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10.2.1 代入消元法
第10章 二元一次方程组
人教版(新教材)数学七年级下册
掌握消元法，能用代入消元法解二元一次方程组；能利用二元一次方程组解决实际问题.
经历代入消元法解二元一次方程组的过程，体会“消元”的化归思想；在利用二元一次方程组解决实际问题的过程中，体会数学建模思想.
在解决问题的过程中，培养数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，提升数学应用能力.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
复习引入
类比一元一次方程
二元一次方程(组)的解
二元一次方程(组)的概念
二元一次方程(组)
试验
解二元一次方程组
解：设租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意列方程组得：
.
复习引入
问题 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
你能用一元一次方程解决这个问题吗？
解：设租用了x台大型采棉机，根据题意列方程得：
解得：，
所以：.
答：租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.
合作探究
探究1 你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
用含x的代数式表示y
代入
消元
解一元一次方程
代入
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想．
消去y
解方程
代入
原方程
二元一次方程组
(未知数x，y)
一元一次方程组
(未知数x)
求出x的值
求出y的值
合作探究
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
解：由①，得
y＝6-x． ③
把③代入②，得
2x+(6-x)＝8．
解这个方程，得
x＝2．
把x＝2代入③，得
y＝4．
所以这个方程组的解是
．
用代入法解方程组.
典例分析
例1 用代入法解方程组.
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，再代入方程②，比较简便．
解：由①，得
x＝y+3． ③
把③代入②，得
3（y+3）-8y＝14．
解这个方程，得
y＝-1．
把③代入①可以吗？
把y＝-1代入③，得
x＝2．
所以这个方程组的解是
．
把y＝-1代入①或②可以吗？
典例分析
例2 用代入法解方程组.
分析：方程②中y的系数是-1，用含x的式子表示y，再代入方程①， 比较简便.
解：由②，得
y＝2x-16． ③
把③代入①，得
3x-5（2x-16）＝3．
解这个方程，得
x＝11.
把x＝11代入③，得
y＝6．
所以这个方程组的解是
．
巩固练习
1.用代入法解方程组 先消去未知数（　　）最简便．
A．x
B．y
C．两个中的任何一个都一样
D．无法确定
B
巩固练习
2.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
解：（1）y＝-3x+1．
（2）y＝2x-3．
巩固练习
3.解二元一次方程组 ，用代入消元法消去x，得到的方程是（　　）
A．2y＝﹣2 B．2y＝﹣36
C．12y＝﹣2 D．12y＝﹣36
分析：将①变形后代入②即可消去x，得到方程12y＝﹣36.
D
①
②
巩固练习
4.用代入法解下列方程组：
解：（1）由①，得
y＝2x-5． ③
把③代入②，得
3x+4（2x-5）＝2．
解这个方程，得
x＝2.
把x＝2代入③，得
y＝-1．
所以这个方程组的解是
．
①
②
巩固练习
4.用代入法解下列方程组：
解：（2）由②，得
y＝-2x+8． ③
把③代入①，得
3x-2（-2x+8）＝5．
解这个方程，得
x＝3.
把x＝3代入③，得
y＝2．
所以这个方程组的解是
．
①
②
巩固练习
4.用代入法解下列方程组：
解：（3）由②，得
b＝-2a+5． ③
把③代入①，得
4a-3（-2a+5）＝5．
解这个方程，得
a＝2.
把a＝2代入③，得
b＝1．
所以这个方程组的解是
．
①
②
巩固练习
4.用代入法解下列方程组：
解：（4）由①，得
s＝3t-2． ③
把③代入②，得
3t-2+5t＝6．
解这个方程，得
t＝1.
把t＝1代入③，得
s＝1．
所以这个方程组的解是
．
①
②
巩固练习
4.用代入法解下列方程组：
解：（4）由②，得
s＝-5t+6． ③
把③代入①，得
-5t+6-3t＝-2．
解这个方程，得
t＝1.
把t＝1代入③，得
s＝1．
所以这个方程组的解是
．
①
②
典例分析
例3 用代入法解方程组.
分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
解：由①，得
． ③
把③代入②，得
9+7y＝39．
解这个方程，得
y＝3.
把y＝3代入③，得
x＝2．
所以这个方程组的解是
．
解这个方程组时，
可以先消去y吗？
典例分析
例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析：由题意可知，
送120件的报酬+揽45件的报酬＝270，
送90件的报酬+揽25件的报酬＝185．
由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题.
典例分析
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元． 根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组
由①，得
． ③
把③代入②，得
90+25y＝185．
解这个方程，得
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元．
y＝2.
把y＝2代入③，得
x＝1.5．
所以这个方程组的解是
．
本题的方程组还可以先化简，再求解？
巩固练习
5.用代入法解下列方程组：
①
②
解：（1）由①，得
． ③
把③代入②，得
5+4y＝13．
解这个方程，得
y＝2.
把y＝2代入③，得
x＝1．
所以这个方程组的解是
．
巩固练习
5.用代入法解下列方程组：
①
②
解：（2）由①，得
． ③
把③代入②，得
2m+6＝0．
解这个方程，得
m＝3.
把m＝3代入③，得
n＝4．
所以这个方程组的解是
．
巩固练习
6.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大、小包装盒每盒各装多少瓶？
解：设大、小包装盒每盒分别装x瓶，y瓶，根据题意，列得方程组
解得
．
答：大、小包装盒每盒分别装20瓶，12瓶.
归纳总结
二元一次方程组的概念 消元思想 将未知数的个数 、 的思想，叫作消元思想.
代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用 .
的式子表示出来，再 ，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
由多化少
逐一解决
含另一个
未知数的式子
代入另一个方程
感受中考
1.（2023 河南）方程组 的解为 ．
解：由②，得
x＝-3y+7． ③
把③代入①，得
3（-3y+7）+y＝5．
解这个方程，得
y＝2.
把y＝2代入③，得
x＝1．
所以这个方程组的解是
．
①
②
感受中考
2.（2022 株洲）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A．x+2x-1＝7 B．x+2x-2＝7 C．x+x-1＝7 D．x+2x+2＝7
B
分析：将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可.
感受中考
3.（2024 苏州）解方程组： ．
解：由①，得
y＝-2x+7． ③
把③代入②，得
2x-3（-2x+7）＝3．
解这个方程，得
x＝3.
把x＝3代入③，得
y＝1．
所以这个方程组的解是
．
①
②
感受中考
4.（2024 宿迁）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
则关于x、y的方程组 的解是 　 ．
分析：将方程组 整理得 ，然后结
合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可.
代入消元法
类比一元一次方程
小结梳理
二元一次方程(组)的解
二元一次方程(组)的概念
二元一次方程(组)
试验
解二元一次方程组
二元一次方程(组)的解
布置作业
必做题：习题10.2 第1，2，4题.
1
探究性作业：习题10.2 第8，9题.
2
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