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2024-2025学年度绵阳市安州区九年级期末教学质量监测试卷
（数学）
一．选择题（共12小题，36分）
1．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，关于该图形的对称性，下列说法正确的是（　　）
A．是中心对称图形但不是轴对称图形
B．是轴对称图形但不是中心对称图形
C．既是中心对称图形也是轴对称图形
D．既不是中心对称图形也不是轴对称图形
2．不透明袋子中有除颜色外完全相同的2个黑球和4个白球，从袋中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个白球1个黑球 B．至少有1个白球
C．3个都是白球 D．2个黑球1个白球
3．已知A（a，﹣2）和B（4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣4
4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∠BCD＝30°，则∠ABC等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝9，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8
6．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实数根，则m的最大整数值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将抛物线y＝x2向左平移2单位，再向上平移3个单位，则所得的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
8．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．2+2x+2x2＝18
B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
9．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1，则旋转中心是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．已知抛物线y＝ax2+4ax+c（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
11．如图，已知圆锥的母线AB长为4cm，底面半径OB长为2cm，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（　　）度．
A．30 B．45 C．60 D．180
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标为（﹣2，﹣a），对于下列结论：①abc＜
0；②a+b+c＞0；③c＝3a；④若方程ax2+bx+c﹣2＝0没有实数根，则﹣2＜a＜0．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题,共24分）
13．有三个不透明的布袋A，B，C，布袋A中有2个小球，分别标有数字1和2，布袋B中有3个小球，分别标有数字1，2和3，布袋C中有m个小球（m＞1），分别标有数字1～m，三个布袋中每个球除数字外无其他差别．从三个布袋中各随机抽取一个球，从布袋A中抽到数字2，从布袋B中抽到数字3，从布袋C中抽到数字m的概率为 　 　．
14．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　 　．
15．如图，圆内接矩形ABCD中，点E为边AD的中点．若CD＝1，AD，则图中阴影部分的面积为 　 　．
16．如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC，求∠APB的度数 　 　．
17．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣8，6），⊙M
是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 　 　．
18.如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为　　．
三．解答题（共90分）
19．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k的值．
20．（10分）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元/本） …… 22 23 24 25 ……
每天销售量（本） …… 80 78 76 74 ……
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
21．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
（2）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①把△ABC向上平移3个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
③以A为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90度，画出旋转后的△A3B3C3并求出边AB扫过的图形的面积．
22．（10分）元宵节是中国的传统节日，起源于2000多年前的西汉．元宵以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰果仁等为馅用糯米粉包成球形，寓意团团圆圆．某班学生在元宵节前组织了一次综合实践活动，制作爱心元宵送给敬老院的老人．将规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量进行了统计，并绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（其中A，B，C，D，E，F分别表示以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰和果仁为馅的元宵）．请解答下列问题：
（1）请你补全上面两个统计图（不写过程）；
（2）求出扇形统计图中种类E所对应的圆心角的度数；
（3）现取A，B两种元宵各两个放入清水中煮，煮熟后，小明随机取出两个进行品尝，用列表或画树状图的方法说明馅料不同的概率．
23．（10分）用一根长22cm的铁丝，
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由；
（2）能否围成面积是32cm2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由；
（3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少　 　cm2？
24．（14分）如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：CG＝BG；
（3）若∠DBA＝30°，CG＝4，求阴影部分的面积．
25．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）∠ACE的度数是 　 　；线段AC，CD，CE之间的数量关系是 　 　；
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C
重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由．
26．（14分）已知，如图四边形ABCD为平行四边形，点A，C分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B、点D在二次函数的图象上，且AB＝AC．
（1）试求该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，当△PAQ面积最大时，求点P坐标．
（3）若将二次函数沿对称轴移动m个单位，使其顶点始终在四边形ABCD内（含四边形的边上），直接写出m的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B D A D A D B C D C
13. 14. 5 15. 16. 45° 17. 8 18.
19. 解：（1）∵方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
即4k﹣3＞0，
解得：k；
（2）把x＝﹣1代入原方程得：k2﹣2k+1＝0，
解得k＝1，
∴原方程化为：x2+3x+2＝0，
解这个方程得，x1＝﹣1，x2＝﹣2
故另一个根为﹣2，k的值为1．
20. 解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，
根据题意得：，
解得，
答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，
∵两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，
根据表格可得：，
解得，
∴y＝﹣2x+124，
当y＝80﹣2m时，x＝22+m，
即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，
设该店每天所获利润是w元，
由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），
答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
21. 解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x＝5或x＝﹣1．
（2）
①如图，△A1B1C1即为所求．
②如图，△A2B2C2即为所求．
③如图，△A3B3C3即为所求．
边AB扫过的图形的面积为4π．
22. 解：（1）规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量为：30÷15%＝200（个），
则200﹣30﹣20﹣40﹣10﹣30＝70（个），
∴70÷200×100%＝35%，10÷200×100%＝5%，
补全两个统计图如下：
（2）扇形统计图中种类E所对应的圆心角的度数为360°×5%＝18°；
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的情况，其中馅料不同的情况有8种，
∴馅料不同的概率为．
23. 解：（1）设当矩形的一边长为x cm时，
根据题意得：x （11﹣x）＝30，
整理得：x2﹣11x+30＝0，
解得：x＝5或x＝6，
当x＝5时，11﹣x＝6；
当x＝6时，11﹣x＝5；
即能围成面积是30cm2的矩形，此时长和宽分别为5cm、6cm；
（2）根据题意得：x （11﹣x）＝32，
整理得：x2﹣11x+32＝0，
∵△＝（﹣11）2﹣4×1×32＜0，
方程无解，因此不能围成面积是32cm2的矩形；
（3）设当矩形的一边长为x cm时，面积为y cm2．
由题意得：y＝x （x）
＝﹣x2+11x
＝﹣（x）2，
∵（x）2≥0，
∴﹣（x）2．
∴当x时，y有最大值，
故答案为：．
24. （1）证明：连接OC，
∵∠A＝∠CBD，
∴，
∴OC⊥DB，
∵DB∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线．
（2）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CF⊥AB，
∴∠ACB＝∠CFB＝90°，
∴∠ABC+∠BCF＝90°＝∠ABC+∠CAB，
∴∠CAB＝∠BCF，
∵∠CAB＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴CG＝BG；
（3）连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DBA＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵BD∥CE，OC⊥CE，
∴OC⊥BD，，
∴，
∴，
∵CE∥BD，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AC＝CE，
∴，
∵∠CAB＝∠BCF＝∠CBD＝30°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝BC，
∴△CGB∽△CBE，
∴，
∵CG＝4，
∴，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴，
∵∠OCE＝90°，
∴，
∴．
25 解：（1）由旋转可知，
∠DAE＝60°，DA＝EA．
∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠EAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，CE＝BD，
∴CE+CD＝BD+CD＝BC＝AC，
即CE+CD＝AC．
故答案为：60°，CE+CD＝AC．
（2）CD+CE．
由旋转可知，
AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD，
∴CD+CE＝CD+BD＝BC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC，
∴CD+CE．
26. （1）由yx+3，
令x＝0，得y＝3．所以点A（0，3）；
令y＝0，得x＝4．所以点C（4，0）．
∵AB＝AC，
∴B点坐标为（﹣4，0）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3）；
将B（﹣4，0），D（8，3）代入二次函数，
可得，
二次函数的表达式为；
（2）当动点P运动t秒时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t．
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，如图，
∴∠QHA＝∠AOC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠HAQ＝∠OCA，
∴△AQH∽△CAO．
∴，
∵A（0，3），C（4，0），
∴AC＝5，
∴，
∵，
∴，
∴当时，S△APQ达到最大值，点P坐标为；
（3）∵，
∴沿对称轴x＝1移动抛物线，使其顶点（1，）在四边形ABCD内，可转化为将点（1，）沿x＝1移动，
∴范围是（1，）到BC以及AD的距离，
∵点（1，）到BC的距离为0﹣（），到AD的距离为3，
∴m的取值范围为：．

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