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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第六章　圆
专题十三　与切线有关的常见模型
模型一　角平分线模型
如图，AB是⊙O的直径，AC⊥EC于点C，BE⊥EC于点E，EC是⊙O的切线．
【常见辅助线】连接OD，过点O作OG⊥AC于点G，构造矩形．
【常见结论与方法】①AD平分∠BAC；②BD＝DF，ED＝DC；
③△ADC∽△ABD(AD2＝AC·AB)；
④△FDC∽△DAC(DC2＝CF·CA)；
⑤△BED∽△DCA(ED2＝BE·AC＝EC2).
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.
(1)求证：BD⊥AD；
(2)若AC＝6，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OB.
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD.
∵B是的中点，
∴＝，
∴∠CAB＝∠EAB.
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠EAB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，∴BD⊥AD.
(2)解：连接EC.
∵∠AEC＝∠ABC，
∴tan ∠AEC＝tan ∠ABC＝.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，∴＝.
∵AC＝6，∴EC＝8，
∴AE＝＝10，
∴⊙O的半径为5.
模型二　等腰三角形模型(腰是直径)
如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，DE⊥AC于点E，BF⊥CF于点F.
【常见辅助线】连接AD，在Rt△ADC中，DE是斜边上的高，可构造双垂直模型，连接OD，反向延长交BF于点G，则四边形GDEF为矩形．
【常见结论与方法】①由等腰三角形的“三线合一”得BD＝CD；②由中位线定理得OD∥AC，从而得到OD⊥DE，证得DE是⊙O的切线；③由BF⊥CF，DE⊥CF可得DE∥BF，又因为D为BC的中点，所以DE綊BF.
2．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB的延长线于点F，垂足为E.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若BE＝3，cos C＝，求FB的长．
(1)证明：连接BD，OD.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
∵AB＝BC，∴AD＝CD.
又∵OB＝OC，∴OD∥AB.
∵DF⊥AB，∴DF⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．
(2)解：∵在Rt△BCD中，cos C＝＝，∴可设CD＝4x，则BC＝5x，∴BD＝＝3x.
∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE＝∠CBD.
∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴BC＝5x＝，∴OD＝BC＝.
由(1)知OD∥BE，∴△FEB∽△FDO，
∴＝，即＝，解得FB＝.
模型三　弦切角模型(切割线模型)
如图，PA切⊙O于点A，直线PO与⊙O交于点B，C.
【常见结论与方法】①∠PAB＝∠C；②△PAB∽△PCA；③若已知PA，PB，PC，BC，AB，AC中任意两个量可求出其余量，常用∠PAB＝∠C转换角度，利用tan C＝ 同时是△PAB与△PCA的相似比来转化．
3．如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tan ∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB.
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC＋∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD.
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠A＝∠BED，
∴tan A＝tan ∠BED＝，
∴＝.
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠A，
∴△BDC∽△DAC，
∴＝＝＝.
∵AC＝9，
∴CD＝6，
∴BC＝4，
∴AB＝AC－BC＝5，
∴⊙O的半径为.
模型四　直角三角形模型
如图，已知BC是⊙O的直径，AC⊥BC，DE切⊙O于点D，交AC于点E.
【常见结论与方法】①连接OE，OD，CD，则得EA＝EC＝ED；②OE綊AB；③由CD⊥AB得双垂直模型，CD＝，CD2＝AD·DB，AC2＝AD·AB，CB2＝DB·AB.
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
解：(1)直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接DO.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD.
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切．
(2)由(1)，得∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，∴DE＝BC，
∴BC＝5，
∴BD＝＝＝4.
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，∴＝，
∴＝，∴AC＝，
∴⊙O的直径为.
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第六章　圆
专题十三　与切线有关的常见模型
模型一　角平分线模型
如图，AB是⊙O的直径，AC⊥EC于点C，BE⊥EC于点E，EC是⊙O的切线．
【常见辅助线】连接OD，过点O作OG⊥AC于点G，构造矩形．
【常见结论与方法】①AD平分∠BAC；②BD＝DF，ED＝DC；
③△ADC∽△ABD(AD2＝AC·AB)；
④△FDC∽△DAC(DC2＝CF·CA)；
⑤△BED∽△DCA(ED2＝BE·AC＝EC2).
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.
(1)求证：BD⊥AD；
(2)若AC＝6，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OB.
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD.
∵B是的中点，
∴＝，
∴∠CAB＝∠EAB.
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠EAB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，∴BD⊥AD.
(2)解：连接EC.
∵∠AEC＝∠ABC，
∴tan ∠AEC＝tan ∠ABC＝.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，∴＝.
∵AC＝6，∴EC＝8，
∴AE＝＝10，
∴⊙O的半径为5.
模型二　等腰三角形模型(腰是直径)
如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，DE⊥AC于点E，BF⊥CF于点F.
【常见辅助线】连接AD，在Rt△ADC中，DE是斜边上的高，可构造双垂直模型，连接OD，反向延长交BF于点G，则四边形GDEF为矩形．
【常见结论与方法】①由等腰三角形的“三线合一”得BD＝CD；②由中位线定理得OD∥AC，从而得到OD⊥DE，证得DE是⊙O的切线；③由BF⊥CF，DE⊥CF可得DE∥BF，又因为D为BC的中点，所以DE綊BF.
2．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB的延长线于点F，垂足为E.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若BE＝3，cos C＝，求FB的长．
(1)证明：连接BD，OD.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
∵AB＝BC，∴AD＝CD.
又∵OB＝OC，∴OD∥AB.
∵DF⊥AB，∴DF⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．
(2)解：∵在Rt△BCD中，cos C＝＝，∴可设CD＝4x，则BC＝5x，∴BD＝＝3x.
∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE＝∠CBD.
∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴BC＝5x＝，∴OD＝BC＝.
由(1)知OD∥BE，∴△FEB∽△FDO，
∴＝，即＝，解得FB＝.
模型三　弦切角模型(切割线模型)
如图，PA切⊙O于点A，直线PO与⊙O交于点B，C.
【常见结论与方法】①∠PAB＝∠C；②△PAB∽△PCA；③若已知PA，PB，PC，BC，AB，AC中任意两个量可求出其余量，常用∠PAB＝∠C转换角度，利用tan C＝ 同时是△PAB与△PCA的相似比来转化．
3．如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tan ∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB.
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC＋∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD.
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠A＝∠BED，
∴tan A＝tan ∠BED＝，
∴＝.
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠A，
∴△BDC∽△DAC，
∴＝＝＝.
∵AC＝9，
∴CD＝6，
∴BC＝4，
∴AB＝AC－BC＝5，
∴⊙O的半径为.
模型四　直角三角形模型
如图，已知BC是⊙O的直径，AC⊥BC，DE切⊙O于点D，交AC于点E.
【常见结论与方法】①连接OE，OD，CD，则得EA＝EC＝ED；②OE綊AB；③由CD⊥AB得双垂直模型，CD＝，CD2＝AD·DB，AC2＝AD·AB，CB2＝DB·AB.
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
解：(1)直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接DO.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD.
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切．
(2)由(1)，得∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，∴DE＝BC，
∴BC＝5，
∴BD＝＝＝4.
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，∴＝，
∴＝，∴AC＝，
∴⊙O的直径为.
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