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2025 年 吉 林 省 中 考 一 模 押 题 卷
数 学
数试卷共7 页,包括六道大题,共26 道小题,全卷满分120分·考试时间为120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回，
注意事项：
1.答题前考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上， 并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时， 考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答， 在草稿纸、试卷上答题无效。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列各计算，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．用科学记数法表示的数5.002×104 的原数是(　　)
A．5 002 B．500 200 C．50 020 D．500.2
3．如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是 （　　）
A． B． C． D．
4．如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（　　）
A．3 B．±3 C．-3 D．±
5．如图所示，矩形的顶点，，对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点P的落点坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．已知是一元二次方程的两个根．则　 　．
8．已知实数、、、满足，，则　 　．
9．如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为　 　．
10．把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，其原理能用基本事实“　 　”解释．
11．如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝　 　.
12．如图，边长为的正方形放置在平面直角坐标系中，、两点在第二象限．与轴负方向的夹角为，那么点的坐标是　 　．
13．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为 　 　．
14．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为　 　．（结果保留π）
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值：
[(2a+3b)(2a-3b)-(2a-b)2-3ab]÷(-2b)，其中a=2，b=-1
16．某校推荐了 4 名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中 1 名七年级女生， 2名八年级学生（刚好 1 名男生和 1 名女生）， 1 名九年级男生．
（1）若从 4 名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是　 　；
（2）若先从八年级的 2 名学生中任抽 1 名，再从剩下的 3 名学生任抽 1 名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明．
17．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点交于点，交于点.求证：.
18． 老王有一批货物要从 地运往 地，准备租用某汽车运输公司的甲、乙两种货车若干辆． 经了解， 这两种货车两次运载货物的情况如右表 (每次都是满载)．
第一次 第二次
甲 2 辆 5 辆
乙 3 辆 6 辆
累计运货量 15.5 吨 35 吨
（1）甲、乙两种货车每辆各可运货物多少吨？
（2）现老王租用该公司甲货车 3 辆， 乙货车 5 辆， 刚好将这批货物运完 (满载)． 若每吨货物的运费为 30 元， 则老王应付运输费多少元？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，A为上一点，按以下步骤作图；
①连接OA，②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交于点B；
③在射线OB上截取；④连接AC.
求证：AC为的切线.
20．某校科技小组进行野外考察，为了安全地通过一片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板．已知人和木板对湿地地面的压力合计为．
（1）写出人和木板对地面的压强关于木板面积的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（2）画出所求函数的图象．
（3）当木板面积为时，压强是多少？
（4）如果要求压强不超过，那么木板面积至少为多大？
21．社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标.如图所示是我国2019年1-2月—2023年1-2月按消费类型分零售额同比增速以及社会消费品零售总额的统计图.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）2019年1-2月—2023年1-2月我国社会消费品零售总额的中位数是　 　亿元；
（2）根据国家统计局数据显示，2022年1-2月我国商品零售66708亿元，求2023年1-2月我国的餐饮收入；(结果保留整数)
（3）写出一条关于我国2019年1-2月—2023年1-2月期间我国社会消费品零售总额变化趋势的信息.
22．如图，从楼层底部处测得旗杆的顶端处的仰角是，从楼层顶部处测得旗杆的顶端处的仰角是，已知楼层的楼高为米．求旗杆的高度约为多少米 （参考数据：）
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．综合与实践问题情境：为减少二氧化碳等气体的排放，新能源汽车多数采用电能作为动力来源．为了解汽车电池需要多久能充满电，以及在满电状态下新能源汽车的最大行驶里程，某实践小组设计了两组实验．
实验一：探究电池在充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究在满电状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示的电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2．
新能源汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
（1）观察表1、表2，发现两者都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
（2）某电动汽车在满电状态下出发，前往距离出发点460千米的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，--次性充电若干时间后继续行驶，到达目的地后电动汽车仪表盘显示电：量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
24．为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问题 如何测量墙体是否与地面垂直？
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
测量示意图
（1）第一、二小组的方案可行吗 如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（）．过点作于点，连接．
（1）求证：．
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
（3）当_______时，为直角三角形．
26．根据以下素材，探索完成任务。
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似地看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡 BD上按水平距离间隔90m架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20m（AB=CD=20m），按如图所示的方式建立平面直角坐标系（x轴在水平方向上）.点A，O，E 在同一水平线上，经测量，AO=60m，斜坡BD的坡比为1：10.
素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5m，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5m时，符合安全要求，否则存在安全隐患. （说明：直线GH⊥x轴且分别与直线BD和抛物线相交于点H，G.点G 距离坡面的铅直高度为GH 的长）
任务1 确定电缆形状 求点 D 的坐标及下垂电缆的抛物线的函数表达式.
任务2 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？ 请说明理由.
任务3 探究安装方法 工程队想在坡比为1：8的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为20m，电缆抛物线的形状与任务1相同.若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？
答案解析部分
1．C
2．C
解：5.002×104=50020，
故答案为：C.
5.002×104将小数点向右移去4位，即可得出结论.
3．B
解：从上面看，图形有2行，第一行有2个正方形，左下方有1个正方体，
故选：B.
根据从上边看得到的图形是俯视图，结合图形，即可求解.
4．B
根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，
故答案为：B．
根据题意得出3x2﹣6=21，然后用直接开平方法求解。
5．A
6．D
解：四边形内接于，，
，
由圆周角定理得，，
故答案为：D．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．
8．-5
解：实数、、、满足，
，
，
，
∴．
故答案为：
先根据题意代入得到，进而即可得到，再根据整式的混合运算、因式分解即可得到，从而代入即可求解。
9．8
10．两点之间，线段最短
11．50°
解：在正六边形ABCDEF中，，
∵AH∥FG，
∴∠GFA+∠FAH=180°，
∴∠EFG+∠BAI=∠EFA+∠FAB-（∠GFA+∠FAH）=120°+120°-180°=60°，
∵∠EFG=20°，
∴∠BAI=40°，
∵BI⊥AH，
∴∠AIB=90°，
∴∠ABI=90°-40°=50°.
故答案为：50°.
根据正多边形的性质、多边形内角和得∠EFA=∠FAB=120°，然后”两直线平行，同旁内角互补“得∠GFA+∠FAH=180°，从而有∠EFG+∠BAI=60°，进而求出∠BAI=40°，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABI的度数.
12．
13．x（60﹣x）＝864
解：若设这块矩形田地的长为步，则宽为步，依题意，得
．
故答案为： ．
基本关系：矩形的面积=长×宽，由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
14．πcm2．
15．解：原式
当时
原式
先根据整式的混合运算进行化简，进而直接代入数值即可求解。
16．（1）
（2）解：列表如下：
七年级女生 八年级男生 八年级女生 九年级男生
八年级男生 (男， 女) —— (男， 女) (男， 男)
八年级女生 (女， 女) (男， 女) —— (男， 女)
所有等可能的结果共有6种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生 (记为事件B)的情况只有4种，
所以
解：
故答案为：
(1)所有等可能的结果共有4种，抽到九年级学生的结果 (记为事件A)只有1种，根据概率公式即可求解；
(2)所有等可能的结果共有6种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生的概率 (记为事件B)只有4种，根据概率公式即可求解.
17．证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
.
根据平行四边形的性质可得OA=OC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，利用AAS证明△AOE≌△COF，据此可得结论.
18．（1）解：设甲、乙两种货车每辆各运货物x吨与y吨，
由题意，得
解得
答：甲、乙两种货车每辆各运货物4吨与2.5吨；
（2）解：老王应付运费为（3×4+5×2.5）×30=735元.
（1）设甲、乙两种货车每辆各运货物x吨与y吨， 根据甲种货车2辆运输的货物质量+乙种货车3辆运输的货物质量=15.5吨及甲种货车5辆运输的货物质量+乙种货车6辆运输的货物质量=35吨，列出方程组，求解即可；
（2）用甲种货车3辆运输的货物质量+乙种货车5辆运输的货物质量算出这批货物的总质量，进而根据总运费= 每吨货物的运费×这批货物的总质量，列式计算即可.
19．解：连接AB，如图，
由作法得OB=AB=BC.
∴点A在OC为直径的⊙B上.
∴∠OAC=90°.
∴OA⊥AC.
∴AC为⊙O的切线．
连接AB，由作法得OB=AB=BC，根据圆周角定理可得∠OAC=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
20．（1）解：设，
∵已知人和木板对湿地地面的压力合计为600N，
∴k＝600，
故人和木板对地面的压强p（Pa） 关于木板面积S（m2）的函数表达式为（S＞0）；
故答案为：，自变量的取值范围是.
（2）解：函数图象如图所示：
（3）解：当S＝0.25时，，
即压强是2400Pa；
故答案为：.
（4）解：由题意知≤6000，
解得：S≥0.1，
即木板面积至少要有0.1m2．
故答案为：至少为.
（1）设，利用“人和木板对湿地地面的压力合计为600N”求出k的值即可得反比例函数解析式，再结合实际求出S的取值范围即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）将S=0.2代入解析式求出p的值即可；
（4）根据题意列出不等式≤6000，再求出S的取值范围即可.
21．（1）69737
（2）解：由图②可知2022年1-2月社会消费品总额为74426亿元.
∵2022年1-2月我国商品零售66708亿元，
∴2022年1-2月我国餐饮收入为
74426-66708=7718(亿元).
∵由图①可知2023年1-2月餐饮收入增长率为9.2%，
∴2023年1-2月我国的餐饮收入为
7718×(1+9.2%)=8428.056≈8428(亿元).
（3）解：2019年1-2月—2020年1-2月我国社会消费品零售总额有所降低，之后几年都在增高.
解：（1）将我国社会消费品零售总额按从小到大的顺序排列为52130，66064，69737，74426，77067，
∴中位数是69737亿元，
故答案为：69737；
（1）根据题意将数据从小到大排列，进而取最中间的数即可得到中位数；
（2）由图②可知2022年1-2月社会消费品总额为74426亿元，进而即可求出2022年1-2月我国餐饮收入，再根据图①即可求解；
（3）根据折线统计图即可求解.
22．旗杆的高度约为米．
23．（1）解：根据题意，两个函数均为一次函数，
设，，
将，代入，
得，解得，
y关于t的函数表达式为．
将，代入，
得，解得，
e关于s的函数表达式为．
（2）解：（解法不唯一）由题意得，先在满电的情况下行驶了240千米，
当时，，
在服务区充电前电量显示为40%．
假设充电t分钟，则增加电量，
从服务区出发时电量为．
剩余路程为（千米），
应耗电量为，即应耗电量为55%，
，解得．
答：电动汽车在服务区充电35分钟．
（1）先根据题意得到两个函数均为一次函数，进而运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）先根据题意求出当时，在服务区充电前电量显示为40%，假设充电t分钟，则增加电量，从服务区出发时电量为，剩余路程为（千米），应耗电量为，即应耗电量为55%，从而列出方程即可求解。
24．（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
根据勾股定理的逆定理解题即可；
利用，即可得到，，然后利用三角形内角和定理可得解题即可；
以点为顶点得到等腰，然后利用三线合一定理得到，点是的中点，则解题即可．
（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
25．（1）证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴
（2）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形
（3）或．
（3）解：分情况讨论：
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
故当或时，为直角三角形，
故答案为：或．
（）在Rt三角形DFC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长度，根据题意可得出AE的长度，进而得出；
（）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案；
（）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可．
26．解：任务1：如图，作，易证四边形ABFE是矩形，
，
， 斜坡BD的坡比为1：10 ，
，，
，
，
，
，
设抛物线关系式为，
得，解得，
抛物线关系式为，
点D（30，-11），下垂电缆的抛物线的函数表达式为.
任务2：设直线BD的关系式为，
得，解得，
直线BD的关系式为，
设，
，
当时，，
这种电缆的架设不符合安全要求.
任务3：如图，建立直角坐标系，
设，
，
直线BD的关系式为，
，
，
抛物线关系式为，
设，
，
电缆下垂恰好符合安全高度要求，
，解得，
抛物线关系式为，
代入点，得，
解得，
，
两个塔柱的水平距离应为米.
任务1：作，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质分别求得各点坐标，再通过待定系数法求得抛物线关系式.
任务2：设直线BD的关系式为，通过待定系数法求得直线BD的关系式，设，用x表示出GH的长度，再利用二次函数的性质求得当时，GH有最小值小于13.5m，故这种电缆的架设不符合安全要求.
任务3：如图，以点B为原点重新建立直角坐标系，设，则，从而得到直线BD的关系式为，及点A、C的坐标，又电缆抛物线的形状与任务1相同，可得抛物线关系式为，设，表示出GH的长度，再利用二次函数的性质求得GH的最小值，进而解得a的值，最后求得两个塔柱的水平距离.

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