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2025年中考数学二轮复习专题：二次函数含参数最值问题分类讨论
1．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
2．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
6．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝　 　；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
8．已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上．
（1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b+的值；
（2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a++＝0，2a2﹣2（y3+y4）a++＝0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）．
9．已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2　 　x3+x4；②x1﹣x3　 　x2﹣x4；③x2+x3　 　x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．
10．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
11．已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
12．我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
13．在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
15．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
16．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
17．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
18．若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
20．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．
21．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
参考答案及解析和点评
1．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
2．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x＝﹣＝﹣，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x+）2+，可得当x＝﹣时，y取最小值，最小值为，再根据n＜﹣、﹣≤n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣．
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2+x+c．
又图象经过点A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．
∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），
∴平移后的点为（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
（3）由题意，当 时，
∴最大值与最小值的差为．
∴，不符合题意，舍去．
当﹣≤n≤1 时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意．
当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为﹣≤n≤1．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当﹣1≤x≤t时，x＝﹣1时，y取得最小值，则x＝t时，y取得最大值，即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，点B（0，3），如图，B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，存在点E在点B上方和下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由题意得﹣1≤x≤t，
当﹣1＜t＜1时，则﹣1≤x≤t，
x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值，
则x＝t时，2t﹣1＝﹣t2+2t+3，
解得：t＝﹣2或2，均不符合题意；
当1≤t＜3时，
则抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为：（1，4），
即2t﹣1＝4，
解得：t＝2.5；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点B（0，3），
①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE′，
则BD＝CD，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3），
则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，BD＝x，BC＝，
∴﹣x2+3x＝x，
解得：x＝3﹣或x＝0（舍去），
则BD＝x＝3﹣2，
即菱形的边长为：3﹣2．
②当BD为菱形的对角线时对应菱形为菱形BCDE，
则CD＝BC，
∴﹣x2+3x＝，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
则CD＝﹣x2+3x＝﹣22+3×2＝2，
即菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为：3﹣2或2．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
【分析】（1）求出抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求出b的值；
（2）先求出h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，（i）列方程即可求出h的值；（ii）求出h关于t的方程，配顶点式求出h最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1，
∴，
∴b＝4；
（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，
∴，
∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴，
t），
∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
（i）∵h＝3t，
∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴t（t+2x1）＝t+2x1，
∵x1≥0，t＞0，
∴t+2x1＞0，
∴t＝1，
∴h＝3；
（ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴h＝﹣3t2+8t﹣2，
，
∵﹣3＜0，
∴当，即时，h取最大值．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，掌握二次函数性质是解题的关键．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）利用作差法建立关于x2和a的不等式，因为a不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可．
【解答】解：（1）将a＝1代入得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）方法一：由题得，y1＝a （3a）2﹣2a2 3a＝3a3，
y2＝﹣2a2x2，
∵y1＜y2，
∴y2﹣y1＝a（﹣2ax2﹣3a2）＝a（x2﹣3a）（x2+a）＞0，
①当a＞0时，（x2﹣3a）（x2+a）＞0，
∴或，
解得x2＞3a或x2＜﹣a，
∵3≤x2≤4，
∴3a＜3或﹣a＞4，
∴a＜1或a＜﹣4，
∵a＞0，
∴0＜a＜1；
②当a＜0时，（x2﹣3a）（x2+a）＜0，
∴或，
解得3a＜x2＜﹣a，
∵3≤x2≤4，
∴，解得a＜﹣4，
综上，0＜a＜1或a＜﹣4．
方法二：①当a＞0时，
M（x1，y1）和N（x2，y2）都在对称轴右侧，
此时y随x增大而增大，
∵y1＜y2，
∴x1＜x2，
∴3a＜3，
∴0＜a＜1；
②当a＜0时，
M（x1，y1）在对称轴左侧，N（x2，y2）在对称轴右侧，
点M（3a，y1）关于对称轴的对称点（﹣a，y1）在对称轴右侧，
在对称轴右侧，y随x增大而减小，
∵y1＜y2，
∴﹣a＞4，
∴a＜﹣4，
综上，0＜a＜1或a＜﹣4．
【点评】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键．
6．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求得m的值，即可求得解析式，然后把解析式核查顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）依据题意，求得抛物线的对称轴为直线x＝2m，根据题意当x＝2m﹣3时，y＝4，代入解析式求解即可；
（3）依据题意，抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，从而或，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1经过点（4，3），
∴16﹣16m+2m+1＝3，
解得m＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵y＝x2﹣4mx+2m+1＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，
∵当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，
∴当x＝2m﹣3时，y＝4，
∴（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，
整理得：2m2﹣m﹣3＝0，
∴m＝或m＝﹣1，
故m的值为或﹣1；
（3）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，
∴或．
∴m＞1或m＜﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝　3　；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
【分析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，即可求解；
（2）①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，即可求解；
②当点P在x轴上方时，由∠DPQ＝∠ACO，得到直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，则点Q（0，﹣m2﹣m+3），即可求解；当点P在x轴下方时，
同理可可解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3，
即OC＝3，
故答案为：3；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝1+（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上，点P的横坐标为：1或1.5或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上．
（1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b+的值；
（2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a++＝0，2a2﹣2（y3+y4）a++＝0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）．
【分析】（1）将A、B代入得到关于a、b的关系式，再整体代入求解即可；
（2）令a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0求解，再根据a的正负分类讨论即可；
（3）由内角之比可得出这是一个30°、60°的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得，
②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2．
∴．
（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个．
方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
得（a+2y1）（a+2y2）＝0，
∴，，
①当a＞0时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，
∴此时该函数图象与x轴有两个公共点；
②当a＜0时，，此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，
∴此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．
方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
得（a+2y1）（a+2y2）＝0，
∴，，
∴抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解．
∴该方程根的判别式，即b2﹣4ac≥2a2．
∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0．
∴原函数图象与x轴必有两个公共点．
方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
可得或．
①当时，有，即，
∴．
此时该函数图象与x轴有两个公共点．
②当时，同理可得△＞0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点．
（3）因为a＞0，所以该函数图象开口向上．
∵，
∴，
∴y1＝y2＝﹣a．
∵，
∴，
∴y3＝y4＝a，
∴直线AB，CD均与x轴平行．
由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，
设E（x5，0），F（x6，0）．
由图象可知，即b2﹣4ac＞4a2，
∴ax2+bx+c＝﹣a的两根为x1、x2，
∴，
同理ax2+bx+c＝a的两根为x3、x4，可得，
同理ax2+bx+c＝0的两根为x5、x6，可得，
由于m＞1，结合图象与计算可得AB＜EF＜m EF，AB＜CD．
若存在实数m（m＞1），使得AB，CD，m EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为 30°、60° 的直角三角形，
∴线段AB不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，
∵m EF＞AB，
∴必须同时满足：AB2+（m EF）2＝CD2，．
将上述各式代入化简可得，且，
联立解之得，，
解得，符合要求．
∴，此时该函数的最小值为．
②当以线段m EF为斜边时，必有AB2+CD2＝（m EF）2，
同理代入化简可得2（b2﹣4ac）＝m2（b2﹣4ac），
解得，
∵以线段为斜边，且有一个内角为60°，而CD＞AB，
∴CD＝AB tan60°，即，
化简得b2﹣4ac＝8a2＞4a2符合要求．
∴，此时该函数的最小值为．
综上所述，存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为﹣2a．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键．
9．已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2　＝　x3+x4；②x1﹣x3　＜　x2﹣x4；③x2+x3　＞　x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣b，以及x3+x4＝﹣b，即可判断①，利用二次函数的图象与性质得到x1＜x3＜x4＜x2，进而得到x2﹣x1＞x4﹣x3，利用不等式性质变形，即可判断②③；
（2）根据题意得到3＜x2+x1＜4，结合x1+x2＝﹣b 进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为，对称轴为直线；当x＝0时，y＝c，当x＝1时，y＝1+b+c，由y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，分以下情况：①当在x＝0取得最大值，在x＝1取得最小值时，②当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在 x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1+x2＝﹣b，且抛物线开口向上，
∵ 与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，
即y＝x2+bx+c（b＜0）向上平移1个单位，
∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3+x44＝﹣b，
∴①x1+x2＝x3+x4；
∵x2﹣x1＞x4﹣x3
∴x2﹣x4＞x1﹣x3，即②x1﹣x3＜x2﹣x4；
∴x2+x3＞x1+x4，即③x2+x3＞x1+x4，
故答案为：＝；＜；＞；
（2）∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2+x1＜4
∴3＜﹣b＜4，
∴﹣4＜b＜﹣3；
（3）抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为，对称轴为直线，
当x＝0时，y＝c；
当x＝1时，y＝1+b+c；
①当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，
解得（舍去）或；
②当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，
解得（舍去）或，
③当x＝0时取最大值，x＝1时取得得最小值，则有
c﹣（1+b+c）＝，
b＝﹣（舍去），
④当x＝1时取最大值，x＝0时取得得最小值，
1+b+c﹣c＝，
b＝﹣（舍），
综上所述，b的值为或．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键在于熟练掌握二次函数图象与性质．
10．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
【分析】（1）把点P（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3（a＞0）可得b＝﹣2a，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）把点Q（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可得：a＝1，可得抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝2，，结合，4＜x2﹣x1＜6，再建立不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【点评】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键．
11．已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【分析】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．
12．我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，即可求解．
（2）①求出y1的对称轴，得到s＝﹣3r，表示出y2的解析式，即可求解．
②，令3x2+2x＝0，求解即可．
（3）由题意可知，，得到A，B的坐标，表示出CD，EF，根据CD＝EF且b2﹣4ac＞0，得到|a|＝|c|，分情况讨论：1°若a＝﹣c时，2°若a＝c时，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，
∴对称轴为x＝，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴对称轴为x＝．
答：函数y2的图象的对称轴为x＝﹣．
②，
令3x2+2x＝0，
解得，
∴过定点（0，1），（）．
答：函数y2的图象过定点（0，1），（）．
（3）由题意可知，，
∴，
∴CD＝，EF＝，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴，
∴，
∴b2+4a2＝4，
∴，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，
2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
13．在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；
（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t＝；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点O的横坐标为2m，即可求解；
（3）分AQ∥x轴时，AP∥x轴时，分别根据抛物线的对称性求得O的横坐标与P的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，如图所示，当P，O都在对称轴x＝1的左侧时，当P，O在对称轴两侧时，当点P在x＝1的右侧时，当P的纵坐标小于1时，分别求得h1，h2，根据h2﹣h1＝m建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1
＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
∵点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2m，
∴2m＝1，
解得：；
（3）①AQ∥x轴时，点A，Q关于对称轴x＝1对称，
xQ＝2m＝2，
∴m＝1，
则﹣12+2×1+1＝2﹣22+2×2+1＝1，
∴P（1，2），Q（2，1），
∴点P与点Q的纵坐标的差为2﹣1＝1；
②当AP∥x轴时，则A，P关于直线x＝1对称，xP＝m＝2，xQ＝2m＝4，
则﹣42+2×4+1＝﹣7，
∴P（2，1），Q（4，﹣7）；
∴点P与点Q的纵坐标的差为1﹣（﹣7）＝8；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；
（4）①如图所示，当P，Q都在对称轴x＝1的左侧时，
则0＜2m＜1，
∴0＜m，
∵P（m，﹣m2+2m+1），
∴Q（2m，﹣4m2+4m+1），
∴＝﹣m2+2m，
h2＝yQ﹣yA＝﹣4m2+4m+1﹣1＝﹣4m2+4m，
∴h2﹣h1＝﹣4m2+4m+m2﹣2m＝m，
解得： 或 m＝0（舍去）；
②当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则2m≥1，m≤1，即 ，
则 h2＝2﹣1＝1，
∴1+m2﹣2m＝m，
解得： （舍去）或 （舍）；
③当点P在x＝1的右侧且在直线y＝1上方时，即1＜m＜2，
∵h1＝2﹣1＝1，
，
∵4m2﹣4m+1﹣1＝m，
解得： 或m＝0（舍去）；
④当P在直线y＝1上或下方时，即m≥2，
，
∴4m2﹣4m+1﹣（m2﹣2m+1）＝m，
解得：m＝1（舍去）或 m＝0（舍去），
综上所述， 或 ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；
（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．
16．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴＝a+15+c，
∴c＝﹣a﹣，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c＝﹣；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．
17．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；
（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；
②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a＝（舍）；
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2﹣或．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
18．若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；
②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+k+b，N＝kt﹣k+b，h＝k；当k＜0时，M＝kt﹣k+b，有N＝kt+k+b，h＝﹣k；
（2）由题意t﹣≥1，M＝，N＝，则h＝，所以h有最大值；
（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时，M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t+≤2时，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝2﹣t；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2；④当t＜2≤t+，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2，画出h的函数图象，结合图象可得＝4+k，解得k＝﹣．
【解答】解：（1）①∵t＝1，
∴≤x≤，
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，
∴h＝k；
当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，
∴h＝﹣k；
综上所述：h＝|k|；
（2）t﹣≥1，即t≥，
函数y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，
∴h＝，
当t＝时，h有最大值；
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
①当2≤t﹣时，即t≥，
此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝t﹣2，
此时h的最小值为；＝4+k，解得k＝﹣；
②当t+≤2时，即t≤，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
此时h的最小值为；
③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，
此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
∴h的最小值为；4+k＝，解得k＝﹣；
④当t＜2≤t+，即≤t＜2，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
∴h的最小值为；k
h的函数图象如图所示：h的最小值为，
由题意可得＝4+k，
解得k＝﹣；
综上所述：k的值为﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线经过点A时，（1﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣4，解得k＝0（舍）或k＝1，当抛物线的顶点为（2，﹣5）时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，
∴B（2，﹣3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，
综上所述：m的值﹣1或1﹣；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
联立方程组，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线经过点A时，（1﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣4，
解得k＝0（舍）或k＝1，
当抛物线的顶点为（2，﹣5）时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点，
∴综上所述：1＜n≤4或n＝．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
20．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2﹣4a+b，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣4a+b）．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＞c＞e＝f．
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＜c＜e＝f．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
当a＜0时，抛物线开口向下，x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+．
综上所述，y＝x2+x﹣或y＝﹣x2﹣x+．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
21．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【分析】（1）将点A（0，）代入抛物线y＝a（x﹣2）2+3求出a即可求解析式；
（2）由已知联立方程kx+＝﹣（x﹣2）2+3，由韦达定理可得x1+x2＝4﹣3k，x1 x2＝﹣3，则有x12+x22＝（4﹣3k）2+6＝10，求出k即可；
（3）分两种情况：当m＜2时，当x＝m时，y有最大值，＝﹣（m﹣2）2+3，得m＝﹣，当m≥2时，当x＝2时，y有最大值，＝3，得m＝．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点A（0，），
∴4a+3＝，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）∵直线y＝kx+与抛物线有两个交点，
∴kx+＝﹣（x﹣2）2+3，
整理得x2+（3k﹣4）x﹣3＝0，
∴Δ＝（3k﹣4）2+12＞0，
∵x1+x2＝4﹣3k，x1 x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（4﹣3k）2+6＝10，
∴k＝或k＝2，
∴k的值为2或；
（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，
当m＜2时，当x＝m时，y有最大值，
＝﹣（m﹣2）2+3，
解得m＝，
∴m＝﹣，
当m≥2时，当x＝2时，y有最大值，
∴＝3，
∴m＝，
综上所述，m的值为﹣或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用二元一次方程的根与系数的关系是解题的关键．
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