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机密★启用前
2025 年 重 庆 市 中 考 一 模 押 题 卷
数学试题（A卷）
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中最小的是（　　）
A．-5 B．-3 C．0 D．2
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3． 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（　　）
A． B． C． D．
4．在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．不能确定
5．如果，且的三边长分别为3、5、6，的最短边长为9，那么的周长等于 （　　）
A．4 B． C．21 D．42
6．如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第9个图案需要的棋子个数为（　　）
A．81 B．91 C．109 D．111
7．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　）
A． B． C．1 D．-1
8．如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
10．观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．化简=　 　．
12．如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为　 　．
13．一个不透明的袋子里装有3个黑球和3个白球，它们除颜色不同外其他都相同，从袋中一次性任意摸出两个球，则两球均为白球的概率是　 　．
14．一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值14.45万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为　 　．
15．将平行四边形的边沿直线l翻折后，点B、C的对应点、落在直线上．如果，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为　 　．
16．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程有自然数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　.
17．如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接，下列四个结论中：平分；；；若，，则的长为其中正确的结论有：　 　写出所有正确结论的序号
18．已知实数m，n满足，则的最小值为　 　．
三、解答题
19．计算： .
20．某社区开以“阅读·点完美好生活”为主题的读书活动．为了解广大居民的阅读情况，随机抽取50名居民进行调查，获取他们每天用于阅读的时间（单位：分钟）的数据，将数据分成5组：，并对数据进行了整理、描述和分析，得到如下3条信息：
信息1：
阅读时间（分钟）
人数 5 12 8
信息2：
信息3：阅读时间在范围内的数据如下
35 30 40 38 30 32 36 40 35 30 42 42
结合以上信息回答下列问题：
（1）统计图表中的___________，__________，__________；
（2）阅读时间在范围内的数据的众数是___________分钟，调查的50名居民每天阅读时间的中位数是___________分钟；
（3）若该社区共有6000名居民，根据调查结果，估计该社区每天阅读时间不少于30分钟的居民人数．
21．如图，在下列正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请在指定网格中仅用无刻度直尺画图．
（1）在图（1）中画图：①画边上的中线；②在边上画点P，使；
（2）在图（2）中画图：①画边上的高；②在边上画点Q，使．
22．某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多15元，用200元购买款保温杯的数量与用275元购买款保温杯的数量相同．
（1）、两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，、两款保温杯很快售完，超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为30元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
23．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标；
（3）已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值．
24． 如图， 已知在 中， ，延长边 至点 ， 使 ， 连结 ．
（1）求 的正切值．
（2） 取边 的中点 ， 连结 并延长交边 于点 ， 求 的值．
25．已知抛物线（是常数）与轴交于两点，在的左侧．
（1）若抛物线的对称轴为直线（如图1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，是抛物线上的两点，点是轴上的一动点，连接，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）已知代数式，记抛物线位于轴下方的图象为，抛物线位于轴上方的图象为，将沿轴翻折得图象与组合成的新图象记为，当直线与图象有两个交点时，结合图象求的取值范围．
26．如图，在中，是的中线，点E在上，点F在的延长线上，与交于点O，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：
答案解析部分
1．A
解：∵ 5＜ 3＜0＜2，
∴所给的各数中，最小的数是 5．
故答案为：A．
利用有理数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．C
解：A、此图形是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C符合题意；
D、此图形是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断。
3．D
解：将点（-3，2）代入可得
k=-3×2=-6
∴反比例函数
A：当x=-2时，y=3，错误，不符合题意；
B：当x=3时，y=-2，错误，不符合题意；
C：当时，y=-12，错误，不符合题意；
D：当时，y=-12，正确，符合题意.
故答案为：D
根据待定系数法将点（-3，2）代入函数解析式可得反比例函数，再将各选顶点的坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
4．C
5．D
解：，
相似比为，
，
；
故答案为：D．
利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出即可.
6．B
解：根据题意得：第1个图案的棋子个数为 ；
第2个图案的棋子个数为 ；
第3个图案的棋子个数为 ；
第4个图案的棋子个数为 ；
……
由此发现，第 个图案的棋子个数为，
∴第9个图案需要的棋子个数为．
故选：B.
本题主要考查了图形累的规律题，分别求得第1个图案的棋子个数为 ；第2个图案的棋子个数为 ；第3个图案的棋子个数为 ；第4个图案的棋子个数为 ；……由此发现，第 个图案的棋子个数为，即可求解．
7．C
8．B
9．A
解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
先根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质即可判断①；先根据正方形的性质得到，，，进而根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断②；结合题意运用角平分线的性质得到，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）得到，从而即可判断③；根据三角形全等的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意代入化简即可判定④.
10．D
解：；
；
；
，
，
，
，
原式．
故选：D．
分析式子猜想规律，利用规律计算解答即可．
11．-2
12．
解：∵正六边形的外角和为
∴每一个外角的度数为
∴正六边形的每个内角为
设这个圆锥底面圆的半径是，
根据题意得，
解得：
∴这个圆锥高
故答案为：
先根据多边形的外交求出内角的度数，进而根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长即可求解。
13．
14．
根据题意可得，
，
故答案为： .
根据题意找出等量关系式，列出方程即可.
15．
解：如图，
要想落在上，应为与平行的线，且到的距离相等，，
∴
∵
∴，
设则，，
∴，，
∴，
整理得，
解得，，
∴，
故答案为：．
根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，设设则，，根据全等三角形性质建立方程，解方程可得x值，再根据余弦定义即可求出答案.
16．4
解：，
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：a≤6；
∵关于y的分式方程 有自然数解，
∴a-1-4=2（y-2），
解得：，
即且，
解得：a≥1且a≠5，
∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5，a为整数，
∴a可以取：1，2，3，4，6，
当a=1时，，是自然数，符合要求；
当a=2时，，不是自然数，不符合要求；
当a=3时，，是自然数，符合要求；
当a=4时，，不是自然数，不符合要求；
当a=6时，，不是自然数，不符合要求；
∴1+3=4．
故答案为：4.
先求出不等式组的解，结合题意确定a的取值范围为a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，根据分式方程有自然数解，结合题意确定出a的值，相加即可得到答案.
17．①②③
解：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD.
∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB，故①正确.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°.
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB.
∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，故②正确.
∵∠CPB=∠APC，∠PCB=∠PAC，
∴△CPB∽△APC，
∴PC2=PB·PA，
∴PF2=PB·PA，故③正确.
连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=BE.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形.
∵BE=，
∴AB=14.
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴.
∵tan∠ABC=，
∴.
设PC=4k，PB=3k，则PO=3k+7，OC=7.
∵PC2+OC2=OP2，
∴(4k)2+72=(3k+7)2，
解得k=6，
∴PC=4k=24，故④错误.
故答案为：①②③.
根据切线的性质可得OC⊥PD，则OC∥AD，由平行线的性质可得∠ACO=∠DAC，根据等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAO，则∠DAC=∠CAO，据此判断①；由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据同角的余角相等可得∠DAC=∠PCB，由角平分线的概念可得∠DAC=∠CAO，∠ACF=∠BCF，则∠CAO=∠PCB，据此判断②；由两角对应相等的两个三角形相似可得△CPB∽△APC，根据相似三角形的性质可判断③；连接AE，易得△AEB为等腰直角三角形，则AB=14，由两角对应相等的两个三角形相似可得△PAC∽△PCB，利用相似三角形的性质以及三角函数的概念可得，设PC=4k，PB=3k，则PO=3k+7，OC=7，然后利用勾股定理即可判断④.
18．
19．解：原式
.
利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则展开后，合并同类项即可.
20．（1）10，15，24
（2）30，41
（3）4200
21．（1）解：①如图所求，线段为边上的中线；
②点P即为所求，使；
（2）解：如图，为边上的高；
②如图，
（1）①根据方格纸的特点及矩形的对角线互相平分，找到以AB为一条对角线，AC、BC为矩形的一组邻边的矩形的第四个顶点T，连接CT交AB于点D，则CD就是AB边上的中线；
②利用方格纸的特点、等腰三角形的三线合一及对顶角相等，找到点B关于AC的对称点K，连接DK交AC于点P，该点就是所求的满足∠APD=∠BPC得点P；
（2）①根据全等三角形的对应角相等及直角三角形的量锐角互余，取点B左侧一个单位长度处的点H，点H上方三个单位长度处的格点G，连接CG，交AB于点E，则CE就是△ABC中AB边上的高；
②取点C上方一个单位长度处的点D，再取点A左边四个单位长度处的点F，连接FD，交AB于点Q，则点Q就是所求的满足AQ=CE得点.
22．（1）解：设款保温杯的单价是元，则款保温杯的单价是元，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
答：A、B两款保温杯的销售单价分别是40元、55元；
（2）设购买款保温杯个，则购买款保温杯（1个，利润为元，
，
款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，
解得，，
当时，取得最大值，此时-
答：当购买款保温杯80个，款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1360人.
（1）设款保温杯的单价是元，则款保温杯的单价是元，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买款保温杯个，则购买款保温杯（1个，利润为元，则总利润，根据题意列出不等式，解不等式即可求出答案.
23．（1），
（2）或
（3）或
24．（1）解：过点C作 CG⊥AB，垂足为G，如图所示，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACG=∠ABC．
在△ABC中，sin∠ABC=．
设AC=3x，则AB=5x，BC=4x．
∴sin∠ACG==sin ∠ABC，
∴AG=，CG=，
∴．
在Rt△DCG中，
（2）解：过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，如图所示，
∵CH∥DB，
∴∠H=∠DBF，∠HCD=∠CDB，
∴△CHF∽△DBF．
又E是AC的中点，
AE=CE，
∴△CHE≌△ABE（AAS），
由 得，
．
（1）过点C作 CG⊥AB，解直角三角形ACG和DCG即可；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，证△CHF∽△DBF和△CHE≌△ABE，根据相似三角形和全等三角形的性质求解即可。
25．（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得．
抛物线的解析式为：．
（2）解：当时，，解得，
当时，，
如图，设点关于轴的对称点为，则，连接，作直线．
设直线的解析式为，则，解得，
直线的解析式为：．
在中，当点位于直线与轴交点位置时，的周长最小．
直线与轴交点即为所求的点，其坐标为．
（3）解：．
根据题意可知，当点在直线上时，，此时与图象有无交点，如图2（1），随着的增大，图象与直线有两个交点，如图2．
当过点，图象与直线有两个交点，如图2（3），此时．∴当时，图象与有两个交点．
当继续增大，图象与有四个交点，当与图象相切，如图2（4），由对称可知，图象T3所对应的解析式为：．
令，整理得，令，即解得
当继续增大时，图象与直线有两个交点，符合题意．
综上：或．
当随的增大而减小，当随的增大而增大．
当的最小值为－4；当时，的值为5；
当时，的值为－3；当时，的值为．
由二次函数的性质可知，的取值范围为：或．
（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，再写出抛物线的解析式；
（2）先求出点C，D的坐标，点C关于y轴的对称点为的坐标，连接，作直线．求出直线的解析式，利用两点之间，线段最短，可得当点P位于直线CD与y轴交点位置时，的周长最小，即可求解，据此求解；
（3）先用含m的代数式表示点A和点B的坐标，分三种情况：点B在直线y=x+1上，点A在直线y=x+1上，画图分析，根据函数的性质求解即可。
26．（1）证明：连接，
是的中线，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，，
，
，
，
，
在中
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
（1）连接BE，先证明∠BAD＝∠CAE，再证△ABE≌△ACE，从而可得BE＝CE＝EF，∠ABE＝∠ACE＝∠AFE，再结合三角形内角和定理得出结论。
（2） 在AB上截取AG＝AE，连接EG，BE， 先证∠CAF＝60°＝∠BAD，△AEG是等边三角形，再证明△BGE和△FAE全等，得BG＝AF，从而推导出结论。

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