资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中考数学基础解答题整理
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．（2024 浙江）计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；绝对值；立方根．
【分析】利用负整数指数幂，立方根的定义，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣2+5
＝7．
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂，立方根，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2024 浙江）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】先有①×3+②得出10x＝5，求出x，再把x代入①求出y即可．
【解答】解：，
①×3+②得：10x＝5，
解得：x，
把x代入①得：2y＝5，
解得：y＝﹣4，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．（2024 浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长；
（2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD8；
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝8+6＝14；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE7，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1，
∵AD⊥BC，
∴，
∴sin∠DAE．
【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
4．（2024 浙江）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下：
科学活动喜爱项目调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况填写．问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是 　A　（A）科普讲座（B）科幻电影（C）AI应用（D）科学魔术如果问题1选择C．请继续回答问题2．问题2：你更关注的AI应用是 　E　（E）辅助学习（F）虚拟体验（G）智能生活（H）其他
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？
（2）若该学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数．
【考点】用样本估计总体；统计表．
【分析】（1）用本次调查中最喜爱“AI应用”的学生人数乘E所占百分比即可；
（2）用1200乘该校最喜爱“科普讲座”项目的百分比即可．
【解答】解：（1）80×40%＝32（人），
答：本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人；
（2）1200324（人），
答：估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数大约有324人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2024 浙江）尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）证明AF∥CE；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，根据“平行四边形的对边互相平行”即可得证；
（2）以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
【解答】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
故小丽的作法有问题．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．（2023 湖州）计算：．
【考点】实数的运算．
【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣2×3
＝4﹣6
＝﹣2．
【点评】本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．（2023 湖州）解一元一次不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先解每一个不等式，再求它们的公共部分．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式是解题的关键，
8．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13，
【解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴．
【点评】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2023 湖州）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值；
（2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
（3）将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【解答】解：（1）被抽查的学生人数是 40÷20%＝200（人），
∵，
∴扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
（2）200﹣60﹣80﹣40＝20（人），
补全的条形统计图如图所示．
（3）∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
10．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）根据切线性质得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；
（2）分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．
【解答】（1）证明 如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴，
在Rt△ABC中，
．
【点评】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．
11．（2023 衢州）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．
（2）化简：2．
【考点】分式的加减法；平方差公式．
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据分式的加法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）（a+2）（a﹣2）
＝a2﹣22
＝a2﹣4；
（2）2
＝a．
【点评】本题考查了分式的加法和平方差公式，能正确根据平方差公式进行计算是解（1）的关键，能正确根据分式的加法法则进行计算是解（2）的关键．
12．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【考点】解一元一次方程．
【分析】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
【解答】解：（1）如图：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括号：14x＝4x﹣1+6，
移项：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同类项：10x＝5，
系数化1：x．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
13．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
【解答】解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（2023 衢州）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
【考点】扇形统计图；总体、个体、样本、样本容量．
【分析】（1）根据自然增长率与出生率、死亡率的数值即可推测它们之间的关系；
（2）根据样本容量＝总体×抽样比例求出a的值即可；
（3）①根据统计图进行解答，合理即可；
②根据目前人口自然增长率的趋势，提出建议改善现状，合理即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，人口自然增长率＝出生率﹣死亡率．
（2）5‰a＝11450，解得a＝2290000．
（3）①近5年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降；自2021年起，我市人口呈现负增长（答案不唯一，合理即可）；
②建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，鼓励人们多生育（答案不唯一，合理即可）．
【点评】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解并掌握它们的概念是本题的关键．
15．（2023 衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连结OD．由切线的性质得出∠ODB＝90°，证明Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），由全等三角形的性质得出BC＝BD．
（2）①证出∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，由直角三角形的性质得出答案；
②由勾股定理求出AD＝2，∠AOD＝60°，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连结OD．
∵BD是圆O的切线，D为切点，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BC＝BD．
（2）解：①∵OB＝OA，
∴∠OBD＝∠A，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠OBD＝∠OBC，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，
∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，
在Rt△ODA 中，sin∠A，
∴ODOA．
∵OD＝OE，
∴OEOA，
∴OE＝AE＝2，
∴半圆O的半径为2．
②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，
∴AD2，
∴S△OAD2，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝22．
【点评】此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
16．（2023 温州）计算：
（1）|﹣1|（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）．
【考点】分式的加减法；负整数指数幂；实数的运算．
【分析】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4
＝12；
（2）原式
＝a﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（2023 温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
【考点】作图﹣旋转变换；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理；作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）作等腰直角三角形PQR，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）；
（2）图形如图2所示（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握在旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
18．（2023 温州）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
B 216 215 220
C 227.5 227.5 225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为210km，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
【解答】解：（1）A型号汽车的平均里程为：200（km），
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为200km，所以中位数为200km；
205km出现了六次，次数最多，所以众数为205km；
（2）选择B型号汽车．理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于210km，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过210km，其中B型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
【点评】本题考查的是折线统计图，平均数、众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．
19．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x上，求y1﹣y2的最大值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式；
（2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案．
【解答】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x中，得m；
设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数表达式为yx+3．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，
∴y1t+3（0≤t≤2），
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x上，
∴y2＝2（t﹣1）2t，
∴y1﹣y2t+3﹣（2t）t，
∵0，
∴y1﹣y2随t的增大而减小，
∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为．
【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案．
20．（2023 温州）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当，AD＝4时，求EF的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到GE＝GF，再根据等边对等角得出∠E＝∠GFE，根据矩形的性质得出AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，于是可证△ABF和△DCE全等，得到BF＝CE，从而问题得证；
（2）先证△ECD∽△EFH，得出比例式，再结合已知即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE＝90°，
∵GE＝GH，
∴，
∴∠E＝∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴BF＝CE，
∴BF﹣BC＝CE﹣BC，
即BE＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴，
∴，
∵，
∴，
设BE＝CF＝x，
∴EC＝x+4，EF＝2x+4，
∴，
解得x＝1，
∴EF＝6．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
21．（2023 绍兴）（1）计算：；
（2）解不等式：3x﹣2＞x+4．
【考点】解一元一次不等式；实数的运算；零指数幂．
【分析】（1）先算零指数幂，二次根式的化简，绝对值，再算加减即可；
（2）利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
【解答】解：（1）
＝1；
（2）3x﹣2＞x+4，
移项得：3x﹣x＞4+2，
即：2x＞6，
系数化为1，得：x＞3，
∴原不等式的解集是：x＞3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，实数的运算，解答的关键是对相应的知识的掌握．
22．（2023 绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 …
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．
【考点】用样本估计总体；全面调查与抽样调查．
【分析】（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用900乘样本中最喜爱篮球项目的人数所占比例即可；
（3）根据最喜爱的球类运动项目所占百分比解答即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）30÷30%＝100（名），
答：本次调查共抽查了100名学生．
（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：100×5%＝5（名），
∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：100﹣30﹣10﹣15﹣5＝40（名），
360（名），
答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360名．
（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答．
【解答】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），
∵2.924米＜3米，
∴该运动员能挂上篮网．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（2023 绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）利用待定系数法，将（5，1000）代入解析式中，求出答案；
（2）俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可；
（3）设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为（t+1）分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．
【解答】解：（1）由图象可知，OA所在直线为正比例函数，
∴设y＝kx，
∵A（5，1000），
1000＝5k，k＝200，
∴OA所在直线的表达式为y＝200x．
（2）由图可知甲机器人速度为：1000÷5＝200（米/分钟），
乙机器人速度为：1000÷10＝100（米/分钟），
两人相遇时：（分钟），
答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t，
则乙机器人（t+1）分钟后到P地，P地与M地距离1000﹣100（t+1），
由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，
∴200t＝600，
答：P，M两地间的距离为600米．
【点评】本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解．
25．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；
（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出CE的长．
【解答】解：（1）∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，
∴OD＝OB+BD＝3，
∴CD．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴，
∴，
∴CE．
【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中考数学基础解答题整理
一．解答题（共25小题）
1．（2024 浙江）计算：．
2．（2024 浙江）解方程组：．
3．（2024 浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
4．（2024 浙江）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下：
科学活动喜爱项目调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况填写．问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是 　 　（A）科普讲座（B）科幻电影（C）AI应用（D）科学魔术如果问题1选择C．请继续回答问题2．问题2：你更关注的AI应用是 　 　（E）辅助学习（F）虚拟体验（G）智能生活（H）其他
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？
（2）若该学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数．
5．（2024 浙江）尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）证明AF∥CE；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
6．（2023 湖州）计算：．
7．（2023 湖州）解一元一次不等式组．
8．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
9．（2023 湖州）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
10．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
11．（2023 衢州）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．
（2）化简：2．
12．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
13．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
14．（2023 衢州）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
15．（2023 衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
16．（2023 温州）计算：
（1）|﹣1|（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）．
17．（2023 温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
18．（2023 温州）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
B 216 215 220
C 227.5 227.5 225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
19．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x上，求y1﹣y2的最大值．
20．（2023 温州）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当，AD＝4时，求EF的长．
21．（2023 绍兴）（1）计算：；
（2）解不等式：3x﹣2＞x+4．
22．（2023 绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 …
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．
23．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
24．（2023 绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
25．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑