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第十七章勾股定理单元测试人教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．4，5，6 C．7，14，15 D．7，24，25
2．如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BCAC，若点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，那么以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（　　）
A．12 B．169 C．144或194 D．144或169
4．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距6m，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（　　）
A．5m B．6m
C．7m D．8m
5．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
6．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（　　）元投入．
A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定
7．如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　）
A．BC＝5 B．△ABC的面积为5
C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为
8．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　）
B． C． D．2
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝10，S3＝3，则S2的值是　 　．
10．在△ABC中，若AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积是　 　．
11．如图，直角三角形ABC中，AC+BC＝5，S△ABC，则AC2+BC2的值是 　 　．
12．如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝4，则S1+S3的值为 　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知：四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
14．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OC上，AO为2.4米，BO为0.7米，AO⊥OB．
（1）求梯子AB的长；
（2）当梯子的顶端A下滑0.9米时，求梯子的底端向外移动的距离．
15．某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求铺设水管的最小长度．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D．
（1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数．
（2）求证：∠BAC＝2∠D．
（3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值．
18．春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实为的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”．
（1）根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 　 　（“是”或“不是”）；
（2）若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据；
（3）在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且，c2＝2025，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出b的值，并说明理由．
参考答案
一、填空题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C B B D D
二、填空题
9．【解答】解：根据题意，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2＝AB2﹣AC2，
∵以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，S1＝10，S3＝3，
∴，，，
∴，即S2的值是7，
故答案为：7．
10．【解答】解：取BC的中点D，连接AD，
∵AB＝AC＝5，
∴AD⊥BC，BD＝3，
∴AD4，
∴△ABC的面积6×4＝12，
故答案为：12．
11．【解答】解：∵S△ABC，AC BC＝S△ABC，
∴AC BC，
∴AC BC＝3．
∴AC2+BC2
＝（AC+BC）2﹣2AC BC
＝52﹣2×3
＝19．
故答案为：19．
12．【解答】解：设每个三角形的面积为S，S2＝4，
∴S1﹣4S＝S3+4S＝S2，
∴S1+S3＝（S1﹣4S）+（S3+4S）＝8，
故答案为：8．
三、解答题
13．【解答】解：（1）在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，DA＝4，
根据勾股定理得，BD5；
（2）在△BCD中，BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴CD2+BD2＝122+52＝132＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
AB ADCD BD
3×412×5
＝36．
14．【解答】解：（1）∵BO＝0.7米，AO＝2.4米，AO⊥BO，
根据勾股定理可得：（米）．
∴梯子AB的长为2.5米；
（2）解：如图，由题意可知：AE＝0.9米．
∵AO＝2.4米，
∴EO＝1.5米，
∵ED＝2.5米，EO＝1.5米，AO⊥BO，
根据勾股定理可得：（米），
BD＝OD﹣OB＝2﹣0.7＝1.3（米），
即梯子的底端向外移动的距离为1.3米．
15．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米，
∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小，
∵△ABC的面积AB CDAC BC，
∴AB CD＝AC BC，
∴200CD＝120×160，
解得：CD＝96，
∴铺设水管的最小长度为96米．
16．【解答】（1）证明：连结EC．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵点E在AD上，
∴BE＝EC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE．
（2）由（1）得，，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AD4，
设AE＝BE＝x，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
即，
∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5．
17．【解答】（1）解：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．
∵∠D＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°．
（2）证明：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．，
即∠B＝90°﹣∠D．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B，
即∠B＝90°∠BAC，
∴90°﹣∠D＝90°∠BAC，
∴∠BAC＝2∠D．
（3）解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠D＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
∵AC，
∴AM＝MC＝1．
∵AB＝AC，
∴BM．
在Rt△BCM中，
BC2＝BM2+MC2＝（）2+12＝4．
18．【解答】解：（1）∵三角形为等腰直角三角形，
∴设直角边为a，则斜边为a，
∵a2+（a）2＝3×a2，
∴等腰直角三角是“巳巳如意三角形”，
故答案为：是；
（2）该三角形是“巳巳如意三角形”，理由如下：
∵62+82＝3×（）2，
∴该三角形是“巳巳如意三角形”；
（3）b的值为，理由如下：
∵Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2，c2＝2025，
∴b2＝c2﹣a2＝2025或b2＝c2+a2＝2025，
∵当b2时，2025＝3，
∴这个三角形是“巳巳如意三角形”，
此时，b（负值已舍去）；
当b2时，a2+b2≠3c2、b2+c2≠3a2、a2+c2≠3b2，
∴这个三角形不是“巳巳如意三角形”；
综上所述，b的值为．
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