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(共35张PPT)
2.1 两条直线的位置关系
（两直线的位置关系及相关概念 ）
第二章 相交线与平行线
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解两条直线的位置关系：相交和平行.
2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念.
3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能解决一些实际问题.
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 生活中的“线”
思考
观察下面几幅图片，在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
知识点1 同一平面内两直线的位置关系
公路
铁路
天桥
相交线
知识点1 同一平面内两直线的位置关系
平行线
知识点
相交线与平行线
知1－讲
1
1. 在同一平面内, 两条直线的位置关系有相交和平行两种.
2. 相交线
若两条直线只有一个公共点, 我们称这
两条直线为相交线.如图2.1-1，直线AB
与CD相交于点O.
判断两直线相交的依据
知1－讲
3. 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
如图2.1-2，直线AB与直线CD平行.
注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
无公共交点
例1 下列说法正确的是(　　)
A．不相交的两条直线是平行线
B．在同一平面内，不相交的两条射线是平行线
C．在同一平面内，两条直线不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
知识点1 同一平面内两直线的位置关系
D
知2－讲
知识点
对顶角
2
1. 定义 在图2.1 -3中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.
特别提醒：对顶角是成对出现
的，指两个角之间的位置关系，一
个角的对顶角只有一个.
知2－讲
2. 性质 对顶角相等.
特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等；
(2)相等的两个角不一定是对顶角.
图中还有没有其他对顶角？
知识点2 对顶角的概念及性质
∠3与∠4也是对顶角.
2
1
A
B
C
D
O
3
4
你能用推理论证的方法验证对顶角的性质吗？
如图，直线AB与CD交于点O．
试说明：∠1=∠2.
知识点2 对顶角的概念及性质
A
B
D
C
O
1（
）2
解：因为∠1 +∠AOC =180°（平角定义），
∠2 +∠AOC =180°（平角定义），
所以∠1 =180°-∠AOC，∠2 =180°-∠AOC ，
所以∠1 = ∠2 （等式的性质）.
对顶角相等
知识点2 对顶角的概念及性质
例2 在数学课上，老师让同学们画对顶角（∠1与∠2），其中正确的是（　　）
D
知3－讲
知识点
补角和余角
3
1. 补角 一般地，如果两个角的和是180°，
那么称这两个角互为补角.
数学语言：若∠1＋∠2＝180°，就说∠1是∠2的补角或∠1与∠2互为补角，如图2.1-5 所示.
知3－讲
2. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这
两个角互为余角 .
数学语言：若∠3＋∠4＝90°，就说∠3是∠4的余角或∠3与∠4互为余角，如图2.1-6所示.
例3 如左图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.将左图简化为右图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2.
知识点3 补角、余角的概念及性质
知识点3 补角、余角的概念及性质
(1)哪些角互为补角？哪些角互为余角？
互余的角：∠1与∠3， ∠2与∠4， ∠1与∠4， ∠2与∠3.
互补的角：∠1和∠AOC，∠2和∠BOD，∠DON与∠CON,
∠1和∠DOB，∠2和∠AOC.
知4－讲
知识点
补角、余角的性质
4
1. 性质 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角 相等.
2. 示例
(1)如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3；
(2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且 ∠1＝∠3，那么∠2＝∠4.
知识点3 补角、余角的概念及性质
例4 下列说法正确的有 ___________（填序号）
①已知∠A=40°，则∠A的余角等于50°.
②若∠1+∠2=180°，则∠1和∠2互为补角.
③若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补.
①②
互补和互余指的都是两个角
1. 下列说法正确的是( )
D
A. 不相交的两条直线是平行线
B. 在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C. 在同一平面内，两条直线不相交就重合
D. 在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
2. 下列选项中，和 是对顶角的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. [2024保定期中] 如图，四条线段 ，
，，中的一条与挡板另一侧的线段
平行，请借助直尺，判断该线段是( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 如图，直线,相交， ，则 的度数是
( )
A
（第4题）
A. B. C. D.
5. 若的补角是 ，则 的余角为( )
D
A. B. C. D.
返回
6. 将一副三角尺按下列位置摆放，使与 互为余角的摆
放方式是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】A.因为同角的余角相等，所以,但与 不
一定互余，故此选项不符合题意；
B.因为 ，所以 ，
即与 不互为余角，故此选项不符合题意；
C.因为 ，
所以与 不互为余角，故此选项不符合题意；
D.因为 ，
所以与 互为余角，故此选项符合题意.
故选D.
返回
7.[2024驻马店期中] 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然
科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰
勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的依据是
________________.
同角的补角相等
【点拨】如图，
因为 ， ，
所以 .
所以论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等.
返回
8.[2024赣州期中] 如图，直线与 相
交于点，则 的度数是______.
【点拨】由对顶角相等可知
，
所以 ，解得 .所以
.
又因为 ，
所以 .
返回
9.[2024泰州高港区期末] 如图，直线
，相交于点，平分 .
（1）若 ，求 的度
数；
【解】因为 ， ,
所以 .
又因为平分，所以 .
（2）在图中画的反向延长线 ，
是 的平分线吗？并说明理由；
【解】如图， 即为所求.
是 的平分线.
理由如下：
由（1）知 ，
又因为， ，
所以 ，
所以是 的平分线.
（3）在（2）画得的图形中，与 互
补的角有___个.
4
【点拨】因为 ，
所以是 的补角.
由（2）易知 ，
所以，，，都是 的补角，
共有4个.
返回
（第10题）
10. 当光线从空气射入水
中时，光线的传播方向发生了变化，这种现
象叫作光的折射.如图，直线与 相交于
点，一束光线沿射入水面，在点 处发
生折射，沿射入水中，如果 ，
C
A. B. C. D.
，那么光的传播方向改变了 ( )
返回
两条直线的位置关系
定义:有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫作对顶角.
性质:对顶角相等.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
定义:如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
性质:同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等.
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
相交线
平行线
平行
相交
余角和补角
对顶角
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.(共36张PPT)
2.1 两条直线的位置关系
（垂线）
第二章 相交线与平行线
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念.
2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 在我们的身边随处可见“直线”的形象，其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系，观察下面三幅图片，你能找出其中相交的直线吗 它们有什么特殊的位置关系
思考 两条相交直线在什么情况下是垂直的？
知识点1 垂直的概念
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
知5－讲
知识点
垂直的定义及垂线的画法
5
1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角.
2. 表示符号 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”.
3. 垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表：
探究 如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗 为什么
知识点1 垂直的概念
C
A O B
以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗
知识点1 垂直的概念
由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°，
可得∠AOC=∠BOC=90°，
所以 OC⊥AB.
C
A O B
她的想法正确.
(平角的定义)
(垂直的定义)
思考 如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗 为什么
知识点1 垂直的概念
C
A O B
因为OC⊥AB，
所以∠AOC=90°，
∠BOC=90°，
所以∠AOC=∠BOC.
垂直定义的双重作用
(1)由两条直线垂直得直角，
因为AB⊥CD.
所以∠BOC=∠AOC= ∠AOD=∠BOD=90°.
(2)由直角得两条直线垂直，
因为∠BOC=90°，所以AB⊥CD.
知识点1 垂直的概念
C
A O B
D
试一试 你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？
知识点1 垂直的概念
先将纸对折，然后展开，再沿着折痕的方向对折，使得折痕重合，此时两次对折的折痕是互相垂直的.
试一试 如果只用直尺，你能画出图中方格纸上已知直线的垂线吗 你还能再画出两条互相垂直的直线吗
知识点1 垂直的概念
知识点1 垂直的概念
例1 如图，三条直线相交于点O，若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于(　　)
A．30°
B．34°
C．45°
D．56°
B
知识点1 垂直的概念
跟踪训练 如图，已知点O 在直线AB上，CO⊥DO 于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
C
145°
35°
知识点2 垂直的画法及基本事实
思考 (1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
如图，已知直线 l，作l的垂线.
知识点2 垂直的画法及基本事实
这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
无数条
l
O
A
如图，已知直线 l 和l上的一点A ，作l的垂线.
知识点2 垂直的画法及基本事实
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
一条
这样画l的垂线可以画几条？
如图，已知直线 l 和l外的一点B ，作l的垂线.
知识点2 垂直的画法及基本事实
l
C
B
一条
这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.移
4.画
平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
知识点2 垂直的画法及基本事实
注意:(1)“有且只有”指存在且唯一.
(2)“过一点”中的点：可以在已知直线上，也可以在已知直线外.
(3)过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线
段(或射线)所在直线的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论？
知识点2 垂直的画法及基本事实
例2 下列选项中，过点P 画AB 的垂线，三角尺放法正确的是(　　)
C
点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
知识点3 点到直线的距离
l
O
C
B
P
PO最短
A
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
知识点3 点到直线的距离
l
O
C
B
P
A
线段PO的长度叫作点P到直线l的距离.
例3 作图并回答:(1)如图,点P在∠AOB 的边 OA 上.
①过点 P作 OA 的垂线交 OB 于点 C;
②作点 P到 OB的垂线段 PM.
(2)上述作图中, 线段 的长度表示点P到OB的距离;
线段 的长度表示点C到 OA的距离.
PM
知识点3 点到直线的距离
CP
1. 如图，直线与相交于点 .下列说法不正确的是
( )
D
（第1题）
A. 若 ，则
B. 若，垂足为，则
C. 当 时，称直线与直线
互相垂直
D. 与相交于点，点 为垂足
返回
（第2题）
2. 教材P38随堂练习T1 如图，
若过点画直线 的垂线，则垂线经
过的点是( )
C
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
返回
（第3题）
3. [2024福州期中] 如图， ，
，垂足为，则点到直线 的距
离是( )
C
A. 线段的长度 B. 线段 的长度
C. 线段的长度 D. 线段 的长度
返回
（第4题）
4. [2024西安雁塔区期中] 如图，要把
供暖输水管道 中的水引到居民小区
，点，，都在 上，且
，则沿线段( )铺设管道
可使费用最低.
C
A. B. C. D. 无法确定
返回
5. [2024雅安] 如图，直线， 交于点
，于点，若 ，则
的度数是( )
A
A. B. C. D.
返回
6.如图所示，若,,则直线与 ______,其
理由是______________________________________________
_______.
重合
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（第6题）
返回
7. 作图并回答：
（第7题）
（1）如图，点在的边 上.
①过点作的垂线交于点 .
【解】如图所示， 即为所求.
②作点到的垂线段 .
【解】如图所示， 即为所求.
（第7题）
（2）上述作图中，线段____的长度表
示点到 的距离；
（3）线段，与 的大小关系是
_______________（用“ ”连接），判
断依据是__________________________
_________________________.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
返回
点到直线的距离
一放、二靠、三移、四画，用工具(直尺、三角板)
(1)同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
垂线
定义
画法
性质
垂线段的长度
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.

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