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2024-2025学年重庆市七校高一上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，若，则为( )
A. B. C. D.
3.国家体育场鸟巢，位于北京奥林匹克公园中心区南部，为年北京奥运会的主体育场某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的长半轴长为，则大椭圆的短轴长为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，且，则( )
A. B. C. D.
6.九章算术中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，，是上的两点，满足，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若直线与平行，则与的距离为
B. 过点且和直线平行的直线方程是
C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
D. 直线的倾斜角的取值范围是
10.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列
B. 当或时，取得最大值
C. 数列的前项和是
D. ，，成等差数列，公差为
11.如图，在直四棱柱中，为与的交点若，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 设，则
D. 以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线则抛物线的准线方程为 ．
13.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数量越多，刺绣越漂亮．现按相同的规律刺绣小正方形摆放的规律相同，设第个图形包含个小正方形．则 的表达式为_____ ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆及直线，直线被圆截得的弦长为．
求的值；
求过点并与圆相切的直线的一般式方程．
16.本小题分
已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，且，，．
求数列与的通项公式
设，求数列的前项和．
17.本小题分
在平面图形如图中，已知，，，，将沿着折起到的位置，使得，连接、，得到四棱锥，如图所示．
求证：；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左右两焦点为，，焦距为，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，的周长为．
求椭圆的标准方程
若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为．
求证：为定值
求面积的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，，数列满足，且，．
求数列，的通项公式
令，求数列的前项和．
若对任意，任意正整数，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
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14.

15.【 小问详解】
由可得圆心和半径分别为，
所以弦长为解得或舍去，
故．
【小问详解】
由知，圆，圆心和半径分别为，
由于在圆外，当切线斜率存在时，设切线方程为，
即故到切线的距离为解得
故切线方程为，
当切线无斜率时，此时方程为符合题意，
综上可得：切线方程为或

16.【小问详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，，
可得，，
所以，，
则，．
【小问详解】
由知，，又，
所以，
则，
所以前项和为
．

17.【小问详解】
四棱锥中，取的中点，连接、，
由，，得，则，
所以，，
又因为，即且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，，
由，得，则，故，
因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，则，
又因为，，、平面，因此平面，
因为平面，所以
【小问详解】
在平面内过点作，由知平面，
以点为原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、，
所以，，，，，
设平面的法向量，则
令，得，
设平面的法向量，则
令，得，
则，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值是．

18.【小问详解】
由题意可得椭圆焦点在轴上，
因为焦距为，所以，解得，
由椭圆定义可得，
的周长为，故，
解得，
又，故，
所以椭圆的方程为；
【小问详解】
证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为时，显然，所以；
当直线斜率不为时，设直线方程为，
联立
则，
设，则，
所以，
因为
，
所以，综上，为定值；
由可得，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

19.【小问详解】
，
当时，，
当时，，即．
是以为首项，为公比的等比数列，， ．
由题设，易知是公差为的 等差数列，
．
【小问详解】
由题知，
，
，
，
．
【小问详解】
由可得，
当时，，即，
由题可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
即，即，
当时，，
当且仅当时，取等号，
所以．

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