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机密★启用前
2025 年 广 西 中 考 一 模 押 题 卷
数 学
〈全卷满分120 分， 考试时间120 分钟）
注意事项
1.答题前， 考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上·
2 .考生作答时， 请在答题卡上作答〈答题注意事项见答题卡), 在本试卷、草稿纸上作答无效。
3 .不能使用计算器。
4 .考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回·
一、单项选择题（本大题共 12 小题, 每小题 3 分, 共 36 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答 标号涂黑。
1． 下列实数中，比-2 小的数是
A．-3 B．-1 C．0 D．1
2．年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．据统计，2023年贵港市中考报名人数约为8万，数据8万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和5个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现红球摸到的频率稳定在0.25，则袋中白球有（　　）
A．15个 B．20个 C．10个 D．25个
6． 下午3时30分，时钟的分针与时针所成的较小角的度数为 (　　)
A．75° B．90° C．105° D．120°
7． 已知点P(4，-3)，则点P到x轴的距离为(　　)
A．3 B．-3 C．4 D．-4
8．下表列出了一项试验的统计数据，表示皮球从高处落下时，其弹跳高度b与下落高度d的关系．下面选项中能表示这种关系的是（　　）
d(cm) 50 80 100 150
b(cm) 25 40 50 75
A．b=d2 B．b=2d C．b=0.5d D．b=d+25
9．如图，P 是函数 的图象上一点， 过点 分别作 轴和 轴的垂线， 垂足分别为点 ， 交函数 的图象于点 ， 连结 ， 其中 ． 下列结论： ①； ②； ③ ， 其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
10．代数式 能因式分解成 ， 则 的值是（　　）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
11．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有斗，那么可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.点E为小正方形的顶点，延长交于点F，分别交，于点G，H，过点D作的垂线交延长线于点K，连结.若为等腰三角形，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 6 小题, 每小题 2 分, 共 12 分。)
13．如图，矩形的两条对角线相交于点，，则　 　．
14．在实数1，0，－，－中，最大的是　 　．
15． 某中学七年级甲、乙两个班参加了一次数学考试， 每班的考试人数都为 40 ， 将每个班的考试成绩分为 五个等级，绘制的统计图如下． 根据统计图提供的信息， 则 等级这一组人数较多的是　 　 班．
16．不等式的解是　 　．
17．如图，已知中，，将放置在平面直角坐标系中，在轴上，中点在轴正半轴上，则过点的反比例函数的解析式为　 　．
18．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为　 　米．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
20．解方程组：
21．某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了a名工人每人每天加工零件的件数（单位：件），绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为__________，图①中的m值为__________；
（2）求统计的这组工人加工零件数据的平均数、众数和中位数．
22．如图 ，在 中， ．
（1） 尺规作图： 在 上作一点 ， 使得 （保留作图痕迹， 不写作法）．
（2）若 ， 求 的值．
23．【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
（1）如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是　 　．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是　 　
（2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．
①请问两种瓷砖每块各多少元？
②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少．按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 ▲ 元．
24．如图，线段是的直径，交线段于D，且D是的中点，于E，连接.
（1）求证：是的切线.
（2）若，，求的长.
25．根据以下素材，探索完成任务.
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素材 在大自然里，有很多数学的奥秘.如图①、②，一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作是把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成的.
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 建立如图③所示的平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，且过原点.求抛物线的函数表达式及顶点 D 的坐标.
任务2 研究心形叶片的尺寸 如图③，心形叶片的对称轴直线y=x+2分别与坐标轴相交于点A，B，直线x=6分别与抛物线和直线AB 相交于点E，F，点E，E'是叶片上的一对对称点，EE'与直线AB 相交于点G.求叶片此处的宽度EE'.
任务3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，如图④，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数.已知直线 PD与水平线的夹角为45°.三天后，点D长到与点P 同一水平位置的点D'时，叶尖Q落在射线OP 上（如图⑤）.求此时幼苗叶子的长度和最大宽度.
26．在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.
（1）若四边形ABCD为正方形.
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图3中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系.
答案解析部分
1．A
∵-3＜-2＜-1＜0＜1，∴ 比-2 小的数是 -3.
故答案为：A．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可.
2．D
3．C
解：8万；
故答案为：C．
根据科学记数法的表示方法：为整数.
4．C
5．A
解：设袋中白球有x个，
5根据题意，得：，
解得：x=15，
经检验：x=15是分式方程的解，
∴袋中白球有15个，
故答案为：A.
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.
6．A
解：下午3时30分，时针指向3和4的中间，分针指向6，
时针与分针所成的较小角的度数为：
30×2+30÷2
=60+15
=75(度)
故答案为：A.
根据钟面上有12个大格，每个大格是30度，时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，即可得出结论.
7．A
解： 点P到x轴的距离为=3。
故答案为：A
根据在平面直角坐标系中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值解答可得答案。
8．C
解：由统计数据可得：d=2b，
∴b=0.5d.
故答案为：C.
根据统计数据可得：d=2b，转化下即可得出答案。
9．B
10．D
∵，
∴m=2，n=-2，
∴mn=2×（-2）=-4，
故答案为：D.
利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）将原代数式变形为（x+2）（x-2），再利用待定系数法求出m、n的值，最后将其代入mn求解即可.
11．C
解： 设清酒有斗， 则醑酒（5-x）斗，
由题意得：10x+3(5-x)=30.
故答案为：C.
设清酒有斗， 则醑酒（5-x）斗，根据题中的相等关系“斗清酒所需价格+（5-x）斗醑酒所需价格=30”可列方程求解.
12．D
解：过点K作KP⊥CF，交CF的延长线于点P，DN与CF交于点O，
由题意可知：四边形NMEO和四边形ABCD是正方形，
，，，
，
是等腰三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，，
，
又，
，
，
∵四边形，
，，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
由题意可得：，
，
，，
，
，
，解得，
，，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
由题意可知：，
，
，
，
，
故答案为：D.
过点K作KP⊥CF，交CF的延长线于点P，DN与CF交于点O，易得四边形NMEO和四边形ABCD是正方形， 首先结合正方形的性质、等腰三角形的性质，可利用HL判断Rt△BAF≌Rt△CDF，得AF=DF，∠AFB=∠DFC，进而借助平行线的性质及等量代换可得∠DAM=∠AFB，由等角对等边得AG=FG，由等角的余角相等得∠BAM=∠ABF，得AG=BG=GF，在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程算出AF，从而可得FD、AB、AD的长，由等面积法求出BE，由勾股定理算出EF，进而判断出△BMG∽△BEF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出MG、BM，利用ASA判断出△KFD≌△GFA得KF=KD=AG=GF，由题意得Rt△BEC≌Rt△DNA，得DN=BE=4，进而再判断出△HNG∽△HDK，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出NH，证出四边形PODK是矩形，得PK=DO=2，PO=KD=，由题意得Rt△BEC≌Rt△COD，得OC=BE=4，由勾股定理算出KE，从而即可求出答案.
13．
14．1
解：，
最大的是1，
故答案为：1．
先估计无理数的大小，再根据正数大于0，0大于负数可得答案．
15．甲
解：甲班：D等级人数为13人，
乙班：D等级人数为人，
故D等级人数较多的是甲班.
故答案为：甲.
由频数直方图可得甲班中D等级人数为13人，利用扇形统计图中的百分比可求得乙班中D等级人数为12人，故D等级这一组人数较多的是甲班.
16．
解：2(1+x)< 6，
2+2x<6，
2x<6-2，
2x<4，
x<2.
故答案为：x<2.
不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解.
17．
解：过点作轴交于点，如图所示：
∵，中点在轴正半轴上，
∴，，
∴，
∴
∴
∴，则
在中，
∴，
∴，
∴
设过点的反比例函数的解析式为，则，
∴过点的反比例函数的解析式为，
故答案为：
过点作轴交于点，先根据题意得到，，进而运用勾股定理求出AD，再根据题意解直角三角形得到，从而即可求出OD，再运用三角形全等的判定与性质证明得到，从而得到点C的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
18．12
解：对于，
令，由得，，
∴足球从离地到落地的水平距离为米，
故答案为：12．
根据二次函数图象与x轴的交点问题，由求得x值，进而可求解．
19．（1）
（2）
（3）
（4）
20．解：，
由得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为．
利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
21．（1）20，25
（2）平均数为124，众数为130，中位数为125
22．（1）解：如图所示：
点D即为所求作的点.
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD.
∴∠ADC=2∠B=2×22.5°=45°.
∵ 中， ．
∴AC=DC，
∴.
∴.
（1）作线段AB的垂直平分线ED，根据垂直平分线性质可得BD=AD，根据等腰三角形性质和三角形外角性质即可得 ；
（2）求得∠ADC=45°，根据 中， 可得AC=DC，于是可表示出AD和BD，代入即可得到结论.
23．（1）3；
（2）解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴，
∴正三角形瓷砖每块的价格为10元，则正六边形瓷砖每块的价格为50元；
②520
(1)，
平移的距离是3；
如图，作，
，
，，
，，
，
由平移的性质可得图4的图形面积等于的面积 ，
图5的面积是，
故答案为：3；.
(2)观察图象可得，，
设正三角形瓷砖数量为块，正六边形瓷砖数量为块，总费用为元，
，变形得，
，
，
随的增大而减小，
当时，，
购买瓷砖最少需要 520元，
故答案为：520.
(1)平移的距离就是AD的长；先计算的面积，由平移的性质可得图4的图形面积等于原平行四边形的面积，所以图5的面积就是6个平行四边形的面积.
(2)设正三角形瓷砖每块的价格为x元，由正三角形瓷砖比正六边形瓷砖便宜40元可得正六边形瓷砖每块的价格为(x+40)元，再根据用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等列出分式方程，然后求解.
设正三角形瓷砖数量为x块，正六边形瓷砖数量为y块，由正六边形和正三角形的性质可得，正六边形的面积是正三角形的6倍，观察图形，利用总面积得到x、y的关系式，再表示出总费用，利用一次函数的增减性求得总费用的最小值.
24．（1）证明：如图，连接，
∵D为的中点，O为的中点，
∴为的中位线，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴为的切线.
（2）解：∵为的直径，
∴，即.
∵由D为的中点，
∴垂直平分，
∴.
∵，，
∴，
∴，即.
∵，
∴.
∵，，
∴，即.
（1）连接OD，易得DO为△ABC的中位线，则OD∥AC，根据平行线的性质可得∠ODE=∠DEC=90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，易得AD垂直平分BC，则AC=AB=4，证明△ADE∽△ACD，然后结合相似三角形的性质进行计算.
25．解：任务1：二次函数图象过原点，
，解得，
抛物线的函数表达式为，
又，
顶点.
任务2：如图，连接E'F，
直线x=6分别与抛物线和直线AB 相交于点E，F，
，
，
一次函数关系式为，
，
点E，E'是叶片上的一对对称点，
，
，
.
任务3：直线 PD与水平线的夹角为45°，
设直线 PD的关系式为，
，
，解得，
直线 PD的关系式为，
联立方程组，解得
，
，直线 PQ的关系式为，
把代入，解得，
生长后的函数关系式为，
联立方程组，解得
，
直线QD'的关系式为，，
如图，作轴，交QD'于点M，交抛物线于点N，交PD'于点T，作，
，
设
，，
，MN最大值为，
，
此时幼苗叶子的长度为，最大宽度为
任务1：将原点坐标代入二次函数，解得，进而求得抛物线的函数表达式为，再通过配方法求得顶点坐标.
任务2：由直线x=6分别与抛物线和直线AB 相交于点E，F，可得，进而得到EF=5，利用一次函数的性质可得，再通过轴对称的性质可得是等腰直角三角形，故可得.
任务3：根据直线 PD与水平线的夹角为45°，可设直线 PD的关系式为，代入点D坐标求得b值，联立方程组后即可得到点P坐标，进而求得，直线 PQ的关系式为，再将代入，解得，可得生长后的函数关系式为，再次联立方程组求得点Q坐标，进而求得直线QD'的关系式为，，作轴，设分别表示出MN、MT、TD'的长度，利用二次函数的性质求得MN最大值为，接着通过锐角三角函数计算出NR的值，即可得到此时幼苗叶子的长度和最大宽度.
26．（1）解：①四边形为正方形，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
即；
故答案为；
②.理由如下：
绕点逆时针旋转到图2所示的位置，
，
， ，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，
即.
（1）①根据正方形及等腰直角三角形的性质可得， ， 从而得出 ， 即得； ②.理由：根据两边成比例且夹角相等可证，利用相似三角形的性质即得结论；
（2）证明，可得， 即得，再证可得，继而得解.

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