或-2，3 D．-2，-3
2．截至2023年6月，我国可再生能源装机达到 13.22亿千瓦。13.22亿用科学记数法表示为(　　)
A． B．1.322×109
C．1.322×108 D．
3．下列计算中， 结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线，直线分别交直线于点，点在直线上，连结．若，，则的度数为（　　）．
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字1的是（　　）
A．中位数是4，众数是4 B．平均数是3，中位数是3
C．平均数是4，方差是2 D．平均数是3，众数是2
6．如图，在正方形中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于，，则的长为（　　）
A．26 B．24 C．12 D．10
8．已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
9．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为a，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(　　)
A．(1.5+150tanα)米 B．(1.5+)米
C．(1.5+150sinα)米 D．(1.5+)米
10．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
；方程的两个根是，；；
当时，的取值范围是；当时，随增大而增大.
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．在实数范围内分解因式　 　．
12．一个不透明的袋子里有10个红球和若干个同样大小的白球，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到红球，请估计袋中大约有白球　 　个．
13．如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得关于、的二元一次方程组的解是　 　 ．
14．如图，正六边形的边长为6，分别以正六边形的边，为直径作圆，两圆交于点，点，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为　 　．
16．如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：；
（2）先化简再求值：，其中；
（3）解方程：．
18．学校准备从甲、乙两位选手中选择一位，代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，总评成绩由“表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写”四部分组成，甲、乙两位选手的成绩(单位：分)如下表所示.
选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
请解答下列问题：
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为 80.25分，请计算乙的平均成绩.
（2）已知四部分占总评成绩的比例如图所示.
①求图中表示“阅读理解”的扇形的圆心角度数.
②按照图中比例计算甲、乙两名选手的总评成绩，判断学校派谁参加比赛比较合适.
19．求证：有两个角和其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
20．如图，已知直线l：y=-x+5．若反比例函数y=(k>0，x>0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1，y1) ，B(x2，y2)，当x2-x1=3时，求k的值．
21．如图，在中，直径与弦相交于点，，．
（1）求的大小；
（2）若，求的长．
22．某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象．
（1）目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________．
（2）当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标；
（3）在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________．
23．已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为.
（1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，；
（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标.
24．已知 是正方形 边 上任意一点，
（1） 将 沿 翻折至 ，
①如图 ①， 若 点恰好在对角线 上， ， 求 的长；
②如图②， 若点 是 中点， ， 射线 与 边交于点 ， 求四边形 的面积．
（2） 如图③， 点 是边 上任意一点， 与 交于点 ， 射线 与射线 交于点 ， 求证： ．
答案解析部分
1．C
解： |a|=2，|b|=3，
则a=±2，b=±3，
∵b>a，
则b=3，a=2或-2，
故选C.
根据 |a|=2，|b|=3得到a=±2，b=±3，结合b>a，可得到答案.
2．B
13.22亿= 1.322×109，
故答案为：B.
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．
3．D
解：A、，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D.
只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘的法则，可对D作出判断.
4．C
5．C
6．C
解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
在正方形OABC中，∠AOC=90°，AO=CO，
∵∠AOC=∠CDO=90°，
∴∠COD+∠AOE=∠COD+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠AOE，
在△OCD和△AOE中，，
∴△OCD≌△AOE（AAS），
∴CD=OE=1，OD=AE=，
∴C（-，1）．
故答案为：C.
根据正方形的性质，利用AAS证明△OCD≌△AOE，根据全等三角形的性质即可得点C的坐标．
7．B
8．C
解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
9．A
解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
∴四边形ADCE为矩形，AE＝150米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在△ABE中，∵tanα＝，
∴BE＝150tanα，
∴BC＝CE＋BE＝（1.5＋150tanα）（米），
故答案为：A．
过点A作AE⊥BC，E为垂足，根据图形可得tanα＝，再求出BE＝150tanα，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
10．B
解：抛物线与轴有2个交点，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，所以正确；
，
即，
而时，，
即，
，
，
所以错误；
抛物线与轴的两点坐标为，，
当时，，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，
当时，随增大而增大，所以正确.
故答案为：B.
根据抛物线与x轴有2个交点可判断①；根据对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），据此判断②；根据对称轴为直线x=1可得b=-2a，由x=-1对应的函数值为0可得a-b+c=0，联立可判断③；找出函数图象在x轴上方部分所对应的x的范围可判断④；根据函数图象可直接判断⑤.
11．
12．40
13．
解：观察函数图象可得： 函数和的图象交于点（-4，-2），
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：.
根据函数图象求出 函数和的图象交于点（-4，-2），再求解即可。
14．
15．
解：如图，作，连接，
，
令正方形网格的边长为，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
作，连接，可以得到，再利用勾股定理得到BE、AE、AB的长，得到，然后利用正弦的定义解题即可．
16．
解：∵、是的中线，，
∴，，
∵HD∥BC，
∴，
∴，，
设，则，，
∴．
故答案为：．
根据三角形中位线定理得，，由平行于三角形一边得直线，截其它两边（或两边的延长线，）可证△DMH∽△BME，△AHD∽△AEC，由相似三角形对应边成比例得，，，设，则，，即可求得比值．
17．（1）
（2），
（3）
18．（1）解：乙的平均成绩为分
答：乙的平均成绩问为79.5分
（2）解：①由题意得
（1-30％-40％-20％）×360°=36°，
答：图中表示“阅读理解”的扇形的圆心角度数为36°；
②∵甲的总评成绩=79.5分，乙的总评成绩=80.4分，
∴79.5＜80.4，
∴按总评成绩，学校派乙参加比赛比较合适
（1）根据表中数据，利用平均数公式可求出乙的平均成绩.
（2）①由扇形统计图可得到“阅读理解”的人数所占的百分比，用360°×“阅读理解”的人数所占的百分比，列式计算即可；②比较两个人的总评成绩，可得答案.
19．解：已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A'，∠ABC=∠A'B′C′，∠ABC、∠A'B′C′的角平分线BD=B′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠ABC=∠A'B′C′且∠ABC、∠A'B′C′的角平分线分别为BD和B′D′，
∴∠ABD=∠A′B′D′= ∠ABC，
∵在△ABD和△A′B′D′中 ，
∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），
∴AB=A′B′，
在△ABC和△A′B′C′中 ，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得∠ABD=∠A′B′D′= ∠ABC，然后用AAS证明△ABD≌△A′B′D′，根据全等三角形的对应边相等可得AB=A′B′，再利用ASA证明△ABC≌△A′B′C′即可.
20．解： 联立函数表达式得整理得x2-5x+k=0，根据根与系数的关系得x1+x2=5．又∵x2-x1=3，∴x1=1，x2=4，即点A，B的坐标分别为(1，4)，(4，1)．
将点A（1，4）代入 y=得k=4．
联立直线y=-x+5与y=为方程组，整理可得x2-5x+k=0，由根与系数的关系得x1+x2=5，结合x2-x1=3，可求出x1，x2，即得A的坐标，再将其代入反比例函数解析式中即可求出k值.
21．（1）；
（2）．
22．（1），
（2）
（3）或或
23．（1）解：把，代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∴
（2）解：∵抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标分别为，
∴当时，或
（3）解：如图所示，连接，
由抛物线的对称性可得，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴的最小值为，此时.
（1）把A、C坐标代入解析式求出b、c，得到解析式，再令y=0，可求与x轴的交点坐标；
（2）结合图像，得出y<0时，x的取值范围；
（3）A和B关于对称轴对称，PA+PC＝PB+PC，∴当P在线段BC上时，PB+PC最小。先求BC的解析式，再求与对称轴的交点坐标即可。
24．（1）解：① 四边形 是正方形，
．
设 ．
将 沿 翻折至 ，
．
．
， 即 ，
解得 ， 即 ．
②如图， 分别延长 交于点 ，
四边形 是正方形
．
．
点 中点，
．
，
解得 （负值已舍去）．
易知 ，
．
． ．
设 ， 则
在 Rt 中， 由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ．
四边形 的面积
．
（2）证明： 设 ，
则 ，
．
四边形 是正方形，
．
．
．
易得 ．
（1）①设AB=x，根据正方形的性质、折叠的性质，可用x表示出DE，根据折叠的性质，可得EF=DE，再利用正弦得到关于x的方程求解，求出x即可；
② 分别延长 交于点 ，先利用AAS证明，根据面积的不同算法，得到关于AD的方程求解，求出AD，设 ，用t表示出AG，BG，再利用勾股定理，得到关于t的方程求解，再求出四边形 的面积；
(2) 设，可用x，y表示出BP，可得，先证明，再，分别列出比例式，得到有关x，y，m的关系，从而有，交叉相乘即可得结论．

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