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2025 年 深 圳 市 中 考 一 模 押 题 卷
数 学
说明：1 ．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定 的位置上，并将条形码粘贴好。
2 ．全卷共 6 页。考试时间 90 分钟，满分 100 分。
3 ．作答选择题 1－8，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的 信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题 9 -
20 ，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内。写在 本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4 ．考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a2 2a3＝6a5 B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x2+x2＝x4
4．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，BC平分，，则∠B的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．在内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到的距离等于P到的距离．下列尺规作图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图， 是平角， 比 的 2 倍多 10 度． 设 和 的度数分别为，则下列选项中的方程组正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
8．如图， 在离铁塔 150 米的 处， 用测倾仪测得塔顶的仰角为 ， 测倾仪高 为 1.5米，则铁塔的高 为(　　)
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
二、填空题（本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分)
9．已知6是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，则菱形的周长为　 　．
10．古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为，即可求得．小明用此几何法解关于x的方程，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则　 　，　 　．
11．图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图， 时钟数字 2 的刻度在矩形 的对角线 上， 时钟中心在矩形 对角线的交点 上， 若 ， 则 的长为 　 　． (结果保留根号)
12．如图，在中，.反比例函数 ）的图象分别过A，B两点.若 ，则k的值是　 　 。
13．如图，在Rt和Rt中，，连结BD，CE，延长CE交BD于点.
①若，则CE的长为　 　.
②　 　.
三、解答题（本题共 7 小题, 其中第 14 题 5 分, 第 15 题 7 分, 第 16 题 8 分, 第 17 题 8 分, 第 18 题 9 分, 第 19 题 12 分, 第 20 题 12 分, 共 61 分)
14．计算：
15．先化简，再求值：，其中．
16．6 月 26 日是 “国际禁毒日”， 某中学组织七、八年级全体学生开展了禁毒知识网上竞赛活动． 为了解竞赛情况， 从两个年级中各随机抽取了 10 名同学的成绩 (满分为 100 分)．收集数据：
七年级 90 95 95 80 90 80 85 90 85 100
八年级 85 85 95 80 95 90 90 90 100 90
整理数据：
分数 80 85 90 95 100
七年级 2 2 3 2 1
八年级 1 2 4 1
分析数据：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 90 39
八年级 90 30
根据以上信息回答下列问题：
（1） 请直接写出表格中 的值．
（2）通过数据分析， 你认为哪个年级学生的成绩比较好？ 请说明理由．
（3）该校七、八年级共有 600 人，本次竞赛成绩不低于 90 分的为“优秀”． 估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”．
17．[问题情景]
我们观看各种激烈的体育比赛时，总是对结果充满了期待，那么你能利用所学的知识预测比赛结果吗？例如：中国男子篮球队所在小组有六支球队，小组前4名出线，那么中国队要想小组出线，至少应该取得几场胜利？在现实生活中，有许多这样的比赛，那么怎样分析比赛呢？
[ 探索研究 ]
请研究如下问题：某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争夺一个出线权，火炬队目前的战绩是17胜13负（其中有1场以4分之差负于月亮队），后面还要比赛6场（其中包括再与月亮队比赛1场）；月亮队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场．
（1）为确保出线，火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场？
（2）如果火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，那么它在后面的其他比赛中至少胜几场就一定能出线？
（3）如果月亮队在后面的比赛中3胜（包括胜火炬队1场）2负，那么火炬队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？
（4）如果火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么月亮队在后面的比赛中的战果如何？
18．如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．
（1）求的半径；
（2）求的正切值．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计抛物线型拱桥的广告牌？
素材1 某文化园搭建一座抛物线型拱桥．如图①，桥在路面的跨度的宽为，桥拱最高处距离路面的距离． 图①
素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩． 图②
素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，现要在桥拱下方，横杆的上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
图③
问题解决
任务1 确定桥拱形状 如图①，以A的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
任务2 确定桥墩位置 求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）；
任务3 拟定设计方案 给出一种广告牌的设计方案，并根据建立的坐标系，求出矩形广告牌右上方顶点的坐标．
20．如图
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP.
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM=MP；
（2）∠CAP的大小为　 　，线段MN长度的最小值为　 　
（3）【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC-CD-2米，∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.
求钢丝绳MN长度的最小值为多少米，
答案解析部分
1．D
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断得出答案.
2．A
3．A
4．A
解：由题意可得：
第一次正面向上的概率为
第二次正面向上的概率为
∴两次正面都朝上的概率为
故答案为：A
根据简单事件的概率计算即可求出答案.
5．B
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵BC平分，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，根据，利用平行线的性质，得到，，求得的度数，再由BC平分，求出的度数，结合，即可得出答案．
6．D
7．B
解：设 和 的度数分别为x，y，
根据题意可得：，
故答案为：B.
设 和 的度数分别为x，y，根据“ 是平角， 比 的 2 倍多 10 度 ”列出方程组即可.
8．A
解：过A作AE⊥BC，垂足为E
依题意可知，在Rt△AEB中，AE=150，∠BAE=，得：
BE=AE·tanα
=150tanα
又∵EC=AD=1.5
∴BC=EC+BE
=1.5+150tanα
∴故答案为：A.
过A作AE⊥BC，垂足为E，由正切的定义可得BE=AE·tanα，再由BC=EC+BE可求解.
9．20
10．；
11．
解：过O点作OE⊥CD， OF⊥AD， 垂足分别为E， F，由题意知∠FOD=2∠DOE，
∵∠FOD+∠DOE=90°，
∴∠DOE=30°， ∠FOD=60°，
在矩形ABCD中， ∠C=90°， CD=AB=30cm
∴OE∥BC，
∴∠DBC=∠DOE=30°，
故答案为：
由题可知∠FOD=2∠DOE，即可得到∠DOE=30°，由矩形的性质可得∠DBC =30°，利用含30°角的直角三角形的性质解题即可.
12．
解：如图，过点A作轴，过点B作轴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的图象位于第二象限，
，
，
故答案为：．
如图，过点A作轴，过点B作轴，然后结合相似三角形的性质，锐角三角函数，以及k的几何意义，即可求解。
13．4；
解：①∵，
∴△ADE∽△ABC.
∴∠DAE=∠BAC，.
∴∠DAB=∠EAC，，
∴△DAB∽△EAC
∴.
∵BD=3，
∴EC=4.
故答案为：4.
②∵△DAB∽△EAC，
∴∠ABD=∠ACE.
记AB，CF相交于点G，如图：
∵∠BGC是△BFG的外角，
∴∠BFC=∠BGC－∠ABD=∠BGC－∠ACE=∠BAC.
∵，
∴.
∴故答案为：.
（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得∠DAE=∠BAC，.变形得∠DAB=∠EAC，，根据相似三角形的判定定理得△DAB∽△EAC，再利用性质定理即可得到结论.
（2）利用三角形外角性质证明∠BFC=∠BAC，则有，结合即可得到答案.
14．解：原式
=8
先计算零指数幂，负整数指数幂，取绝对值，求特殊角的三角函数值，再进行实数的加减运算即可.
15．解：原式；
∵，
∴原式．
将除法改成乘法同时因式分解，化简后求出a的值，代入原式即得结果.
16．（1）2，90，90，90.
（2）解：七、八年级学生成绩的中位数和众数相同
但八年级的平均成绩比七年级高
且从方差看，
∴八年级学生成绩更整齐
∴八年级学生的成绩比较好
（3）解：
答：该校七、八年级这次竞赛达到“优秀”的约有390人
解：（1）∵八年级95的频数为2
∴a=2
∵七年级的数据第5位、6位分别是90，90
∴七年级的中位数是90
∴b=90
∵=90
∴c=90
∵八年级90分出现4次，次数最多
∴八年级的众数为90
即d=90
（1）根据频数：数据出现的次数，再根据众数：一组数据中出现最多的数据；中位数：将一组数据从小到大（从大到小）排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数，如果数据为偶数，则称中间两个数的平均数为中位数；以及加权平均数=可得结果；
（2）根据平均数越大可分析成绩整体越好，再根据方差越小数据越稳定可分析八年级整体成绩更好更稳定；
（3）根据“优秀”所占百分比可估计全校优秀人数.
17．（1）4场
（2）2场
（3）2场
（4）可能是5胜0负，可能是4胜1负（胜火炬队比赛），4胜1负（负火炬队少于3分）
18．（1）解：如图，延长，交于点，连接，
由圆周角定理得：，
弦的长为8，且，
，
解得，
的半径为．
（2）解：如图，过点作于点，
的半径为5，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
则的正切值为．
（1）根据题意先求出 ， 再求出BD=10，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出BC的值，再利用锐角三角函数求出BE=6，最后利用勾股定理计算求解即可。
19．解：任务1：如图，以的中点为原点，建立平面直角坐标系，
则桥拱最高点的坐标为，
∵，
∴，
∴．
设抛物线的解析式为，
则，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
任务2：令，则，解得，．
∴两个桥墩之间的距离是．
任务3：∵矩形广告牌的面积为，且长、宽均为整数，
∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）：
①；②；③；④；⑤；⑥．
∵拱桥的最高点到的距离，
∴方案①，②，③不符合题意．
∵，
∴方案⑥不符合题意．
方案④：当时，．
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为．
∵，
∴方案④可以满足要求．
此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是．
方案⑤：
当时，．
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为．
∵，
∴方案⑤可以满足要求．
此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是．
综上所述，共有两种设计方案：
方案一：矩形广告牌的长为，宽为，右上方顶点的坐标是；
方案二：矩形广告牌的长为，宽为，右上方顶点的坐标是．
任务1：以的中点为原点，建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
任务2：将y=4代入函数解析式，再求出x的值即可；
任务3： 根据矩形的长、宽均为整数，矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）：①；②；③；④；⑤；⑥，逐个分析得出方案④⑤可以满足要求，进而得出矩形广告牌右上方顶点的坐标，再求解即可.
20．（1）证明：∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形 CPMN 是平行四边形
∴MP＝NC，
又∵AM＝CN，
∴AM＝MP．
（2）30°；
（3）解：过 M、D 作 ED、MN 的平行线，交于点 P，作射线 AP，连接 AD ，如图所示：
则四边形 MNDP 是平行四边形，
∴MN＝DP，MP=DN
∵AM=DN
∴AM=MP
∵∠ACB＝30°
∴∠PMC＝∠ACB＝30°， ∠PAM＝∠APM＝15°，
∵四边形 BCDE 是矩形
∴∠BCD＝90°，∠ACD＝120°
∵AC=CD
∴∠CAD＝30°，
∴∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°，
∴当 DP ⊥ AP 时， DP 最小，此时MN 最小，
作CR ⊥ AD 于点 R，
在 Rt△ACR 中， AC = 2， ∠CAR = 30°，
在 Rt 中，
线段MN长度的最小值为 米.
解：（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
故答案为：30°；
（1）先根据平行四边形的判定与性质得到MP＝NC，进而等量代换即可求解；
（2）先根据等边三角形的性质得到，从而根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，根据垂线段最短得到当时，最小，此时最小，进而根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解；
（3）过 M、D 作 ED、MN 的平行线，交于点 P，作射线 AP，连接 AD ，则四边形 MNDP 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到MN＝DP，MP=DN ，进而结合题意根据等腰三角形的性质等量代换得到∠PMC＝∠ACB＝30°， ∠PAM＝∠APM＝15°，再根据矩形的性质得到∠BCD＝90°，∠ACD＝120° ，从而得到∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°，即当 DP ⊥ AP 时， DP 最小，此时MN 最小作CR ⊥ AD 于点 R， 根据含30°角的直角三角形的性质得到CR，从而得到根据勾股定理结合题意得到AR，则AD=2AR，最后结合等腰直角三角形的性质即可求出MN长度的最小值。

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