资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年江苏省常州市中考数学模拟练习试卷
全卷满分120分．考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1． 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
神舟十三号乘组共在轨飞行183天，约为264000分钟，
创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长记录．将264000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
5. 某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛，每组一共30个抢答题规则：每道题答对得5分，答错或不答扣2分，晓红最后得分80分，则晓红答对题目的道数是（ ）

A．18 B．19 C．20 D．22
6 .如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
7 .如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧相交于点M，N，连接交AC于点D，交于点E，连接．
若，，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
，两地相距，甲、乙两辆汽车匀速行驶从地出发到地，甲出发1小时后，
乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，
下列说法中错误的（ ）

①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲出发后被乙追上；
③甲比乙晩到；
④甲车行驶或，甲，乙两车相距；
A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 在不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，
从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，那么白色棋子的个数是 ．
10. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
11.若，，则代数式的值是 ．
12 .代数式与代数式的值相等，则 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点O，点F的坐标是，
则点N的坐标是 ．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
15 .如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
16 .边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
17.如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为a(m)，宽为b(m)，受场地条件的限制，已知的取值范围为，那么的取值范围是 ．
18 . 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，
点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，
点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共10小题，共84分．如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解方程组和不等式组：
(1)
(2)
20. 先化简，再求值：，其中．
21 .某校八年级举办的数学学科知识竞赛，总体成绩取得前两名的一班和二班参加的人数相等，
比赛结束后（满分10分）．依据统计数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．
一班成绩统计表：
分数 7分 8分 9分 10分
人数 11 0 8
(1)在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ；
(2)将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整；
(3)经计算，二班的平均分是分，中位数是8分；并从平均分和中位数的角度分析哪个班级成绩较好；
(4)如果该校所要组织8人的代表队参加该地区班级团体赛，这8人从参与学校这次竞赛的学生中选派，应选择哪个班级参加？并说明理由．
22 . 2024年4月23日至25日，第三届全民阅读大会在云南昆明举办．这场是以“共建书香社会，
共享现代文明”为主题的大会．为了传承优秀传统文化，建设书香校园，某校开展“经典诵读”比赛活动．
在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；
材料：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，
选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
小明诵读《论语》的概率是________；
求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．

求证：；
求证：．
24. 下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设……等量关系：甲图书数量乙图书数量
解法二 设……等量关系：甲图书单价乙图书单价20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________；
A.甲种图书每本单价x元 B.乙种图书每本单价x元 C.甲种图书购买x本
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
与x轴交于点C．
求一次函数与反比例函数的解析式；
连接，求的面积．
26. 祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．
(1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离；
(2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）
将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上
（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，
抛物线与x轴的另一个交点为A．
求抛物线的解析式；
如图2，点为直线上方抛物线上一动点，于点轴于点，交于点，
求周长的最大值以及点的坐标；
在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
新抛物线的顶点为，平面内有一点，以点为顶点的四边形是平行四边形，
请先求得点M的坐标，再直接写出点的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025年江苏省常州市中考数学模拟练习试卷解答
全卷满分120分．考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1． 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数叫互为相反数直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
的相反数是，
故选：C．
2．使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选：D．
神舟十三号乘组共在轨飞行183天，约为264000分钟，
创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长记录．将264000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
故选：A
4．下列计算正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则计算并判断．
【详解】A、3a与2b不是同类项，不能合并，故该项不符合题意；
B、5ab2与5a2b不是同类项，不能合并，故该项不符合题意；
C、7a+a=8a，故该项不符合题意；
D、，故该项符合题意；
故选：D．
5. 某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛，每组一共30个抢答题规则：每道题答对得5分，答错或不答扣2分，晓红最后得分80分，则晓红答对题目的道数是（ ）

A．18 B．19 C．20 D．22
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．设晓红答对的个数为x个，根据抢答题一共30个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设晓红答对题的个数为x个，则答错个，根据题意得：
解得：，
所以，晓红答对题的个数为20个．
故选C．
6 .如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
7 .如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧相交于点M，N，连接交AC于点D，交于点E，连接．
若，，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出的长，再由垂直平分线的性质得到，再得出的长即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
，两地相距，甲、乙两辆汽车匀速行驶从地出发到地，甲出发1小时后，
乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，
下列说法中错误的（ ）

①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲出发后被乙追上；
③甲比乙晩到；
④甲车行驶或，甲，乙两车相距；
A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④
【答案】D
【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，可得到乙车行驶的速度是80km/h；根据图象可得当乙到达B地时，甲乙相距100km，从而得到甲比乙晚到h；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达B地时和当乙车到达B地后时甲，乙两车相距80km，进行求解判断即可．
【详解】解：由图可得，甲车行驶的速度是
根据图象可知：甲先出发1h，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴
即乙车行驶的速度是80km/h，故选项A，B正确；
由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，
∴甲比乙晚到h，故选项C正确；
由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则，
解得：，
当乙车到达B地后时，，
解得：，
∴甲车行驶8h或h，甲，乙两车相距80km，故选项D错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 在不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，
从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，那么白色棋子的个数是 ．
【答案】
【分析】设白色棋子的个数为x，利用概率公式得到
【详解】解：设白色棋子的个数为x，
根据题意得
解得x=8，
即白色棋子的个数为8．
故答案为8．
10. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：，
∴，
∵，
∴且，
故答案为：且．
11.若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
12 .代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
13.如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点O，点F的坐标是，
则点N的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质及关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的两点的横坐标与纵坐标都互为相反数；熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．根据平行四边形的性质知平行四边形为中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据关于原点对称的点的坐标特征即可得点N的坐标．
【详解】解：∵在中，两条对角线，交于原点O，
∴点F与点N关于原点O对称，
∵点F的坐标是，
∴点N的坐标为．
故答案为：．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15 .如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
【答案】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
16 .边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
17.如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为a(m)，宽为b(m)，受场地条件的限制，已知的取值范围为，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由a的取值范围结合a=50-2b，即可得出关于b的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：20+2b=50，
∵18≤a≤26，a=50-2b，
∴，
解得：12≤b≤16．
故答案为：12≤b≤16．
18 . 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，
点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，
点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．
【详解】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．
故①正确；
②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，
∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴＝＝＝，
∴2S△BFG＝5S△FGH；
故②正确；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，
设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，
即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
∴AG＝3，
∴FD＝2；
同理可得ED＝，
∴＝＝2，
＝＝，
∴≠，
∴△ABG与△DEF不相似，
故③错误；
④∵CD＝AB＝6，ED＝，
∴CE＝CD﹣ED＝，
∴＝，
∴4CE＝5ED．
故④正确．
综上所述，正确的结论的序号为①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解方程组和不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）采用加减消元法即可求解；
（2）先分别求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可作答．
【详解】（1），
，得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
故方程组的解为：；
（2），
解不等式，得：；
解不等式，得：；
故不等式组的解集为：．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2．
【分析】根据整式的乘法法则，直接相乘，然后合并同类项即可化简，然后再代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式．
21 .某校八年级举办的数学学科知识竞赛，总体成绩取得前两名的一班和二班参加的人数相等，
比赛结束后（满分10分）．依据统计数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．
一班成绩统计表：
分数 7分 8分 9分 10分
人数 11 0 8
(1)在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ；
(2)将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整；
(3)经计算，二班的平均分是分，中位数是8分；并从平均分和中位数的角度分析哪个班级成绩较好；
(4)如果该校所要组织8人的代表队参加该地区班级团体赛，这8人从参与学校这次竞赛的学生中选派，应选择哪个班级参加？并说明理由．
【答案】(1)144；
(2)图见解析；
(3)从平均分和中位数角度上判断，二班的成绩较好；
(4)应选一班，理由见解析．
【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及平均数与中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）由得10分的人数除以占的百分比求出二班参赛的总人数，用乘以得7分的百分比即可求出“7分”所在扇形的圆心角的度数；
（2）由于两校参赛人数相等，根据总人数减去其他人数求出一班得9分的人数和得8分的人数，即可将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整；
（3）根据平均数和中位数的定义计算即可，利用中位数的定义分析即可．
（4）根据得10分的人数解答即可．
【详解】（1）解：∵一班和二班参加竞赛的人数为（人），
∴在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于，
故答案为：144；
（2）解：一班得9分人数为（人），
二班得8分人数为（人），
将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整如下：
分数 7分 8分 9分 10分
人数 11 0 1 8
（3）解：一班的平均分（分），
一班分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分，
∴中位数为：（分），
∵二班的平均分是分，中位数是8分，
由于两班平均分相等，二班成绩的中位数大于一班的中位数，
所以从平均分和中位数角度上判断，二班的成绩较好．
（4）解：应选一班，理由：
因为要选8人的代表队参加该地区班级团体赛，一班得10分的有8人，所以应选一班．
22 . 2024年4月23日至25日，第三届全民阅读大会在云南昆明举办．这场是以“共建书香社会，
共享现代文明”为主题的大会．为了传承优秀传统文化，建设书香校园，某校开展“经典诵读”比赛活动．
在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；
材料：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，
选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
小明诵读《论语》的概率是________；
求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)
(2)明和小亮诵读两个不同材料的概率为
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及根据概率公式计算概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》．”进行列式代入数值即可作答．
（2）先画树状图，得出共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果，运用概率公式代入数值即可作答．
【详解】（1）解：由题意知，小明诵读《论语》的概率是，
故答案为：；
（2）解：由题意画树状图如下：小明
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果，
∵，
∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为．
23. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．

求证：；
求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，由此可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
24. 下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设……等量关系：甲图书数量乙图书数量
解法二 设……等量关系：甲图书单价乙图书单价20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________；
A.甲种图书每本单价x元 B.乙种图书每本单价x元 C.甲种图书购买x本
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
【答案】（1）甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量；
（2）甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元
【分析】本题主要查了分式方程的实际应用：
（1）根据题意可得解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量；
（2）根据解分式方程的基本步骤解答，即可求解．
【详解】解：（1）解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量；
故答案为：甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量
（2）解法一：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以，
答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元；
解法二：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元．
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
与x轴交于点C．
求一次函数与反比例函数的解析式；
连接，求的面积．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为；
(2)的面积为8．
【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合．
（1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题．
（2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数经过点，
，
反比例函数解析式为，
点在上，则，
，
把、代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：把代入，得，
，
，
．
26. 祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．
(1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离；
(2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）
【答案】(1)点A距离地面2尺
(2)点到地面之间的垂直距离约为尺
【分析】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得，，即可求得；
（2）根据，，求得，根据三角函数的定义，可得，即可求得．
【详解】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D．

∵，
∵
∴，
∴点A距离地面2尺；
（2）∵，
∴
∴
∴
故点到地面之间的垂直距离约为0.28尺．
将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上
（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】(1)菱形
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；
（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵都是等边三角形，
∴，
∴四点共圆，
∵点E是的中点，
∴，
∴为过的圆的直径，
又∵，
∴为过的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）解：∵都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作，
∴设，则，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，
∵都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，
抛物线与x轴的另一个交点为A．
求抛物线的解析式；
如图2，点为直线上方抛物线上一动点，于点轴于点，交于点，
求周长的最大值以及点的坐标；
在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
新抛物线的顶点为，平面内有一点，以点为顶点的四边形是平行四边形，
请先求得点M的坐标，再直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)的周长为，点的坐标为；
(3)，点的坐标为或或．
【分析】（1）求出、点坐标，再将这两点坐标代入，即可求解；
（2）先判断为等腰直角三角形，得的周长为：，设，则，计算得出，根据二次函数的性质可得结论；
（3）先求出平移后点的坐标，分三种情况：当是对角线时，当是对角线时，当是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：直线与坐标轴交于点和，
当时，，时，，
点，，
把，两点的坐标代入中得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2），，
，
，
轴
轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
的周长为：，
当取最大值时，的周长取最大值，
抛物线的解析式为，直线的解析式为，
设，则，
，
当时，有最大值为4，此时的周长为，
点的坐标为；
（3）抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移，个单位，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，，
平移后抛物线的顶点为，
当是对角线时，
点的坐标为，，，
即：点，向左平移2个单位，向上平移个单位，得到，
∴点向左平移2个单位，向上平移个单位，得到；
当是对角线时，
点的坐标为，，，
同理可得：；
当是对角线时，
点的坐标为，，，
同理可得：；
综上，点的坐标为或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑