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2 0 2 5年 北 京 市 中 考 一 模 押 题 卷
数 学 试 卷
姓名 ________准考证号________ 考场号 ________ 座位号________
考 生 须 知 考 生 须 知 本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上、选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第 一 部 分 选 择 题
一、单选题(共16分，每题2分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，直线，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．在一个不透明的袋子里有红球．黄球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（　　）
A．12 B．16 C．18 D．20
6．随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，某日通过搜索得出相关结果约为160000000个．将“160000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
7．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题(共16分，每题2分)
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．分解因式：　 　．
11．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是　 　.
12．若点 ， 在同一个反比例函数的图象上，则 的值为　 　.
13． 某校为了解学生对 四类运动的参与情况， 随机调查了本校 80 名学生， 让他们从中选择参与最多的一类， 得到对应的人数分别是 ． 若该校有 800 名学生， 则估计有　 　人参与 类运动．
14．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是　 　．
15．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为　 　．
16．南京航空航天大学的网红食堂，火的不仅仅是美味菜品，还有来自后勤人员跟学生们开得一个善意玩笑——他们把WIFI密码做成了高数题和音乐题。受此影响，某校园“回味餐厅”也把WIFI密码做成了数学题，如图，小姚在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了“回味餐厅”的网络，那么他输入的密码是　 　．
三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题 5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：．
18．解一元一次不等式组．
19． 已知：，求代数式的值．
20．如图，在中，，点D、E分别是的中点，点F在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
21．在甲处工作的有31人，在乙处工作的有20人，现在调来18人分别派往甲，乙两处，使在甲处工作的人数是乙处的两倍，应往甲、乙两处派去多少人？
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且过点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围．
23．为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，4月初，西大附中开展了诗词知识答题活动，以一种新的方式与诗词对话，与古人为友．答题结束后，从初一、初二年级随机抽取了20份测试成绩（百分制，单位：分）如下：
初一 94 100 89 95 62 75 93 86 86 93
95 95 88 94 95 68 92 80 78 92
初二 100 98 98 97 96 95 92 92 92 92
86 87 88 83 78 78 74 67 66 91
通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
初一 87.5 92 m 95.35
初二 87.5 n 92 97.85
某同学将初一学生得分按分数段（，，，），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如下图（均不完整）．
初一学生得分频数分布直方图
初二学生得分扇形统计图
请完成下列问题：
（1）初一学生得分的众数　 　；初二学生得分的中位数　 　；
（2）补全频数分布直方图　 　；扇形统计图中，所对应的圆心角为　 　度；
（3）若初二年级有1200名学生，估计初二年级答题活动中达到优秀（）的有多少名？
（4）根据以上数据，你认为初一、初二年级中哪个年级学生诗词知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
24．如图，四边形内接于，连接、交于点，是的直径，且，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于点A，B，交直线y＝kx于P．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若OP＝PA，求P点坐标及k的值．
（3）在（2）的条件下，C是直线BP上一动点，CE⊥x轴于E，交直线DP于D，若CD＝3ED，直接写出C点的坐标．
26．已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式及的值．
27．在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长；
（2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：；
28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，一次函数的图像与x轴交于点B，与交于点C．点P是y轴上一点，点Q是直线上一点．
（1）求的面积；
（2）若点P在y轴的负半轴上，且是轴对称图形，求点P的坐标；
（3）若以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．C
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意
B、不是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故C符合题意
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意
故答案为：C.
中心对称图形是指把一个图形绕着某个点旋转180度后能够与自身重合，这样的图形是中心对称图形，轴对称图形是把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，而A、B、D不同时具有这两种性质，故不满足题意，而C同时满足这两种性质，故选C.
2．C
3．C
4．B
5．C
6．C
7．A
解：根据作图方法可知，在△C'O'D'和△COD中，
∴△C'O'D'≌△COD（SSS），
因此，判定△C'O'D'≌△COD的依据是SSS.
故答案为：A.
根据作一个角等于已知角和三角形的判定定理即可得出结论.
8．B
9．
10．
11．且
解：∵，
∴x＝m＋1．
∵方程的解为负数，且x≠ 2，
∴m＋1＜0且m＋1≠ 2．
∴m＜ 1且m≠ 3．
故答案为：m＜ 1且m≠ 3．
先求出分式方程的解为x＝m＋1，再根据“方程的解为负数，且x≠ 2”列出不等式组求解即可.
12．－6
解：∵点A（-4，3）、B（a，2）在同一个反比例函数的图象上，
∴（-4）×3=2a，
解得a=-6.
故答案为：-6.
根据反比例函数图象上点的坐标乘积都等于比例系数，得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出答案.
13．300
解：参加A类运动的频率为：.
该校有800名学生，估计参加A类运动的人数为：800x0.375=300人.
故答案为：300.
先计算出样本参加A类运动的频率，再用总人数乘以样本中参加A类运动的频率估计出参加A类运动的人数.
14．30°
15．
解：如图，作垂直于，交的延长线于点．
，
，
．
，
即，
．
．
故答案为：．
先根据AAS证明，然后根据勾股定理求出的长度．
16．166332
解：∵3※8 2=133064，5※4 3=123564，6※3 4=134281，
且3+8+2=13，3×（8+2）=30，82=64；5+4+3=12，5×（4+3）=35，43=64；6+3+4=13，6×（3+4）=42，34=81；
∴9+2+5=16，9×（2+5）=63，25=32，
∴9※2 5=166332.
故答案为：166332.
通过观察发现：密码的前两位是三个数字的和，中间两位是第一个数与后两个数和的积，最后两位是以第二个数为底数，第三个数为指数的幂，据此求解即可.
17．解：原式
．
按照实数的混合运算法则运算， 其中去绝对值，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数可以同时运算，然后再进行加减运算.
18．
19．解：原式
，
，
．
先根据分式的混合运算化简，进而整体代入即可求解。
20．（1）证明：如图，
在和中，
∵，点D、E是分别是的中点．
∴，
∴，
又∵．
∴，
又∵
∴，
∴
（2）解：在中，∵∴，
∵点D、E分别是的中点，
，又，
四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据等边对等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）证明四边形是平行四边形，根据勾股定理求得，由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．
21．应往甲处调去15人，应往乙处调去3人
22．（1）解：解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：解：如图，
当时，，
∴把点代入，
∴，
∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴．
（1）根据①当两直线平行时，可得k相等（即k1=k2）；②当两直线垂直时，可得k的乘积为-1（即k1×k2=-1）可得k=2，再求解即可.
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：如图，
当时，，
∴把点代入，
∴，
∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴．
23．（1）95；
（2）初一学生得分在范围的人数5人，补全频数分布直方图如下： ；初二学生得分在相应的圆心角为，54
（3）解：∵初二年级样本中有11人，
∴（人）
答：估计优秀的学生有人；
（4）解：初一学生诗词知识掌握较好.
理由：初一学生得分的平均分一样，但众数、中位数都比初二的高，方差比初二的小．
（1）解：初一学生得分出现次数最多的是95分，共出现4次，因此众数是95，即m=95，
初二学生得分从小到大排列后处在中间位置的两个数是92和91，因此中位数n=(92+91)÷2=90.5，
故答案为：95，90.5；
（1）根据中位数、众数的意义，求出初一的众数，初二的中位数即可；
（2）求出初一学生得分在80≤x<90范围的人数，即可补全频数分布直方图，根据初二学生得分在70≤x<80的频数是3，求得占比，再乘以360°即可求解．
（3）根据样本估计总体，即可求解．
（4）从中位数、平均数、众数、方差的角度比较做出判断即可．
24．（1）证明： 是 的直径， ，
，
是 的切线，
，
；
（2）解： ， ，
，
∵AC是圆的直径，
，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，即 ，
．
（1）由垂径定理证得AC⊥BD，然后由切线的性质得AC⊥CF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行证得CF∥BD；
（2）先利用∠F的余弦函数可得，据此求出CF的长，再由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AEB∽△ACF，然后通过相似三角形对应边成比例建立方程可求得BE的长度.
25．（1）点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2）；（2）点P的坐标为（2，1），k＝；（3）点C的坐标为（﹣4，4）或（，）．
26．解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点
解得
二次函数的表达式为 ．
当 时，
解法二：由题意，设二次函数的表达式为 ．
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
解法三：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
解法一：根据一般式列方程组可解答；
解法二：根据顶点式将一个点代入可解答；
解法三：根据交点式将一个点代入可解答．
27．（1）解：如图1，连接，
由旋转知，，，
∴为等腰直角三角形，
∵点P是的中点，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴；

（2）证明：如图2，
过点E作交的延长线于H，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（1）连接CP，先证出为等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再求出，最后求出即可；
（2）过点E作交的延长线于H，先证出，可得，，再证出，可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差及等量代换可得．
（1）解：如图1，连接，
由旋转知，，，
∴为等腰直角三角形，
∵点P是的中点，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，
过点E作交的延长线于H，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．（1）解：把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
联立，
解得：，
∴点C的坐标，
∴；
（2）解：设点P的坐标为：，
∵是轴对称图形，
∴，或，
∴或，
当时，，
解得：或（舍去），
当时，，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标为：或；
（3）解：设点Q的坐标为：；
当为平行四边形的一条边，为另外一条边时，如图所示：
∵，
∴设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴此时点P的坐标为，
则，
解得：，，
∴此时点Q的坐标为；
当为平行四边形的一条边，为对角线时，如图所示：
∵，
∴设点P的坐标为，则，
解得：，
把代入得：，
∴此时点Q的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
∵，
∴此时点P的坐标仍然为，
∴，，
解得：，，
∴此时点Q的坐标为；
综上分析可知，点Q的坐标为或或．
（1）易得A（-8，0），B（14，0），则AB=22，联立两一次函数解析式求出x、y，可得点C的左坐标，然后利用三角形的面积公式进行计算；
（2）设P（0，m），由题意可得PA=AB或PB=AB，结合两点间距离公式可求出m的值，据此可得点P的坐标；
（3）设Q（xQ，yQ），当BC为平行四边形的一条边，CQ为另外一条边时，根据两直线平行的条件可设直线BP的解析式为y=x+b，将点B坐标代入求出b的值，得到直线BP的解析式，令x=0，求出y的值，据此可得点P的坐标，然后根据平行四边形的对角线互相平分进行求解；当BC为平行四边形的一条边，CQ为对角线时，设P（0，n），根据平行四边形的对角线互相平分可得xQ，然后代入直线BP的解析式中求出yQ，据此可得点Q的坐标；当BC为对角线时，同理进行解答.

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