2024-2025学年重庆市七校高一上学期期末联考数学试卷(含答案)

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2024-2025学年重庆市七校高一上学期期末联考数学试卷(含答案)

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2024-2025学年重庆市七校高一上学期期末联考数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和,若,则为( )
A. B. C. D.
3.国家体育场鸟巢,位于北京奥林匹克公园中心区南部,为年北京奥运会的主体育场某近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知小椭圆的短轴长为,长轴长为,大椭圆的长半轴长为,则大椭圆的短轴长为( )
A. B. C. D.
4.已知,,,则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量,且,则( )
A. B. C. D.
6.九章算术中,将底面为长方形,且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马在阳马中,若平面,且,异面直线与所成角的余弦值为,则( )
A. B. C. D.
7.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,,是上的两点,满足,且,则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若直线与平行,则与的距离为
B. 过点且和直线平行的直线方程是
C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
D. 直线的倾斜角的取值范围是
10.设数列的前项和为,,,则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列
B. 当或时,取得最大值
C. 数列的前项和是
D. ,,成等差数列,公差为
11.如图,在直四棱柱中,为与的交点若,则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 设,则
D. 以为球心,为半径的球在四边形内的交线长为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知抛物线则抛物线的准线方程为 .
13.若直线与曲线恰有两个交点,则实数的取值范围是 .
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图为她们的刺绣中最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数量越多,刺绣越漂亮.现按相同的规律刺绣小正方形摆放的规律相同,设第个图形包含个小正方形.则 的表达式为_____ ______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆及直线,直线被圆截得的弦长为.
求的值;
求过点并与圆相切的直线的一般式方程.
16.本小题分
已知等差数列的公差为正数,,其前项和为,数列为等比数列,且,,.
求数列与的通项公式
设,求数列的前项和.
17.本小题分
在平面图形如图中,已知,,,,将沿着折起到的位置,使得,连接、,得到四棱锥,如图所示.
求证:;
求平面与平面夹角的正弦值.
18.本小题分
已知椭圆的左右两焦点为,,焦距为,过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点,的周长为.
求椭圆的标准方程
若过点的直线与椭圆交于两点,设直线的斜率分别为.
求证:为定值
求面积的最大值.
19.本小题分
已知数列的前项和为,,数列满足,且,.
求数列,的通项公式
令,求数列的前项和.
若对任意,任意正整数,都有成立,求实数的取值范围.
参考答案
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15.【 小问详解】
由可得圆心和半径分别为,
所以弦长为解得或舍去,
故.
【小问详解】
由知,圆,圆心和半径分别为,
由于在圆外,当切线斜率存在时,设切线方程为,
即故到切线的距离为解得
故切线方程为,
当切线无斜率时,此时方程为符合题意,
综上可得:切线方程为或

16.【小问详解】
设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由,,,,
可得,,
所以,,
则,.
【小问详解】
由知,,又,
所以,
则,
所以前项和为


17.【小问详解】
四棱锥中,取的中点,连接、,
由,,得,则,
所以,,
又因为,即且,所以,四边形为平行四边形,
所以,,,
由,得,则,故,
因为,,、平面,所以,平面,
因为平面,则,
又因为,,、平面,因此平面,
因为平面,所以
【小问详解】
在平面内过点作,由知平面,
以点为原点,直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,
则、、、、,
所以,,,,,
设平面的法向量,则
令,得,
设平面的法向量,则
令,得,
则,
所以,
所以平面与平面夹角的正弦值是.

18.【小问详解】
由题意可得椭圆焦点在轴上,
因为焦距为,所以,解得,
由椭圆定义可得,
的周长为,故,
解得,
又,故,
所以椭圆的方程为;
【小问详解】
证明:由题意可知直线斜率存在,
当直线斜率为时,显然,所以;
当直线斜率不为时,设直线方程为,
联立
则,
设,则,
所以,
因为

所以,综上,为定值;
由可得,
所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:
几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;
代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.

19.【小问详解】

当时,,
当时,,即.
是以为首项,为公比的等比数列,, .
由题设,易知是公差为的 等差数列,

【小问详解】
由题知,




【小问详解】
由可得,
当时,,即,
由题可知,在上恒成立,
即在上恒成立,
即,即,
当时,,
当且仅当时,取等号,
所以.

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