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2025 年 山 东 省 济 南 市 中 考 一 模 押 题 卷
数 学
注意事项：
l.本试卷共8 页，共分；考试时间分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2 .答题前．务必用0.5毫米黑色莶字笔将自己的姓名、考证号、座位号填写在试卷和答
题卡規定的位置上。
3.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动．用皮擦干净后再选涂其他答案标号。
4.非择题必須用0.5 毫来黑色莶字笔作答，答案必烦写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。
6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折等实验。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．若与互为相反数，则的值（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．杭州亚运会首创推出“亚运数字火炬手”，最终105000000人参与了“线上火炬传递”，数据105000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（　　）
A．54° B．60° C．70° D．72°
5．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是是（　　）
A．30 B．45° C．50° D．85°
6． 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．关于x的一元二次方程有实数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字1，2，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：
①OH∥BF；②GH=BC；③BF=2OD；④∠CHF=45°．
正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，点在以为直径的半圆上，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段的最小值为；④当时，与半圆相切；⑤当点从点运动到点时，线段扫过的面积是．其中正确的结论的序号为（ ）
A．①②③⑤ B．③④⑤ C．②③④ D．①②③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．若分式的值为0，则　 　．
12．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为　 　．
13．如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是　 　度．
14．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.
时间（分） 0 5 10 15 20 25
温度（） 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的，则14分时的温度是　 　.
15．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为与相交于点，的延长线过点．若，则的值为　 　．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（1）计算
（2）化简：
17．解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
18．如图，是线段上一点，为的中点，连接并延长至点，使得．求证：．
19．城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神.某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下：
【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量.
【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪.其中测高仪（如图②）为正方形木板，在顶点处用细线挂一个铅锤.
【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点，与“摇橹人”最高点在同一条直线上.通过测量得到，，，.
【步骤四】计算“摇橹人”高度.（结果精确到0.1m）（参考数据：，，）
现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】.
20．如图，点在以AB为直径的上，点在BA的延长线上，．
（1）求证：DC是的切线．
（2）点是半径OB上的点，过点作OB的垂线与BC交于点，与DC的延长线交于点，若，求CE的长.
21．某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
22．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要100元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要90元．
（1）分别求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
（2）该销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为40元，每个“天宫”模型的售价为30元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，在平面直角坐标系中，点 ，把线段绕点逆时针旋转到，交轴于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）连接，若点在反比例函数的图象上，求点的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．
25．【综合与实践】
【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以为直径的半圆O，放置于地面上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，彩色液体的最大深度为．
【数学思考】（1）求直径的长；
【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使一部分液体流出．如图2，当时停止摆动，其中半圆的中点为点Q，与半圆的切点为点E，连接交于点 D．
①在摆动中圆心O到地面的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时的长及操作后液面高度下降了多少；
③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？
答案解析部分
1．D
解：因为与互为相反数，
所以+=0
解得a=-1
故选D
本题考查了相反数的定义，以及一元一次方程的求解，根据相反数的定义，得到关于a的一元一次方程+=0，求得方程的解，即可得到答案.
2．D
3．C
解：．
故答案为：C．
科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
4．D
解：由题意得：∠α是正五边形的一个外角，
∴.
故答案为：D．
根据多边形的外角和及正五边形的性质，即可得到答案．
5．C
解：如图，
△ABC中，∵∠A=85°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C=50°，即x=50°.
故答案为：C.
先由三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而根据全等三角形的对应角相等得出∠F的度数，从而得到x的值.
6．C
解：A：，计算错误，不符合题意；
B：，计算错误，不符合题意；
C：，计算正确，符合题意；
D：，计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
利用同底数幂的乘除法法则，单项式乘多项式法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，合并同类项法则等计算求解即可。
7．B
8．C
解：画树状图如下：
共4种情况，其中两次记录的数字之和为3的有2种，
∴两次记录的数字之和为3的概率是，
故答案为：C
先根据题意画出树状图，进而得到共4种情况，其中满足题意的有2种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
9．B
解：
由正方形ABCD可得，∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，又CE=CF，
∴△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CBE+∠F=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，
又∠HBD=∠HBF，BH=BH，
∴△HBD≌△HBF，∴DH=FH，
又O是BD的中点，∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF，故①正确；
易证GH是△DCF的中位线，∴GH=，又CF=CE，∴GH=
∵BE平分∠CBD，且BC≠BD，∴E不是CD的中点，即CE≠
∴GH≠，∴GH≠，故②错误；
由△HBD≌△HBF可得BD=BF，又BD=2OD，
∴BF=2OD，∴③正确；
∵BF平分∠CBD，∠CBD=45°，∴∠CBE=22.5°，
∴∠CDF=22.5°，
已证H是DF的中点，∴CH=DH，∴∠DCH=∠CDF=22.5°，
∴∠CHF=∠DCH+∠CDF=45°，∴④正确。
故答案为：B.
先证明△BCE≌△DCF，得∠CBE=∠CDF，再证明△HBD≌△HBF，得DH=FH，结合三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质推导并验证各结论即可。
10．C
11．
12．
13．74
解：∵AB∥CD且∠1=106°，
∴∠BAC=∠1=106°，
∵AB∥EO，
∵∠AOE=∠BAC=106°，
∴∠2=180°-∠AOE=74°.
故答案为：74．
本题考查平行线的性质，邻补角的定义；先根据“两直线平行，同位角相等”得到∠BAC=∠1=106°，再由“两直线平行，内错角相等”得到∠AOE=∠BAC=106°，最后邻补角的定义求得∠2=74°.
14．52
解：根据表格中的数据可知温度T随时间t的增加而上升，且每分钟上升3℃，
则关系式为：T=3t+10，
当t=14min时，T=3×14+10=52(℃)，
故14min时的温度是52℃，
故答案为：52.
根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升3℃，写出函数关系式，进而把t=14min代入计算即可.
15．
解：设，，
∵，
∴，
∵E是中点，
∴，
过点E作于点H，连接，则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴，，
由折叠知，，，，，
∴，
∵的延长线过点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟悉性质，根据性质得出结论是关键。设AB=1，GC=x，根据得，由E是AD中点得，过点E作于点H，连接CE，则，由矩形ABCD和CDEH得，，，，由折叠知，，，得，结合，可证，得，，，，由得，，， ，根据得GC，BF，则可得．
16．（1）；（2）
17．解：，
对于，去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
对于，移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
不等式组的解集为，
该不等式组的非负整数解为或
先分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后得到非负整数解即可．
18．解：为的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
．
根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．解：根据题意可知：
在中，，
，
，
.
答：“摇橹人”的高度约为16.5m.
先利用角的运算求出，再结合求出EF的长，最后利用线段的和差求出EG的长即可.
20．（1）证明：连接OC，
∵是的直径，
，
∵OC为的半径，
是的切线．
（2）解：设
在Rt中，
又
解得：且14是所列方程的解
.
（1）根据半径的性质和已知条件推出，利用圆周角定理和等量代换即可求出∠OCD的度数，从而证明DC是的切线.
（2）根据，设半径r，即可求出半径的长度，再根据勾股定理求出CD的长度，根据和即可求出EC=EF，设EC=EF=x，利用相似的性质，构建关于x的方程，求出x即是求出CE的长度.
21．解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），
直方图如图所示：
；
（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°；
（3）这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80分-90分之间，
∴这次测试成绩的中位数的等第是良好；
（4）1500×＝300（人），
答：估计该校获得优秀的学生有300人．
（1）利用基本合格人数除以它所占百分比即可求出总人数；
（2）利用360°×“良好”所占百分比计算圆心角即可；
（3）根据中位数的定义，结合条形统计图判断即可；
（4）利用样本中“优秀”的占比乘以1500即可解题．
22．（1）解：设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元
由题意得，，解得，
每个“神舟”模型的进货价格为20元，每个“天宫”模型的进货价格为15元；
（2）解：设购进个“神舟”模型，个“天宫”模型时，销售这批模型的利润为元，
由题意得，
，解得，
随的增大而增大
由题意知，取整数
当时，取得最大值，为
当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元．
（1）设每个“神舟”模型的进货价格为元，每个“天宫”模型的进货价格为元，根据题意列出二元一次方程组，进而解方程组即可；
（2）设购进个“神舟”模型，个“天宫”模型时，销售这批模型的利润为元，根据题意表示出w与m的一次函数关系式，进而求出m的取值，再根据一次函数的性质即可求解。
23．（1）解：作轴，垂足为点，
把线段绕点逆时针旋转到，
，，
，
即，
在和中，
，
（），
，，
点，
，，
点的坐标为，，
反比例函数的图象经过点，
；
（2）解：设的解析式为，
点，
，
解得，
的解析式为，
令，则，
点的坐标为，
，
，
，
设点坐标为，
，
，
解得，
点坐标为．
（1）作轴，垂足为点，根据旋转的性质得到，，进而得到即可利用"AAS"证明，得到即可得到点C的坐标，继而求出k的值；
（2）设的解析式为，利用待定系数法即可求出AC的解析式，然后令x=0，得到点D的坐标，然后利用勾股定理即可求出AB的长度，的面积，设点坐标为，根据题意列方程即可求解.
24．（1）解：∵抛物线与x轴交于点与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设直线解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，，
∴
，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点坐标为．
（3）解：点坐标为或或
解：（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵，点与点P关于抛物线的对称轴l对称，
∴，即点与点重合，
设，，
∵以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴对角线的中点的坐标相同，
如图，
①当、为对角线时，，
解得：，
∴．
②当、为对角线时，，
解得：，
∴．
③当、为对角线时，，
解得：，
∴．
综上所述：点坐标为或或．
（1）把点A和点B的坐标代入二次函数的解析式组成方程组，根据待定系数法求解即可；
（2）根据勾股定理求AB的长，根据正弦函数的定义式得到， 根据待定系数法求出直线AB的解析式，设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示PM的长，建立关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可。
（3）先确定点D和点 的坐标，设点C的横坐标为t，分三种情况：A为对角线，或AC为对角线，或AD为对角线，根据平行四边形的性质，结合平移与坐标变化的规律求解即可。
25．（1）；（2）①不变；②，；③

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