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2025年中考数学二轮复习专题：圆与相似三角形及三角函数综合训练
1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连接PA，且∠PAB＝∠ADB．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若AB＝6，tan∠ADB＝，求PB长；
（3）在（2）的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．
5．如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM＝，BE＝1，
①求⊙O的半径；
②求FN的长．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，cosA＝，求DF的长．
8．如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA＝PD，AD的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：＝；
（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5＝0的两根，求BE的长；
（3）若MA＝6，sin∠AMF＝，求AB的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
10．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．
11．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．
13．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB＝4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若＝，求sin∠E的值．
14．【问题背景】
已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　 　°；
【问题探究】
（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．
①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立：
②如图3，当AC＝r，＝时，请补全图形，并求tanα及的值．
15．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．
16．如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．
（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1 S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE FN ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．
18．如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
19．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．
（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，cosα＝，求AG ED的值．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
参考答案
1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连接AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，
∴BE＝AB sin∠1＝3×＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
∵sin∠CBF＝＝，
∴CH＝2，
∵CH∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝6，
∴AF＝AC+CF＝9，
∴BF＝＝6．
【点评】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CF即可；
（2）①四边形BOCE是菱形，可以先证明四边形BOCE是平行四边形，再结合半径相等得证四边形BOCE是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形BOCE是菱形；
②由三角函数概念得＝tan∠ABC＝，可求得AC＝12，BC＝16，由垂径定理可求出BH；利用三角形面积公式求得PE＝BH＝8，再利用勾股定理或三角函数求得OP，BP，DP，由DE＝PE﹣PD求出DE的长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∵FC＝FD
∴∠FCD＝∠FDC
∵∠FDC＝∠BDP
∴∠OCB+∠FCD＝90°
∴OC⊥FC
∴FC是⊙O的切线．
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，
∴AC＝12，BC＝16，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，
∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，
由勾股定理得OP＝＝＝6，
∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，
∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3
∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定定理、垂径定理的应用、等边三角形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是熟练掌握性质定理和判定定理．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连接PA，且∠PAB＝∠ADB．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若AB＝6，tan∠ADB＝，求PB长；
（3）在（2）的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．
【分析】（1）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，根据圆周角定理得到∠CAB＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到AC＝8，根据勾股定理得到BC＝＝10，求得OB＝5，过B作BF⊥AP于F，设AF＝4k，BF＝3k，求得BF＝，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）连接OD交AC于H，根据垂径定理得到AH＝CH＝4，得到OH＝＝3，根据相似三角形的性质得到DE＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠PAB，
∴∠PAB+∠OAB＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝∠ACB，
∴tan∠ADB＝tan∠ACB＝＝，
∵AB＝6，
∴AC＝8，
∴BC＝＝10，
∴OB＝5，
过B作BF⊥AP于F，
∵∠ADB＝∠BAF，
∴tan∠ADB＝tan∠BAF＝，
∴设AF＝4k，BF＝3k，
∴AB＝5k＝6，
∴k＝，
∴BF＝，
∵OA⊥AP，BF⊥AP，
∴BF∥OA，
∴△PBF∽△POA，
∴，
∴＝，
∴PB＝；
（3）解：连接OD交AC于H，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴AH＝CH＝4，
∴OH＝＝3，
∴DH＝2，
∴CD＝＝2，
∴BD＝＝4，
∵∠ADE＝∠BDA，∠DAE＝∠ABD，
∴△ADE∽△BDA，
∴，
∴＝，
∴DE＝，
∴△CDE的面积＝CD DE＝×2×＝5．
【点评】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）解法一：如图1，连接OD、BD，根据圆周角定理得：∠ADB＝90°，则AD⊥BD，OE⊥BD，由垂径定理得：BM＝DM，证明△BOE≌△DOE，则∠ODE＝∠OBE＝90°，可得结论；
解法二：如图1，连接OD，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得：∠OAD＝∠ODA＝∠BOE＝∠DOE，
同理得△BOE≌△DOE（SAS），从而得结论；
（2）解法一：连接BD，因为OP垂直于CD，由垂径定理可证得弧AC等于弧AD，∠ABD等于∠ADP，由直角三角形ADB中sin∠ABD＝∠ADP＝可得，AD＝AB，可得AD的长；
解法二：设AP＝a，根据三角函数得：AD＝3a，由勾股定理得：PD＝2a，在直角△OPD中，根据勾股定理列方程可得：32＝（3﹣a）2+（2a）2，解出a的值可得AD的值；
（3）先证明△APF∽△ABE，得，由△ADP∽△OEB，得，可得PD＝2PF，可得结论．
【解答】证明：（1）解法一：如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM＝DM，
∵OB＝OD，
∴∠BOM＝∠DOM，
∵OE＝OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴DE为⊙O切线；
解法二：连接OD，则OA＝OD＝OB，
∵OE∥AD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠BOE＝∠DOE，
∵OE＝OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴DE为⊙O切线；
（2）解法一：如图1，
∵OA⊥CD，
∴，
∴∠ABD＝∠ADP，
∴sin∠ABD＝sin∠ADP＝＝，
∵AB＝6，
∴AD＝AB＝2；
解法二：设AP＝a，
∵sin∠ADP＝＝，
∴AD＝3a，
∴PD＝＝＝2a，
∵OP＝3﹣a，
∴OD2＝OP2+PD2，
∴32＝（3﹣a）2+（2a）2，
9＝9﹣6a+a2+8a2，
a1＝，a2＝0（舍），
当a＝时，AD＝3a＝2，
∴AD＝2；
（3）PF＝FD，
理由是：∵∠APD＝∠ABE＝90°，∠PAF＝∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴，
∴PF＝，
∵OE∥AD，
∴∠BOE＝∠PAD，
∵∠OBE＝∠APD＝90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴，
∴PD＝，
∵AB＝2OB，
∴PD＝2PF，
∴PF＝FD．
【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接BD构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM＝，BE＝1，
①求⊙O的半径；
②求FN的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到＝，∠M＝∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到＝，从而解方程求出r即可；
②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF＝，再计算出CE＝3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1＝∠3
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AC平分∠DAE；
（2）解：①∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
而DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴＝，
∴∠COE＝∠M，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，即＝，解得r＝4，
即⊙O的半径为4；
②连接BF，如图，
在Rt△AFB中，cos∠FAB＝，
∴AF＝8×＝
在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，
∴CE＝3，
∵AB⊥FM，
∴，
∴∠5＝∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5＝∠E＝∠4，
∵＝，
∴∠1＝∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴＝，即＝，
∴FN＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，cosA＝，求DF的长．
【分析】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB＝∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC＝90°，推出∠ODF＝∠DFC＝90°，即可推出DF是⊙O的切线．
（2）首先判断出：AG＝AE＝2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值是多少．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：AG＝AE＝2，
∵cosA＝，
∴OA＝＝＝5，
∴OG＝＝，
∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°，
∴四边形OGFD为矩形，
∴DF＝OG＝．
【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．
8．如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA＝PD，AD的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：＝；
（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5＝0的两根，求BE的长；
（3）若MA＝6，sin∠AMF＝，求AB的长．
【分析】（1）连接OA、OE交BC于T．想办法证明OE⊥BC即可；
（2）由ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5＝0的两根，可得ED EA＝5，由△BED∽△AEB，可得＝，推出BE2＝DE EA＝5，即可解决问题；
（3）作AH⊥OM于H．求出AH、BH即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OA、OE交BC于T．
∵AM是切线，
∴∠OAM＝90°，
∴∠PAD+∠OAE＝90°，
∵PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA＝∠EDT，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠EDT+∠OEA＝90°，
∴∠DTE＝90°，
∴OE⊥BC，
∴＝．
（2）∵ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5＝0的两根，
∴ED EA＝5，
∵＝，
∴∠BAE＝∠EBD，∵∠BED＝∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴＝，
∴BE2＝DE EA＝5，
∴BE＝．
（3）作AH⊥OM于H．
在Rt△AMO中，∵AM＝6，sin∠M＝＝，设OA＝m，OM＝3m，
∴9m2﹣m2＝72，
∴m＝3，
∴OA＝3，OM＝9，
易知∠OAH＝∠M，
∴sin∠OAH＝＝，
∴OH＝1，AH＝2．BH＝2，
∴AB＝＝＝2．
【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC＝OF即可；
（2）连接CE，先求证∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D＝＝；
（3）由（2）可知，AC2＝AE AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECO+∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠ODC，
∵∠CAE＝∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∵tan∠D＝，
∴＝，
∴＝；
（3）由（2）可知：＝，
∴设AE＝x，AC＝2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AE AD，
∴（2x）2＝x（x+6），
解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴AE＝2，AC＝4，
由（1）可知：AC＝AF＝4，
∠OFB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴＝，
设BF＝a，
∴BC＝，
∴BO＝BC﹣OC＝﹣3，
在Rt△BOF中，
BO2＝OF2+BF2，
∴（﹣3）2＝32+a2，
∴解得：a＝或a＝0（不合题意，舍去），
∴AB＝AF+BF＝．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．
10．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．
（2）①只要证明∠CEF＝∠CFE即可．
②由△DCA∽△DBC，得＝＝＝，再由△DCE∽△DBF，得＝，设EC＝CF＝x，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵AB是直径，
∴∠1+∠B＝90°，
∴∠3＝∠B．
（2）解：①∵∠CEF＝∠ECD+∠CDE，∠CFE＝∠B+∠FDB，
∵∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴tan∠CFE＝tan45°＝1．
②在RT△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴＝＝＝，
∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B，
∴△DCE∽△DBF，
∴＝＝，设EC＝CF＝x，
∴＝，
∴x＝．
∴CE＝．
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB＝∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE＝∠ECB，再由公共角∠CEA＝∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB＝90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE＝CE＝6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH EA，
∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．
【分析】（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）可得∠PFC＝∠PCF，即可证得PC＝PF，即△PCF是等腰三角形；
（3）首先连接AE，易得AE＝BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC＝，BE＝7，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO＝∠DAC．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD＝90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB．
又∵∠DAC＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF，
∴△PCF是等腰三角形．
（3）连接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴＝，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，．
∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC＝，
∴，
∴．
设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，
∵PC2+OC2＝OP2，
∴（4k）2+72＝（3k+7）2，
∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．
∴PC＝4k＝4×6＝24．
【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB＝4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若＝，求sin∠E的值．
【分析】（1）连接OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，则∠1＝∠2，所以AC平分∠DAB；
（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB＝BE＝2，OC＝2，在Rt△OCE中，由于OE＝2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC＝30°，则∠COE＝60°，由CF⊥AB得∠OFC＝90°，所以∠OCF＝30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF＝OC＝1，CF＝OF＝；
（3）连接OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得＝＝，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到＝＝，设⊙O的半径为R，OE＝x，代入求得OE＝3R；最后在Rt△OCE中，根据正弦的定义求解．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵DE与⊙O切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即AC平分∠DAB；
（2）解：如图1，
∵直径AB＝4，B为OE的中点，
∴OB＝BE＝2，OC＝2，
在Rt△OCE中，OE＝2OC，
∴∠OEC＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC＝90°，
∴∠OCF＝30°，
∴OF＝OC＝1，
CF＝OF＝；
（3）解：连接OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴＝＝，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴＝＝，
设⊙O的半径为R，OE＝x，
∴＝，
解得OE＝3R，
在Rt△OCE中，sin∠E＝＝＝．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、平行线的性质和锐角三角函数的定义；会根据含30度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算．
14．【问题背景】
已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　30　°；
【问题探究】
（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．
①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立：
②如图3，当AC＝r，＝时，请补全图形，并求tanα及的值．
【分析】（1）根据等腰△AOE的角度和切线的性质即可求出∠CAE＝30°；
（2）因为AD＝BC，且AD＝AE+ED，要证BC＝CD+ED，实际要证CD＝AE，根据我们证线段相等的思路：①同一个三角形证等腰②不同三角形证全等，可证△OAE≌△FCD即可；
（3）由AC＝得tanα＝，再作OH⊥AE，证△OEH∽△CED得到，通过设边长，再利用勾股定理表示CD2建立勾股方程即可找到线段之间的关系．
【解答】（1）解：∵α＝60°，OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°，
∵AC与圆相切，
∴∠OAC＝90°，
∴∠CAE＝30°．
故答案为：30．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r，
∴OA＝OE＝CF＝DF＝r，
∵∠OAC＝∠ADC＝90°，
∴∠OAE+∠CAD＝∠ACD+∠CAD，
∴∠OAE＝∠ACD，
∵OA＝OE，CF＝DF，
∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF，
在△OAE和△FCD中，
，
∴△OAE≌△FCD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AD＝AE+ED，
∴BC＝CD+ED．
即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立．
（3）解：补全图形如图，
∵AC是切线，
∴∠OAC＝90°，
∵AC＝，
∴tan∠AOC＝＝，
设OA＝3m，则AC＝＝4m，OC＝5m，
∵＝，OE＝OA＝3m，
∴CE＝2m，OE+CE＝5m＝OC，
即点E在线段OC上，
∴tanα＝tan∠AOC＝．
法一：如图，过O作OH⊥AE，垂足为H，则AH＝EH，
∵∠OHE＝90°＝∠D，∠OEH＝∠CED，
∴△OEH∽△CED，
∴，
设EH＝AH＝3a，则DE＝2a，
∴AD＝AH+EH+ED＝8a，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2＝16m2﹣64a2，
在Rt△CED中，CD2＝CE2﹣ED2＝4m2﹣4a2，
∴16m2﹣64a2＝4m2﹣4a2，解得a＝m，
∴BC＝AD＝m，CD＝＝m＝AB，
∴＝＝．
法二：由OH∥CD，得∠DCE＝∠HOE＝∠CAD，证△CAD∽△ECD，
直接得到＝＝＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查了圆的综合题以及切线的性质、锐角三角函数、相似的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论．
（2）证明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，设AE＝x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
【解答】（1）证明：∵D是弧AC的中点，
∴，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴∠ADH＝∠CAD，
∴AF＝DF．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
∴sin∠ADE＝，
∴tan∠ADE＝，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵DF＝AF＝，
∴EF＝2x﹣，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴x＝2，
∴AD＝＝2，
∴AB＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
16．如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．
（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1 S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE FN ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB＝90°，从而∠CAB+∠ABC＝90°，然后根据∠DBC＝∠CAB，可以得解；
（2）由题意，据S1 S＝（S2）2得CD（CD+AC）＝AC2，再由tan∠D＝＝tan∠ABC＝，进而进行变形利用方程的思想可以得解；
（3）依据题意，连接OM，分别在Rt△OFM、Rt△AFE、Rt△BFN中，找出边之间的关系，进而由FE FN ＝y，可以得解．
【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．
证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°．
又点A，B，C在⊙O上，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
又∠DBC＝∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝90°．
∴BD是⊙O的切线．
（2）由题意得，S1＝BC CD，S2＝BC AC，S＝AD BC．
∵S1 S＝（S2）2，
∴BC CD AD BC＝（BC AC）2．
∴CD AD＝AC2．
∴CD（CD+AC）＝AC2．
又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，
∴∠D＝∠ABC．
∴tan∠D＝＝tan∠ABC＝．
∴CD＝．
又CD（CD+AC）＝AC2，
∴+BC2＝AC2．
∴BC4+AC2 BC2＝AC4．
∴1+（）2＝（）4．
由题意，设（tan∠D）2＝m，
∴（）2＝m．
∴1+m＝m2．
∴m＝．
∵m＞0，
∴m＝．
∴（tan∠D）2＝．
（3）设∠A＝α，
∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，
∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．
如图，连接OM．
∴在Rt△OFM中，OF＝＝．
∴BF＝BO+OF＝1+，AF＝OA﹣OF＝1﹣．
∴在Rt△AFE中，EF＝AF tanα＝（1﹣） tanα，
AE＝＝．
在Rt△ABC中，BC＝AB sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．）
AC＝AB cosα＝2cosα．
在Rt△BFN中，BN＝＝，FN＝＝．
∴y＝FE FN
＝x2
＝x2
＝x2
＝x2
＝x．
即y＝x．
∵FM⊥AB，
∴FM最大值为F与O重合时，即为1．
∴0＜x≤1．
综上，y＝x，0＜x≤1．
【点评】本题主要考查了圆的相关性质，解题时要熟练掌握并灵活运用．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．
【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，然后证明∠DAC＝∠OAC，从而得到结论；
（2）连接BC，如图，利用正切的定义可求出CD＝6，再利用勾股定理计算出AC＝10，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用正切的定义求出BC，然后利用勾股定理计算出AB．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接BC，如图，
∵∠DAC＝∠OAC，
∴tan∠DAC＝tan∠CAB＝，
在Rt△DAC中，∵tan∠DAC＝＝，
∴CD＝×8＝6，
∴AC＝＝＝10，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴BC＝×10＝，
∴AB＝＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
18．如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明OM＝ON，设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，求出OQ，可得结论．
（2）利用（1）中结论，求出AM，MN（用m表示即可）．
（3）证明△AME∽△DMB，可得＝，由此构建关系式，可得结论．
【解答】解：（1）如图，连接OP．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMQ＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，
∵OQ＝OP，
∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL），
∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝＝m，
∴sin∠AOQ＝＝＝．
（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，MN＝2m，
∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m，
∴＝＝．
（3）∵AB＝2R，
∴OA＝OB＝OQ＝R，
∵QM＝2MO，
∴OM＝，MQ＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CED＝∠AEM，
∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，
∴△AME∽△DMB，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣，
当点C与P重合时，＝，
∴＝，
∴x＝R，
∴R＜x＜R．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
19．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．
（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，cosα＝，求AG ED的值．
【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，由OC＝OB可得∠B＝∠OCB，推出∠OCB+∠BCM＝90°，从而可得结论；
（2）由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得∠GFH＝∠ACE，根据余角的性质可得∠ECD＝∠AGC，进而可得△EDC∽△ACG，根据相似三角形的性质变形可得AG DE＝AC CE，即可求出结果．
【解答】（1）证明：连接OC，如图①，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠BCM＝∠A，
∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，
∴AB＝2，
∵cos∠BAC＝，即，
∴，
∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，
∴∠GFH＝∠ACE，
∵DH⊥MN，
∴∠GFH+∠AGC＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠AGC，
又∵∠DEC＝∠CAG，
∴△EDC∽△ACG，
∴，
∴．
【点评】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；
（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；
（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．
【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，
∴DF＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：方法一：设DE＝1，则AC＝2，
由AC2＝AD×AE
∴20＝AD（AD+1）
∴AD＝4或﹣5（舍去）
∵DC2＝AC2﹣AD2
∴DC＝2，
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；
方法二：如图所示：可得∠ABD＝∠ACD，
∵∠E+∠DCE＝90°，∠DCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCA＝∠E，
又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴＝，
∴DC2＝AD DE
∵AC＝2DE，
∴设DE＝x，则AC＝2x，
则AC2﹣AD2＝AD DE，
即（2x）2﹣AD2＝AD x，
整理得：AD2+AD x﹣20x2＝0，
解得：AD＝4x或﹣5x（负数舍去），
则DC＝＝2x，
故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2．
【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．
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