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2025年春八下数学人教版
第十七章：勾股定理
方法专题《勾股定理与全等综合训练》
1.如图，P是正方形ABCD内一点， PA=2, PB=4，以点B为旋转中心，将线段BP按顺时针方向旋转90°至BG，点P的对应点G恰好在AP的延长线上．
（1）求证：GC=AP:
（2）求PC的长度．
2.如图，在ΔAOB与ΔCOD中， ,AO=BO, CO=DO，连接CA，BD.
（1）求证：ΔAOC≌ΔBOD:
（2）连接BC，若OC=1,,BC=3
①判断ΔCDB的形状.
②求∠ACO的度数.
.
3.已知ΔABC为等边三角形．
（1）如图，P为ΔABC外一点， ，连接PA，PB，PC，求证：PB+PC=PA;
（2）如图，P为ΔABC内一点，若PA=12, PB=5,,PC=13，求∠APB的度数.
4.如图，在四边形ABCD中， ,DA⊥AC，点E在线段AC上，AB//DE，AC =DE.
（1）求证： ΔABC≌ΔEAD
（2）连接CD，当AC=4,AB=3，求CD的长.
5.如图，在ΔABC中， ，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD于点D.
求证：
6.如图，已知RtΔABC中， ，点D是AC上一点，点E、点F是BC上的点，且∠CDF=∠CEA, CF=CA
（1）如图1，若AE平分∠BAC, ，求∠B的度数；
（2）如图2，若过点F作FG⊥AB于点G，连接GC，求证：
7.已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB,
（1）如图①，若 ，求证：
（2）如图②，若CB=CD、是否还成立？请说明理由
8.如图，在RtΔABC中， ,AB=AC,BC=10,，点D是直线AC上一动点，DB=DE（DE在BD的左侧）.
（1）直接写出AB长为 ；
（2）若点D在线段AC上， 求EC长：
（3）当BE＝2时，直接写出CD长为
9.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作 ,且BP=BQ,，连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.
（2）若PA=PC=1,，求证：PC⊥CQ.
10.在ΔABC中，,AC>BC，D是AB的中点.E在线段CA的延长线上，连接DE，过点D作DF⊥DE,，交直线BC的延长线于点F，连接EF..求证：
11.如图，等腰直角ΔABC中， AC=BC,，点D，E在AB上，
（1）将ΔACD绕点C逆时针旋转90°，点D对应点为点F，画出旋转后的图形，并证明： DE=EF:
（2）求证：
12.如图，已知ΔABC与ΔDEC都是等腰三角形，
（1）试说明： ΔACD≌ΔBCE:
（2）若AC=6,AE=3, ，求AD的长
答案
1.解
（1）证明∵以点B为旋转中心，将线段BP按顺时针方向旋转90°至BG，
∴BP=BG,
∴∠ABP=∠CBG,
在ΔABP和ΔCBG中,
AB=BC
∠ABP=∠CBG,
BP=BG
∴ΔABP≌ΔCBG(SAS)
∴GC=AP;
(2)∵BP=BG,
∴
∴
∵ΔABP≌ΔCBG,
∴ AP=GC=2,
∴
∴
2.解
∴
∵
∴ (SAS).
∵
∴BD=AC=
∵CO=DO=1,∠COD=90°
∴CD==
∵
∴
∴是直角三角形
3.解
∵ PE=PC,
∴
∴ΔCPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE,
ΔABC是等边三角形，
∴
∴∠ACB=∠ECP,
∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP,
即： ∠ACP=∠BCE,
在ΔACP和ΔBCE中,
AC=BC
∠ACP=∠BCE
PE=PC
∴ΔACP≌ΔBCE(SAS)
∴AP=BE,
∵BE=BP+PE=BP+PC,
∴PB+PC=PA;
（2）如图，将ΔABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到ΔCBP＇，连接PP＇，
由旋转知，
∴
又∵
∴ΔPBP＇是等边三角形，
∴ ,
在中， PC=13,
∴
即
∴
4.解
（1）证明：AB//DE，
∴∠BAC=∠DEA,
∵AD⊥AC,
∴
∴
在ΔABC和ΔEAD中,
∴ΔABC≌ΔEAD(AAS);
(2)AC=4, AB=3,
∴
∵ΔABC ΔEAD,
∴
∴
5.解
延长ED至G，使DG=DE，连结BG、FG，
∵AD=BD, ∠ADE=∠BDG,
∴ΔADE≌ΔBDG,
∴AE=BG, ∠A=∠DBG
∴AC∥BG,
∴
∴
又∵ED⊥FD, ED=GD,EF=GF
∴
6.解
（1）在ΔAEC和ΔFDC中,
∠CDF=∠CEA
∴ΔAEC≌ΔFDC(ASA),
∴
∵AE平分∠BAC,
∴
∵
在RtΔABC中,
（2）如图，过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P，
∴
∵
∴
∴∠PCF=∠GCA,
∵
∴
∴∠BAC=∠BFG.
又∵∠PFC=∠BFG,
∴∠GAC=∠PFC,
由（1）知ΔAEC≌ΔFDC,
∴CA=CF,
∴ΔAGC ΔFPC,
∴GC=PC,
又∵PC⊥GC,
∴ΔGCP是等腰直角三角形，
∴
∴
7.解
(1)∵AC平分∠DAB,
∴
∵
∴
∴
∴
（2）成立，理由如下：
过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，
∴
∵ AC平分∠DAB, CF⊥AD，CE⊥AB,
∴CF=CE,
在RtΔCFD和RtΔCEB中，
CF=CE
∴RtΔCFD RtΔCEB(HL),
∴FD=BE,
由（1）知
∴
∴
∴
8.解
（1）∵在RtΔABC中, AB=AC BC=10,
∴,
∴
（2）过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，
则
∴
∴∠EDF=∠ABD,
在ΔABD与ΔFDE中
∠F=∠A=90
∠ABD=∠F
DE =BD
∴ΔABD≌ΔFDE(AAS),
∴
∴
∴
(3)∵ DB=DE, ,
∴
由（2）知ΔABD≌ΔFDE,
∴
∵AB=AC,
∴DF=AC,
∴CF=AD=EF,
∴
∴
9.解
（1）等边三角形ABC，
∴AB=AC,
∵
∴∠ABP=∠CBQ,
在ΔABP和ΔCBQ中,
AB=AC
∠ABP=∠CBQ
BP=CQ
∴ΔABP ΔCBQ(SAS)
∴AP=CQ;
（2）连接PQ
∵PA=PC=1, AP=CQ
∴PC=CQ=1,
∵BP=BQ,
∴ΔBPQ是等边三角形，
∴
∴
∴
∴PC⊥CQ
10.解
证明：过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG，
∵BG//AC,
∴∠EAD=∠GBD ∠DEA=∠DGB
∵D是AB的中点，
∴AD=BD,
在ΔEAD与ΔGBD中,
∠EAD=∠GBD
∠DEA=∠DGB
AD=BD
∴ΔEAD ΔGBD(AAS)
∴ED=GD,AE=BG,
又∵DF⊥DE,
∴DF是线段EG的垂直平分线，
∴EF=FG,
∵
∴
在RtΔBGF中，由勾股定理得：
11.解
（1）如图所示，将ΔACD绕点C逆时针旋转90°得到ΔBCF，连接EF．
∵CA=CB,
∴
∴
∵
∴,
∴∠ECD=∠ECF,
在ΔECF和ΔECD中，
ΔECF ΔECD(SAS)
∴DE=EF,
（2）在RtΔEBF中，
∵,
又∵BF=AD EF=DE,
∴
12.解
(1)∵
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, 即∠BCE=∠ACD,
又∵ΔABC与ΔDEC都是等腰三角形
∴AC=BC,DC=EC,
在ΔACD和ΔBCE中,
AC=BC
∠BCE=∠ACD
DC=EC
∴ΔACD≌ΔBCE(SAS);
(2)∵ΔACD≌ΔBCE,
∴AD=BE,
∵
∴
∵
∴
在RtΔBAE中， AE=3,
∴
∴BE=9,
∴AD=9
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