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2025年福建省福州市高考数学第二次质检试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝A∪B＝{1，2，3，4}，A∩（ UB）＝{2，4}，B∩（ UA）＝{1}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2，3，4} B．{1，3} C．{2，3，4} D．{3}
2．（5分）复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知圆台上下底面积分别为π，4π，母线长为，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知，则sinαcosβ＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知||＝3，||＝2，（+2） （﹣3）＝﹣18，则与的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．（5分）若函数f（x）＝xa，x∈（0，+∞）的图象如图所示，则函数g（x）＝logax+loga（2﹣x）的图象大致为（　　）
A． B． C．D．
7．（5分）金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸．我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录．K系列的矩形金箔K0，K1，K2， ，K13共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（K13除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔．比如1张K1金箔对裁后可以得到2张K2金箔．若K4金箔的较短边长为210mm，则K11金箔的较长边长约为（　　）
A．9mm B．13mm C．18mm D．26mm
8．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，，且，则cos∠BAF1＝（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴交于点M，点A在抛物线上（除原点外），则（　　）
A．当AF⊥x轴时，
B．当|AF|＝3时，△AMF的面积为2
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．△AMF外接圆的面积最小值为π
（多选）10．（6分）若数列{an}为递增数列且数列也为递增数列，则称{an}为“重增数列”．下列数列中，是重增数列的有（　　）
A．{3n} B．{n5} C．{log2n} D．{sinn}
（多选）11．（6分）定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞0，且g（x）＞0；②g（x+y）＝g（x）g（y）+f（x）f（y）；③g（x﹣y）＝g（x）g（y）﹣f（x）f（y），则（　　）
A．g（0）＝1 B．g（x）为偶函数
C．f（x）为奇函数 D．f（x）为周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知随机变量ξ～N（4，σ2），若P（ξ≤5）＝0.6，则P（3＜ξ＜4）＝ 　 　．
13．（5分）函数恰有两个零点x1，x2，则f（x1+x2）＝ 　 　．
14．（5分）已知a∈R，动直线l与函数f（x）＝x3﹣3x2+ax的图象交于A，B，C三点，且点A在y轴的左侧，M为线段BC的中点，则点M的横坐标的取值范围为 　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣bcosA＝a﹣c．
（1）求B；
（2）若b2＝ac，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
16．已知O为坐标原点，双曲线经过点A（﹣5，2），左、右焦点分别为F1（﹣6，0），F2（6，0）．
（1）求E的离心率；
（2）一组平行于OA的直线与E相交，证明这些直线被E截得的线段的中点在同一条直线上．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AB，AB⊥PD，∠PAD＝120°，E为线段PD的中点．
（1）证明：直线PB∥平面ACE；
（2）求直线AE与平面PAC所成角的正弦值．
18．已知函数．
（1）求f（x）的最小值；
（2） a∈R，写出一条与曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切的定直线的方程（无需写出求解过程）；
（3）当x≥0时，f（x）≥g（x），求a的取值范围．
19．某商店售卖一种珠环，消费者从红、蓝两种颜色的装饰珠中各选出偶数个，按随机的顺序用绳子穿成“串”（穿在一根绳子上，之后固定位置不可移位），再将绳子首尾相接连成“环”．小王现在选了6个红珠4个蓝珠穿成一个“串”．
（1）如果小王将这一串装饰珠剪了一刀分成了两串，每串各有5个装饰珠，求这两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠的概率；
（2）在把10个装饰珠连成环后，小王剪了两刀将珠环分成各含4个装饰珠和6个装饰珠的两串．设4个装饰珠串里红珠的个数为随机变量X，求X的分布列与期望；
（3）如果小王选了2m个红珠和2n个蓝珠以任意顺序连成一个“环”（m，n∈N*），求证：只需要在合适的位置剪两刀，总可将环分成两串，每串都恰好是m个红珠和n个蓝珠．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D B A D A
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：因为A∩（ UB）＝{2，4}，B∩（ UA）＝{1}，
所以2∈A，4∈A，2 B，4 B，1∈B，1 A，
所以1 A∩B，2 A∩B，4 A∩B，
因为U＝A∪B＝{1，2，3，4}，
结合集合的交集运算可得，A∩B＝{3}．
故选：D．
2．【解答】解：由＝＝，
得z的共轭复数是．
故选：C．
3．【解答】解：根据题意可得该圆台的上、下底面的半径分别1，2，
如图所示：
所以OA＝1，O1B＝2，，所以BC＝1，
所以圆台的高为AC＝2，
所以圆台的体积．
故选：C．
4．【解答】解：因为，
所以，
，
两式相加可得，2sinαcosβ＝＝，
即sinαcosβ＝．
故选：D．
5．【解答】解：||＝3，||＝2，（+2） （﹣3）＝﹣18，
可得＝﹣18，可得＝3，
所以cos＜，＞＝＝，
＜，＞∈[0°，180°]，
所以＜，＞＝60°．
故选：B．
6．【解答】解：函数，
由2x﹣x2＞0得，0＜x＜2，
所以函数g（x）的定义域为（0，2），
由幂函数f（x）＝xa，x∈（0，+∞）的图象可得0＜a＜1，
而0＜﹣（x﹣1）2+1≤1，则g（x）≥0恒成立，
所以BCD错误，A正确．
故选：A．
7．【解答】解：K系列的矩形金箔K0，K1，K2， ，K13共14种规格，其规格具有下列特点：
①较长边长与较短边长的比值都相同；
②每一序号的金箔（K13除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔．
比如1张K1金箔对裁后可以得到2张K2金箔．
K4金箔的较短边长为210mm，
设矩形金箔K0，K1，K2， ，K13较长边长分别为b0，b1，b2，b3， ，b13，
矩形金箔K0，K1，K2， ，K13较短边长分别为a0，a1，a2，a3， ，a13，
设，且，
所以，
所以，所以{bn}为公比为的等比数列，
所以a4＝b5＝210mm，所以．
故选：D．
8．【解答】解：由椭圆对称性质：
可设：BF1＝BF2＝m，根据，可得，
再由椭圆的定义可知：AF1+AF2＝2a，可得，
又由，在△ABF1中，由勾股定理可得：，
即，整理可得3a2﹣2am﹣m2＝0，
解得m＝a，所以有，
在直角△ABF1中，．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【解答】解：因为M（﹣1，0），F（1，0），AF⊥x轴，所以A（1，±2），所以，所以选项A正确；
当|AF|＝3时，xA+1＝3，可得xA＝2，因此，
，所以选项B错误；
设A（x1，y1），|AF|＝|AN|＝1+x1，点，
因此Q到y轴的距离，所以选项C正确；
因为MF为三角形AMF外接圆的弦，当MF为直径时，圆的半径最小，
此时半径为1，此时圆面积为π，因此选项D选项正确．
故选：ACD．
10．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：当n≥2时，＝3＞1，则数列{3n}为递增数列，且n≥2时，，所以数列也为递增数列，符合题意；
对于B：当n≥2时，＝（）5＞1，则数列{n5}为递增数列，且n≥2时，，所以数列也为递增数列，符合题意；
对于C：对于数列{}，因为，所以不是重增数列，不符合题意；
对于D：数列shi1＞0＞sin2，数列{sinn}不是递增数列，故{sinn}不是重增数列，不符合题意．
故选：AB．
11．【解答】解：定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞0，且g（x）＞0；
②g（x+y）＝g（x）g（y）+f（x）f（y）；③g（x﹣y）＝g（x）g（y）﹣f（x）f（y），
可得：g（x+y）+g（x﹣y）＝2g（x）g（y），
令x＞0，y＝0，可得：2g（x）＝2g（x）g（0），
因为x＞0，所以g（x）＞0，即可得g（0）＝1，A正确，
再令x＝0，可得：g（y）+g（﹣y）＝2g（0）g（y），又g（0）＝1，
即g（﹣y）＝g（y），由于y∈R，所以g（x）为偶函数，B正确，
通过g（x﹣y）＝g（x）g（y）﹣f（x）f（y），
令y＝x得：g（0）＝g（x）g（x）﹣f（x）f（x），①
通过g（x+y）＝g（x）g（y）+f（x）f（y），
令y＝﹣x，得：g（0）＝g（x）g（﹣x）+f（x）f（﹣x），
又g（x）为偶函数，所以g（0）＝g（x）g（x）+f（x）f（﹣x），②
①，②两式相减可得：f（x）（f（x）+f（﹣x））＝0，
又f（x）不恒为0，所以f（x）+f（﹣x）＝0，即f（x）为奇函数，C正确，
因为f（x）为奇函数，且x＞0，有f（x）＞0，
则有x＜0，f（x）＜0，且仅有f（0）＝0，
所以不可能存在常数T满足f（0+T）＝f（0），即f（x）不是周期函数，D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【解答】解：已知随机变量ξ～N（4，σ2），若P（ξ≤5）＝0.6，
所以P（ξ≥5）＝1﹣0.6＝0.4，
根据正态分布的对称性得：P（ξ≤3）＝0.4，
则．
故答案为：0.1．
13．【解答】解：因为函数恰有两个零点x1，x2，
所以，
又f（x）＝sinx，在x∈（0，π）关于对称，
所以，即x1+x2＝π，
．
故答案为：．
14．【解答】解：因为直线l与f（x）的图象交于A，B，C三点，且点A在y轴的左侧，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，
又因为M为线段BC的中点，
已知，
因为A，B，C在直线l上，
所以，
即，
展开并化简可得：
，
所以﹣+x1x2﹣x1x3﹣3x2+3x3＝0，
（x2﹣x3）（x2+x3）+x1（x2﹣x3）﹣3（x2﹣x3）＝0，
即（x2﹣x3）（x2+x3+x1﹣3）＝0，
因为x2≠x3，
所以x1+x2+x3＝3．
所以，
又因为A在y轴的左侧，所以x1＜0．
所以，
所以M的横坐标的取值范围．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．【解答】解：（1）因为cosB＝，cosA＝，
所以acosB﹣bcosA＝a ﹣b ＝a﹣c，
即a2+c2﹣b2﹣（b2+c2﹣a2）＝2c（a﹣c），整理得a2+c2﹣b2＝ac，
所以，结合B∈（0，π），可得．
（2）由△ABC的面积，解得ac＝4，
因为b2＝ac＝4，所以b＝2，
根据余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
所以（a+c）2＝4+3ac＝16，解得a+c＝4，可得△ABC的周长a+b+c＝6．
16．【解答】解：（1）因为双曲线E经过点A（﹣5，2），左、右焦点分别为F1（﹣6，0），F2（6，0），
所以，
解得a＝2，b＝4，c＝6，
则双曲线E的离心率．
（2）证明：由（1）知，双曲线E的方程为．
直线OA的斜率，
设平行于OA的一组直线方程为，与E交于点B（x1，y1），C（x2，y2），线段BC的中点为M（x0，y0），
联立，消去y并整理得，
此时，
由韦达定理得，
因为，
所以y0＝﹣2x0．
则这些直线被E截得的线段的中点在同一条直线y＝﹣2x上．
17．【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点H，连接HE，
因为四边形ABCD是正方形，
所以H是BD中点，又E为线段PD的中点，
所以HE∥PB，
又HE 平面ACE，PB 平面ACE，
所以直线PB∥平面ACE．
（2）因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD，
又AB⊥PD，AD∩PD＝D，AD，PD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
又底面ABCD为边长为2的正方形，PA＝AB，则PA＝2，又∠PAD＝120°，
得，
，
设平面PAC的一个法向量为，
则，则，即，
取z＝﹣3，得，
设直线AE与平面PAC所成角为θ，
则，
即直线AE与平面PAC所成角的正弦值为．
18．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
f′（x）＝ln（x+1）+1，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故．
（2）存在定直线y＝x﹣1与曲线y＝f（x）与y＝g（x）都相切．
理由如下：因为g′（x）＝ax+2﹣ex，g′（0）＝1，f（0）＝﹣1＝g（0），f′（0）＝1＝g′（0），
所以曲线f（x）与曲线g（x）在（0，﹣1）处的切线方程均为y＝x﹣1，即存在定直线y＝x﹣1与曲线y＝f（x）与y＝g（x）都相切．
（注：本小题给出正确答案即得满分，无需说明理由．）
（3）令，
因为x≥0时，f（x）≥g（x），所以H（x）≥0恒成立，
H′（x）＝ln（x+1）﹣1﹣ax+ex，
令h（x）＝H′（x），则有，
令T（x）＝ex﹣x﹣1，则T′（x）＝ex﹣1，
当x∈（﹣∞，0）时，T′（x）＜0，T（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，T′（x）＞0，T（x）单调递增，
故T（x）min＝T（0）＝0，故ex﹣x﹣1≥0，即ex≥x+1，
则a≤2时，，
所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0），
又h（0）＝0，所以h（x）≥0，即H′（x）≥0，
所以H（x）在[0，+∞）上单调递增，从而H（x）≥H（0），
又H（0）＝0，所以H（x）≥0；
当a＞2时，令，
因为x∈[0，+∞），则有，
故在[0，+∞）上单调递增，
而，故存在x0∈（0，lna），h′（x0）＝0，
从而当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以当x∈（0，x0）时，h（x）＝H′（x）＜H′（0），
又H′（0）＝0，所以H′（x）＜0，所以H（x）在（0，x0）上单调递减，
所以H（x0）＜H（0），又H（0）＝0，
故H（x0）＜0，与H（x）≥0矛盾，故不合题意．
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]．
19．【解答】解：（1）设两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠为事件A，
则＝；
（2）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，4，
＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
∴数学期望．
（3）证明：编号：任选一个红珠记其编号为1，并按顺时针方向依次给每个装饰珠编号2，3，4，5，6， ，2（m+n）；
编组：1号珠，连同它顺时针方向后的m+n﹣1个装饰珠，共m+n个装饰珠编为一组，称为1号组；
2号珠，连同它顺时针方向后的m+n﹣1个装饰珠，共m+n个装饰珠编为一组，称为2号组； ，共2（m+n）组，每组均有m+n个装饰珠．
有以下结论：
①不可能每组中红珠都多于或少于m个．
∵每个装饰珠都同时在m+n组中，∴每组中的红珠数目之和为2m（m+n），
若每组中红珠都多于（或少于）m个，∵共2（m+n）组，
则此时红珠总数会多于（或少于）2m（m+n），与每组中的红珠数目之和为2m（m+n）矛盾．
②相邻两组中红珠数量最多相差1．
∵后一组的装饰珠为前一组的装饰珠去掉第一个并在最后加上一个，
∴它们之间只有2个装饰珠有区别，前一组装饰珠的第一个可能为红珠或蓝珠，最后加上的这一个也可能为红珠或蓝珠，
∴有以下四种情形：去掉红珠，加上红珠；去掉红珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上红珠．
不论哪种情况，相邻两组中红珠数量只能相差1或0．
现假设没有任何一组中的红珠数量为m，
由①知，必存在两相邻号组A，B，A中红珠数≤m﹣1，B中红珠数≥m+1，即二者红珠数至少相差2，与②矛盾．
∴必有某号组恰好有m个红珠，n个蓝珠，在该号组的两侧各剪一刀，即可满足条件．

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