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2025 年 河 北 中 考 一 模 押 题 卷
数 学
〈全卷满分120 分， 考试时间120 分钟）
注意事项
1.答题前， 考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上·
2 .考生作答时， 请在答题卡上作答〈答题注意事项见答题卡), 在本试卷、草稿纸上作答无效。
3 .不能使用计算器。
4 .考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回·
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，假命题的是（　　）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
4．不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6． 如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的主视图是图中的（　　）
A． B． C． D．
7． 已知压力 、压强 与受力面积 之间有如下关系式： ． 当 为定值时，表示压强 与受力面积 之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9． 方程的一个根是（　　）
A． B． C．无实数根 D．
10．如图 ， D， E， F 分别是 各边中点， 则以下说法错误的是（　　）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ， 则四边形 是菱形
D．若 ， 则四边形 是矩形
11．中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象，如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（　　）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
12．如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（　　）
①O是的中点； ②点的坐标为
③线段； ④
A．4 B．3 C．2 D．1
13．如果， 那么代数式的值是（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
15．如图，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（　　）
A．（1012，1012） B．（2011，2011）
C．（2012，2012） D．（1011，1011）
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．某班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如下表所示，则这40名同学投掷实心球的成绩的众数是　 　.
成绩（分） 6 7 8 9 10
人数 下 正一 正正一 正正正 正
18．满足的整数x是　 　．
19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”.
例如，数轴上的点 A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点 B是点A，C的“关联点”.
（1）若点 A 表示数-2，点 B 表示数1，数-1，2，4，6所对应的点分别是（ 其中是点 A，B 的“关联点”的是　 　.
（2）点 A 表示数-10，点 B 表示数15，点 P 为数轴上一个动点.
①若点 P 在点B 的左侧，且点 P 是点A，B的“关联点”，求此时点 P 表示的数.
②若点 P 在点B 的右侧，在点 P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点 P 所表示的数.
21．小明参加某超市的“翻牌抽奖”活动，如图，张背面完全相同的卡片，正面分别对应着四句“国是家，孝为先，善作魂，知礼仪”的讲文明树新风的宣传语．
（1）如果随机翻张牌，那么翻到“孝为先”的概率为　 　．
（2）如果四张卡片分别对应价值为，，，单位：元的件奖品如果小明随机翻张卡片，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求小明两次所获奖品总值不低于元的概率？
22．随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．
（1）求小华的仰角的正切值；
（2）求、两点之间的距离．
23．
（1）问题发现：
如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则　 　；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，把“正方形”改为“矩形，且”其它条件不变，则 ，证明你的结论；
（3）拓展应用：
如图3，在中，，点为的中点，连接，点为上一点，，则　 　．
24．直线与x轴交于A，与y轴交于B，直线与y轴交于直线交于D，过D作轴于．
（1）点A坐标为______；点D坐标为______．
（2）求直线的函数关系式．
（3）P是线段上一动点，点P从原点O开始，每秒1个单位长度的速度向A运动（P与O、A不重合），过P作x轴的垂线，分别与直线、交于M、N，设四边形的面积为S，P点运动的时间为t，求出S与t之间的函数关系式．
（4）在（3）的条件下，当______时，以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
25．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若 =3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1）， =y，直接写出y关于x的函数解析式．
26．已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．
答案解析部分
1．C
解：根据正数＞0＞负数，
∴1＞0＞-1＞-2，
∴最小的数为．
故答案为：C．
本根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数即可.
2．D
解：A选项，，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方积的乘方，运算法则逐项分析判断即可得结果．
3．A
4．A
解：解不等式得：x 3，
∴在数轴上表示为
故答案为：A.
先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
5．C
解：A、图中为边上的高，不符合题意；
B、图中不是高，不符合题意；
C、图中为边上的高，符合题意；
D、图中为边上的高，不符合题意；
故选：C．
根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，逐项分析即可求解.
6．B
解：由题意得该几何体的主视图为，
故答案为：B
根据由小正方体堆积成的组合体的三视图结合题意画出其主视图即可求解。
7．D
解：∵ ，
∴.
∵F为定值，故P是S的反比例函数，
故答案为：D.
根据 以及F为定值，可知.据此可知P是受力面积S的反比例函数.
8．B
9．C
a=1，b=1，c=1，
，
因此方程无实数根.
故选C.
本题考查公式法解一元二次方程.先找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，发现其结果小于0，故原方程无实数根．
10．C
11．A
解：由题意可得：
正八边形的内角和为：(8-2)×180°=1080°
故答案为：A
根据正多边形的内角和定理即可求出答案.
12．B
13．C
解：原式＝
＝
＝
＝（m＋3）m
＝m2＋3m
∵m2＋3m-1＝0
∴m2＋3m＝1
故答案为：C．
根据分式减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据m2＋3m-1＝0，可以得到m2＋3m＝1，然后代入化简后的式子即可解答本题．
14．C
15．B
16．A
17．9
解：由题意得成绩为9分的人数最多，
∴这40名同学投掷实心球的成绩的众数是9，
故答案为：9
根据众数的定义（出现次数最多的数）结合题意即可求解。
18．2
解：∵
∴，
∴满足的整数x只有2．
故答案为：2．
利用估算无理数大小的方法求出，从而可得满足的整数x只有2．
19．4
解：作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，如图，
∵正比例函数y=ax ( a>0)的图象与反比例函数(k>0)都关于y=-x对称，且图象交于A， B两点，
∴OA=OB.
S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC
∵AC=2AD，S△BCD=18，设点A坐标.
∴，
.
∴.
∵AE⊥y轴，
∴∠DAE=∠DOC=90°，
又∵∠EDA=∠ODC
∴△EDA∽△ODC.
∴，
∴.
∴.
∴，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，根据两个函数的对称性可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△AOD=6，S△COD=9，证明△EDA∽△ODC，利用相似三角形的性质求得，于是可得，根据反比例函数k的几何意义，即可得到k值.
20．（1）C1，C3
（2）解：①若点 P 在点B 的左侧，且点 P 是点A，B 的“关联点”，设点 P表示的数为x，
(Ⅰ)当点 P在点A 的左侧时，则有2PA=PB，即2(-10-x)=15
5 -x，解得x=-35；
(Ⅱ)当点 P在A，B之间时，有2PA=PB或PA=2PB，即有2(x+10)=15-x或x+10=2(15-x)，解得. 或 因此点 P 表示的数为-35 或 或
②点 P 表示的数为40或65或
解：（1）点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为-1
=1 ，=2
是点A，B的“关联点”
点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为2
=4 ，=1
不是点A，B的“关联点”
点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为4
=6 ，=3
是点A，B的“关联点”
点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为6
=8 ，=5
不是点A，B的“关联点”
故答案为：
（2）②若点 P 在点 B 的右侧，
(Ⅰ)若点 P 是点A，B的“关联点”，则有2PB=PA，即2(x-15)=x+10，解得x=40；
(Ⅱ)若点 B是点A，P的“关联点”，则有2AB=PB或AB=2PB，即2(15+10)=x-15或15+10=2(x-15)，得x=65或
(Ⅲ)若点 A 是点 B，P 的“关联点”，则有2AB=PA，即2(15+10)=x+10，解得x=40.
∴点 P 表示的数为40或65或
（1）根据关联点的定义结合数轴上两点间的距离逐一判断即可求解；
（2）①若点 P 在点B 的左侧，且点 P 是点A，B 的“关联点”，设点 P表示的数为x，进而分类讨论：(Ⅰ)当点 P在点A 的左侧时，(Ⅱ)当点 P在A，B之间时，从而即可求解；
②若点 P 在点 B 的右侧，进而分类讨论：(Ⅰ)若点 P 是点A，B的“关联点”，(Ⅱ)若点 B是点A，P的“关联点”，(Ⅲ)若点 A 是点 B，P 的“关联点”，再根据关联点的定义即可求解。
21．（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于35元的有8种，
所获奖品总值不低于30元的概率为．
解：（1）如果随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为；
故答案为：；
（1）用卡片中“孝为先”的数量比上卡片的总数量即可；
（2）此题是抽取不放回类型，用树状图列举出所有等可能的结果数，由图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于35元的有8种，从而根据概率公式计算可得答案.
22．（1）小华的仰角的正切值为；
（2）两点之间的距离．
23．（1）1
（2）解：，过点作于，过点作于点，设与的交点为点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
；
故答案为；
（3）
解：（1）过点E作EK ⊥CD于点K，过点G作GJ⊥BC于点J，设EF与GH相交于点O，
∵在四边形AEOG中，∠A=∠EOG=90°，
∴∠AGO+∠AEF=180°，
又∵∠AGO+∠DGH=180°，
∴∠AEF=∠DGH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠EFK=∠AEF，∠GHJ=∠DGH，
∴∠EFK=∠GHJ，
又∠EKF=∠GJH=90°，EK=GJ=AB，
∴≌，
∴EF=GH，
∴；
故答案为：1；
（3）将补成如图所示的矩形ACBH，延长CE交AH于点G，
∵CE⊥BD，
∴由（2）知：，
∴CG=，
∴AG=，
∵AG∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴CE=
故答案为：
（1）过点E作EK ⊥CD于点K，过点G作GJ⊥BC于点J，设EF与GH相交于点O，可证明≌，从而得出EF=GH，进而得出；
（2） 过点作于，过点作于点，设与的交点为点，可证明， 从而得出 ， 从而得出 ；
（3）将补成如图所示的矩形ACBH，延长CE交AH于点G，根据（2）的结论可得，即可求得CG=，根据勾股定理可求得AG=，然后通过证明，即可得出CE=
24．（1），
（2）
（3）
（4）或
25．（1）解：①连接DM、MC，如图1．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠MDO=∠MCO=90°．
∵∠AOB=90°，
∴四边形OCMD是矩形，
∴MD∥OA，MC∥OB，
∴ ， ．
∵点M是AB的中点，即BM=AM，
∴BD=DO，AC=OC．
∵点M的坐标为（3，4），
∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，
∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；
②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
∴AB= =10．
∴BM= AB=5．
∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，
∴△OBM∽△EBD，
∴ = ，
∴ = ，
∴BE= ，
∴ME=BE﹣BM= ﹣5=
（2）解：连接DP、PE，如图2．
∵ =3，
∴OK=3MK，
∴OM=4MK，PM=2MK，
∴PK=MK．
∵OD=BD，OP=MP，
∴DP∥BM，
∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．
在△DPK和△EMK中，
，
∴△DPK≌△EMK，
∴DK=EK．
∵PD=PE，
∴PK⊥DE，
∴cos∠DPK= = ，
∴∠DPK=60°，
∴∠DOM=30°．
∵∠AOB=90°，AM=BM，
∴OM=BM，
∴∠OBA=∠DOM=30°
（3）解：y关于x的函数解析式为y= ．
提示：连接PD、OE，如图3．
设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，
BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，
PK= ﹣t= ．
由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，
则有 = ，可得ME= t．
∵OM是⊙P的直径，
∴∠OEM=90°，
∴OE2=OM2﹣ME2=[（y+1）t]2﹣[ t]2= （y2﹣2y），
即OE= ，
BE=BM+ME=（y+1）t+ t= ，
∴x=tan∠OBA= = ，
∴x2= =1﹣ ，
整理得：y= ．
（1）①连接DM、MC，如图1，易证四边形OCMD是矩形，从而得到MD∥OA，MC∥OB，由点M是AB的中点即可得到BD=DO，AC=OC，然后利用点M的坐标就可解决问题；②根据勾股定理可求出AB的长，从而得到BM的长，要求ME的长，只需求BE的长，只需证△OBM∽△EBD，然后运用相似三角形的性质即可；（2）连接DP、PE，如图2，由 =3可得OK=3MK，进而得到OM=4MK，PM=2MK，PK=MK．易证△DPK≌△EMK，则有DK=EK．由PD=PE可得PK⊥DE，从而可得cos∠DPK= = ，则有∠DPK=60°，根据圆周角定理可得∠DOM=30°．由∠AOB=90°，AM=BM可得OM=BM，即可得到∠OBA=∠DOM=30°；（3）连接PD、OE，如图3，设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，PK= ．由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，则有 = ，由此可得ME= t，从而可求得OE= ，BE= ，则有x=tan∠OBA= = ，即x2= =1﹣ ，整理得y= ．
26．（1）解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数化为顶点式为，
∴二次函数顶点为
（2）解：如图∶
将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
∵是整数，
∴，或或，
∴或或，
∴符合条件的新函数的解析式为或或；
（3）解：当在左侧时，过作于，如图，
∵点、的横坐标分别是、，
∴，，
∴，，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
当在右侧时，如图，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
综上所述，的度数是或．
（1）先求出 二次函数的表达式为， 再求顶点坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，或或， 再求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合函数图象判断求解即可。

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