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第五章 圆
10 圆锥的侧面积
列清单·划重点
知识点1 圆锥的有关概念
如图所示,以 Rt△VOA 的直角边 VO所在的直线为轴旋转一周后，形成的立体图形叫做圆锥.
线段 OA 旋转后形成的圆面叫做圆锥的底面；
直线 VO 叫做圆锥的轴；
线段VO 的长叫做圆锥的高；
线段 VA 旋转后形成的曲面叫做圆锥的侧面；
点V 叫做圆锥的顶点.
在圆锥的底面圆周上任取一点A，连接点 A 和圆锥的顶点 V，所得到的线段 VA叫做圆锥的一条 .
知识点2 圆锥的有关计算公式
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ，圆锥的侧面积：
圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即
注意
(1)圆锥有无数条母线，母线长都相等.(2)母线长=侧面展开图的扇形半径.(3)底面周长=侧面展开图的扇形弧长.
明考点·识方法
考点1 与圆锥侧面积有关的计算问题
典例1 如图,为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm ，母线长为 12 cm 的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm (结果用含π的式子表示).
思路导析 本题考查了圆锥侧面积的计算，底面半径r=5cm ,母线长=12 cm,代入、 计算即可.
变式 如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
考点2 圆锥侧面展开图中圆心角的相关计算
典例 2 圆锥的高为2，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图(扇形)的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 (结果用含π的式子表示).
思路导析 根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥侧面展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解.
规律总结
(1)设侧面展开图的圆心角的度数为 n°，则根据底面圆的周长=侧面展开图中扇形的弧长，可得 化简得 或 若母线长是底面圆半径的a倍，则侧面展开图的圆心角为
(2)圆锥的高h，底面半径r及母线 组成一个直角三角形，利用勾股定理可得到
变式 用一个圆心角为90°，半径为8 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
考点3 与圆锥有关的最短路径问题
典例3 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线 AB 长为30cm.为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点 A 处开始，绕侧面一周又回到点 A 的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是 ( )
思路导析 将圆锥侧面展开，化曲为直，利用“两点之间线段最短”求解.
注意
将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，联系空间元素与平面元素之间的关系.
变式 如图是一个底面直径为10，母线OE长也为10的圆锥，A是母线OF 上的一点，FA=2，则圆锥的侧面积是 ，从点 E 沿圆锥侧面到点A 的最短路径长是
当堂测·夯基础
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何 ”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图)，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为 ( )
A. 平方尺 平方尺 平方尺 D.45π平方尺
2.将矩形纸片ABCD接如图所示进行裁剪，所裁剪出的扇形与圆刚好能够做成一个圆锥.若BC=9 cm,则AB的长为 ( )
A. 5cm B.5. 5cm C.6 cm D.7 cm
3.如图，已知圆锥的母线与高的夹角为30°，则圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为 ( )
A.90° B.120° C.180° D.210°
4.如图，从一个半径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为 的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m.
5.如图所示，已知圆锥底面半径 母线长为20 cm.
(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从 A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点 B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少
6.如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为3m 、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷(侧面与底面)需要多少平方米的材料 (结果保留π)
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 母线
知识点2
【明考点·识方法】
典例1 60π
变式 A
典例2 120 3π
解析：根据勾股定理可得圆锥底面半径
∴该圆锥底面周长=2π，
∵圆锥母线长为3，∴该圆锥的侧面展开图的半径为3，
解得n=120,即展开图(扇形)的圆心角是120度，
圆锥的侧面积
变式 C
典例3 B 解析：∵圆锥的底面圆周长为20πcm,
∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm,
设扇形的圆心角为n度，解得 n=120,
过点 B作BC⊥AA'于点C,
∴这条彩带的最短长度是30 cm.
变式
【当堂测·夯基础】
1. A
2. C 解析:如图,
设圆锥的底面的半径为r cm，则 DE=2rcm,AE=AB=(9-2r) cm,
根据题意得解得
所以
3. C 4.
5.解：(1)设它的侧面展开图的圆心角为n°，根据圆锥的底面周长就是侧面展开图(扇形)的弧长得
又 解得
∴它的侧面展开图的圆心角是
(2)根据侧面展开图的圆心角是 画出侧面展开图如图，
根据两点之间，线段最短可知 AB 为最短路径，
B 为 的中点，
由(1)知
∴它所走的最短路线长是
6.解：由题意得帐篷的侧面需要的材料为
设帐篷的底面半径为r，则 解得
∴帐篷的底面需要的材料为
∴制作这顶帐篷(侧面与底面)需要的材料为
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