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2025年江苏省苏州市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置）
1．如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（　　）
A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃
2．2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（　　）
A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×1012
3．当 时，下列分式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（　　）
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
5．如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
A．41° B．51° C．49° D．59°
8．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请将正确答案用2B铅笔填在答题卡相应位置）
9．因式分解： 　 　.
10．已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若 =1，则a=　 　.
11．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　．
12．设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 　 　.
13．平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　 　．
14．如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝　 　（结果保留π）．
15．如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝　 　．
16．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为　 　．
三、解答题（本大题共有11小题，共82分）
17．计算．
解方程组：．
先化简，再求值：．其中．
20．如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若，，求CG的长．
21．有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1）　 　图能更好地反映各组试验的总次数，　 　图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
22．某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是　 　（写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
23．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG.
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2.
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG＋EF的最小值.
24．已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
25．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
26．如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 .
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长.
27．如图①，二次函数y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中b＜﹣1）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，1），过点C的直线交x轴于点D（2，0），交抛物线于另一点E．
（1）用b的代数式表示a，则a=　 　；
（2）过点A作直线CD的垂线AH，垂足为点H．若点H恰好在抛物线的对称轴上，求该二次函数的表达式；
（3）如图②，在（2）的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，OP=m．在点P左侧的x轴上取点F，使PF=1．过点P作PQ⊥x轴，交线段CE于点Q，延长线段PQ到点G，连接EG、DG．若tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP，试判断是否存在m的值，使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】a（x+y）（x-y）
10．【答案】1或3
11．【答案】
12．【答案】2
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】10
16．【答案】
17．【答案】解：原式．
18．【答案】解：得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
19．【答案】解：原式
．
当时，原式．
20．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DEAC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EFDG
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）解：∵AD⊥BC交BC于D点，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
∴△ADB是直角三角形
∵E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE＝5
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，
由勾股定理得：
AF＝ ．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
21．【答案】（1）B；A
（2）解：实践组摸到黄球的频率为：（500-372）÷500＝0.256；
（3）解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
22．【答案】（1）解：因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①②
（3）解：2000500（个），
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
23．【答案】（1）证明：过点G作GM∥AD交AB于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠B=90゜，AB∥CD，AD=AB
∴∠EMG=∠BAD=∠B=90゜
∵AB∥CD，GM∥AD
∴四边形AMGD是平行四边形
∵∠BAD=90゜
∴四边形AMGD是矩形
∴MG=AD
∴MG=AB
∵AF⊥EG
∴∠AEH+∠EAH=90゜
∵∠EAH+∠AFB=90゜
∴∠AEH=∠AFB
在△GME和△ABF中
∴△GME≌△ABF(AAS)
∴AF=EG
（2）解：①过点G作GM∥AD交AB于点M，连接AG，如图
由（1）知，△GME≌△ABF
∴EM=BF=2
∵AB=6，BE=3
∴AE=AB－BE=3
∴AM=AE－EM=1
在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：
②过点F作FP∥EG，FP=EG，连接AP，如图
则四边形EFPG是平行四边形
∴GP=EF
∵AG+GP≥GP
∴当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小，最小值为线段AP的长
∵AF⊥EG，FP∥EG
∴FP⊥AF
在Rt△ABF中，由勾股定理得
∵AF=EG，EG=FP
∴FP=AF=
在Rt△AFP中，由勾股定理得
所以AG+EF的最小值为 .
24．【答案】（1）解：若a＝﹣1，b＝3，
y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵当时，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）解：∵点P（a，b）在双曲线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得：a1＝2，a2＝﹣1，
当a＝2时，点P到y轴的距离为2，
当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1，
综上所述，点P到y轴的距离为2或1；
（3）解：∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴，
∵，
∴，
∵1≤x0＜3，
∴，
整理得1≤a2＜9，
解得：﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，
∴整数a的个数为4个．
25．【答案】①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
由①得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°
26．【答案】（1）证明：∵ ∥ ，
∴
∵ 平分
∴ ，
∴
∴
又∵
∴
又∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形
又∵
∴ 是菱形
（2）解：∵四边形 是菱形，对角线 、 交于点 .
∴ . ， ，
∴ .
在 中， .
∴ .
∵ ，
∴ .
在 中， . 为 中点.
∴ .
27．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中b＜﹣1），C（0，1），∴﹣ab=1，∴a=﹣ ；故答案为：﹣
（2）解：作HM⊥AD于M，如图1所示：
对称轴x=﹣ =﹣ = ，
设直线CD解析式为：y=kx+n，
∵C（0，1），D（2，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线CD解析式为：y=﹣ +1，
H在对称轴上，将x= 代入y=﹣ +1，
y=﹣ +1= ，
∴H（ ， ），
由ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab=0，则（ax+a）（x﹣b）=0，
∴x1=﹣1，x2=b，
∵b＜﹣1，
∴A（b，0），
HM= ，
AM=xM﹣xA= ﹣b=﹣ ，
DM=xD﹣xM=2﹣ = ，
由射影定理得：HM2=AM DM，
即（ ）2=﹣ ，
解得：b=﹣3，
∵a=﹣ ，
∴a= ，
∴y= x2﹣ （﹣3﹣1）x+1= x2+ x+1
（3）解：存在m的值，使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等；理由如下：
过点E作EN⊥GQ于点Q，如图2所示：
∵y= x2+ x+1与y=﹣ +1相交于点E，
∴ ，
解得：x=﹣ ，或x=0（不合题意舍去），y= ，
∴E（﹣ ， ），
∵PO=m，
∴xQ=﹣m，代入y=﹣ x+1得：yQ= m+1，
∵tan∠GDP= = = ，tan∠FQP= ，tan∠QDP= ，
∵tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP，
∴ ，
∴ ，
∵PD=m+2，PQ= m+1，PF=1，
∴ ，
解得：QG=2，
∵△FPQ的面积= PF PQ，△EGQ的面积= QG EN，△FPQ的面积和△EGQ的面积相等，EN= ﹣m，
∴ ×1×（ m+1）= ×2×（ ﹣m），
解得：m=4；
∴存在m的值，使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等，m=4．

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