资源简介

2025年陕西省西安市湖滨学校中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（4）2＝24 B．|π﹣4|＝π+4 C．（﹣）﹣2＝9 D．（﹣2）﹣3＝6
2．（3分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．x4 x2＝x8 B．x6÷（﹣x）3＝﹣x3
C．（a5）2＝a7 D．（﹣3x）2＝6x2
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
5．（3分）将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点M，N分别是边AD，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．2 D．2.5
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DE＝3，则BC的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y＝ax2+bx+c … n 3 m 3 …
且当x＝时，与其对应的函数值y＜0．则（　　）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．无法判断
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）因式分解：4x4﹣4x3+x2＝　 　．
10．（3分）正八边形的每一个内角的度数为 　 　度．
11．（3分）在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数图象经过点，y随x的增大而减小，则k的值为　 　．
13．（3分）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，当BD长最大时，△ABC的面积为 　 　．
三、解答题（本大题共13小题，共81分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）分式化简：．
17．（5分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，AB为⊙O的直径，使得线段DB＝DC，且线段AD与BC相交．
18．（5分）如图，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°．求证：△BAE≌△CAD．
19．（5分）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点都在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点的坐标为 　 　；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）在（2）条件下，点A1的坐标为 　 　；请求出△A1O1B1的面积．
20．（5分）甲、乙两人在玩摸球游戏，现口袋中装有大小相同的2个红球和1个白球，搅匀后从中摸出第一个球
（1）第一次摸出白球的概率是 　 　；
（2）现把游戏规则规定如下：摸到两个红球的为甲胜，摸到一红一白的为乙胜，请用树状图或列表法分析说明这个游戏对甲乙双方是否公平？
21．（6分）如图，高层大楼CD前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房AB．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼CD的高度，测得大楼CD顶端D的仰角为60°．已知BE＝6m，车库长度CF＝15m（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73，结果精确到0.1）
22．（7分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果,绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 　 　，图①中m的值为 　 　，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 　 　和 　 　；
（Ⅱ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
23．（7分）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．
设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．
（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？
24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC＝BD，延长BA至E
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
25．（8分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0），直线与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E．
（1）求出抛物线与直线的解析式；
（2）已知点K为线段AD上一动点，过点K作y轴的平行线交抛物线于点H，连接DH、AH；
（3）若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点E、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形时,请你直接写出符合条件的点N的坐标．
26．（10分）【问题探究】如图1，某公园的一块空地，由△ABE和四边形BCDE组成，BE∥CD，AB＝AE＝32米，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路AM（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在CD边上），请在图中确定点M的位置，并计算小路AM的长．（结果保留根号）
过E作ET⊥CD于T，过A作AP⊥CD于P，交BE于Q，如图2所示，完成以下题目：
①BC＝BE＝　 　米；②AP＝　 　米；③S△ABE+S梯形BCDE＝　 　平方米：④CM＝　 　米，AM＝　 　米．
【问题解决】某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形ABCD和以EF为直径的半圆构成，公园规划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的入口在半圆上的点G处，＝，再沿GM修一条小路（小路的宽度忽略不计），使得GM将这块空地分成面积相等的两部分，已知AB＝80m，BC＝140m，请你在图中找出点M的位置，并计算出小路GM的长．（结果保留根号）
2025年陕西省西安市湖滨学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C C D B A
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（4）2＝24 B．|π﹣4|＝π+4 C．（﹣）﹣2＝9 D．（﹣2）﹣3＝6
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质，绝对值的性质，负指数幂的性质即可解答本题
【解答】解：A、（4）2＝48，故A错误．
B、π﹣4为负数，|π﹣4|＝6﹣π．
C、（﹣）﹣3＝（﹣3）2＝7，故C正确．
D、（﹣2）﹣3＝（﹣）3＝，故D错误．
故选：C．
2．（3分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆．
故选：D．
3．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．x4 x2＝x8 B．x6÷（﹣x）3＝﹣x3
C．（a5）2＝a7 D．（﹣3x）2＝6x2
【答案】B
【分析】根据同底数的幂相乘除法则，幂的乘方，积的乘方法则逐项判断．
【解答】解：x4 x2＝x6，故A不正确，不符合题意；
x6÷（﹣x）3＝﹣x4，故B正确，符合题意；
（a5）2＝a10，故C不正确，不符合题意；
（﹣2x）2＝9x5，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质，求出∠B，即可解答．
【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C，
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠B﹣15°，
∴3∠B＝165°，
∴∠B＝55°，
∴∠DAC＝2×55°＝110°，
故选：C．
5．（3分）将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5
【答案】C
【分析】求出平移后的函数为y＝﹣5x+3﹣m，再由题意可得方程3﹣m＝0，求出m的值即可．
【解答】解：将一次函数y＝﹣5x+3的图象向下平移m个单位长度，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣4x+3﹣m，
∵平移后为正比例函数，
∴3﹣m＝5，
解得m＝3，
故选：C．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点M，N分别是边AD，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．2 D．2.5
【答案】D
【分析】由三角形中位线定理得AC＝2MN＝6，再由菱形的性质和勾股定理求出CD＝5，然后由三角形中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵点M，N分别是边AD，
∴MN是△ACD的中位线，
∴AC＝2MN＝2×7＝6，
∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，
∴OA＝OC＝AC＝3，AC⊥BD，，
即×3×BD＝24，
∴BD＝8，
∴OD＝BD＝4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝，
∵点M是AD的中点，OA＝OC，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5，
故选：D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DE＝3，则BC的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】设OD＝x，则OE＝3﹣x，从而可得AB＝6﹣2x，先根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，再根据垂径定理可得AD＝CD，从而可得OD是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得BC＝2OD＝2x，最后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算可求出BC的长即可．
【解答】解：设OD＝x，
∵DE＝3，
∴OE＝DE﹣OD＝3﹣x，
∴AB＝2OE＝6﹣2x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC＝3OD＝2x，
在Rt△ABC中，AC2+BC5＝AB2，
∴（2）2+（2x）8＝（6﹣2x）4，
解得：x＝1，
∴BC＝2x＝3，
故选：B．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y＝ax2+bx+c … n 3 m 3 …
且当x＝时，与其对应的函数值y＜0．则（　　）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．无法判断
【答案】A
【分析】根据二次函数图象具有对称性和表格中的数据，可以得到该函数的对称轴x＝，顶点y＜0，根据﹣1，1到对称轴的距离可判断．
【解答】解：由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝，
∵当x＝时，与其对应的函数值y＜4，
∴抛物线开口向上，
∴1离对称轴比较近，
∴n＞m，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）因式分解：4x4﹣4x3+x2＝　x2（2x﹣1）2　．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式x2即可．
【解答】解：原式＝x2（4x8﹣4x+1），
＝x7（2x﹣1）4
故答案为：x2（2x﹣7）2．
10．（3分）正八边形的每一个内角的度数为 　135　度．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数即可解决问题．
【解答】解：∵正八边形的每个外角为：360°÷8＝45°，
∴每个内角为180°﹣45°＝135°．
故答案为：135．
11．（3分）在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　20天　．
【答案】见试题解答内容
【分析】设快马追上慢马需要的天数是x天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马跑的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设快马追上慢马需要的天数是x天，
根据题意得：240x＝150（12+x），
解得：x＝20，
∴快马需要20天追上慢马．
故答案为：20天．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数图象经过点，y随x的增大而减小，则k的值为　3　．
【答案】3．
【分析】将点P坐标代入反比例函数解析式，再结合反比例函数的特征对k的值进行取舍即可．
【解答】解：由题知，
将点P坐标代入反比例函数解析式得，
，
解得k＝﹣1或5．
又因为在每一个象限内，y随x的增大而减小，
所以k＞0，
则k＝3．
故答案为：2．
13．（3分）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，当BD长最大时，△ABC的面积为 　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】以CD为边作等边△DCE，连接AE．利用全等三角形的性质证明BD＝AE，利用三角形的三边关系，可得BD的最大值为5，利用直角三角形的性质和勾股定理可求AB2，即可求解．
【解答】解：如图1，以CD为边作等边△DCE．
∵BC＝AC，CD＝CE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
在△ADE中，
∵AD＝3，DE＝CD＝3，
∴AE≤AD+DE，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5，
∴BD的最大值为2，
此时点D在AE上，
如图2，过点A作AF⊥BD于F，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠ADF＝60°，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝DF＝，
∴BF＝，
∴AB5＝AF2+BF2＝19，
∴△ABC的面积＝AB2＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共13小题，共81分）
14．（5分）计算：．
【答案】﹣7．
【分析】先根据立方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可．
【解答】解：
＝3﹣8×
＝
＝﹣7．
15．（5分）解不等式组：．
【答案】原不等式组无解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：由不等式x﹣1＞3（x﹣3）得：x＜4，
由不等式x≥得：x≥5，
∴原不等式组无解．
16．（5分）分式化简：．
【答案】﹣．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝+1，然后通分后进行同分母的加法运算即可．
【解答】解：原式＝ +2
＝ +2
＝ +8
＝+
＝
＝﹣．
17．（5分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，AB为⊙O的直径，使得线段DB＝DC，且线段AD与BC相交．
【答案】见解析．
【分析】作线段BC的垂直平分线交优弧BC于点D，点D即为所求．
【解答】解：如图，点D即为所求．
18．（5分）如图，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°．求证：△BAE≌△CAD．
【答案】见试题解答内容
【分析】要证△BAE≌△CAD，由已知可证AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，即可证∠BAE＝∠CAD，符合SAS，即得证．
【解答】证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．
即∠BAE＝∠CAD．（4分）
在△BAE与△CAD中，
∴△BAE≌△CAD．（5分）
19．（5分）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点都在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点的坐标为 　（﹣3，2）　；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）在（2）条件下，点A1的坐标为 　（﹣2，3）　；请求出△A1O1B1的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据坐标系确定B点坐标，再根据关于y轴的对称点的坐标横坐标相反，纵坐标不变可得答案；
（2）首先确定A、B、O三点向左平移3个单位长度后的对应点位置，再连接即可；
（3）根据坐标系写出点A1的坐标，再利用正方形的面积减去周围多余三角形的面积可得答案．
【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣5，2）；
（2）如图所示：
（3）点A1的坐标为（﹣7，3），
△A1O7B1的面积：3×2﹣×2×1﹣×5×3＝3.8．
故答案为：（﹣2，3）．
20．（5分）甲、乙两人在玩摸球游戏，现口袋中装有大小相同的2个红球和1个白球，搅匀后从中摸出第一个球
（1）第一次摸出白球的概率是 　　；
（2）现把游戏规则规定如下：摸到两个红球的为甲胜，摸到一红一白的为乙胜，请用树状图或列表法分析说明这个游戏对甲乙双方是否公平？
【答案】（1）；
（2）这个游戏对甲乙双方不公平，理由见解析．
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画树状图得出共有6种等可能的结果，其中摸到两个红球的结果有2种，摸到一红一白的结果有4种，求出摸到两个红球和摸到一红一白的概率，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵口袋中装有大小相同的2个红球和1个白球，
∴第一次摸出白球的概率是，
故答案为：；
（2）这个游戏对甲乙双方不公平，理由如下：
画树状图如图所示：
共有6种等可能的结果，其中摸到两个红球的结果有2种，
∴摸到两个红球的概率为＝，摸到一红一白的概率为＝，
∵≠，
∴这个游戏对甲乙双方不公平．
21．（6分）如图，高层大楼CD前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房AB．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼CD的高度，测得大楼CD顶端D的仰角为60°．已知BE＝6m，车库长度CF＝15m（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73，结果精确到0.1）
【答案】见试题解答内容
【分析】过点E作EH⊥CD于点H，在Rt△BEF中，解直角三角形求出BF，继而求出EH，在Rt△BEF中，根据三角函数的定义求出DH，即可求出CD．
【解答】解：过点E作EH⊥CD于点H，则四边形BCHE是矩形，
∴CH＝BE＝6m，EH∥BC，
∴∠BFE＝∠FEH＝20°，
在Rt△BEF中，tan20°＝，
∴BF≈＝（m），
∴EH＝BC＝BF+CF＝+15＝，
在Rt△BEF中，∠DEH＝60°，
∴DH＝×≈54.2（m），
∴CD＝DH+CH＝60.8m．
答：高层大楼CD的高度约为60.8m．
22．（7分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果,绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 　50　，图①中m的值为 　34　，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 　8　和 　8　；
（Ⅱ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）a＝3+7+17+15+8＝50（人）；m%＝＝34%；根据中位数和众数的定义即可得出结果；
（II）根据条形统计图，可知平均数，计算即可；
（III）用样本估计总体，可知估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有500×30%人，计算即可．
【解答】解：（I）a＝3+7+17+15+7＝50（人）；
m%＝＝34%；
3+7+17＝27（人），中位数位于4h这组；
众数是8h；
故答案为：50，34，8，2．
（II）观察条形统计图，
∵＝8.36（h），
∴这组数据的平均数是8.36．
（III）∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，
∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，有500×30%＝150（人），
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为150人．
23．（7分）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．
设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．
（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知直接可得y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）由（1）的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
y1与x之间的函数表达式为y1＝3000+15x，
y7与x之间的函数表达式为y2＝30x；
（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，
∴当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，
当3000+15x＜30x时，解得x＞200，
∴当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
当3000+15x＞30x时，解得x＜200，
∴当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，
综上所述，当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC＝BD，延长BA至E
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，进而得∠DBA＝∠BDO证明Rt△BCD和Rt△BDA全等得∠CBA＝∠DBA，根据∠ADE＝∠CBA，得∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，再根据∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°得∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，据此可得出结论；
（2）根据BO＝4得AB＝2OB＝8，则EB＝AE+8，根据∠CBA＝∠DBA得tan∠DBA＝，则tan∠DBA＝AD/BD＝，设AD＝a，BD＝2a，证明△EAD∽△EDB得ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得2ED＝AE+8，则2ED＝ED+8，据此可得ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝∠BDA＝90°，OB＝OD，
∴∠DBA＝∠BDO，
在Rt△BCA和Rt△BDA中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），
∴∠CBA＝∠DBA，
∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，
∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，
∴∠ADE+∠ADO＝90°，
即ED⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵BO＝4，
∴AB＝2OB＝6，
∴EB＝AE+AB＝AE+8，
∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，
∴tan∠DBA＝，
在Rt△ABD中，tan∠DBA＝，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EDB，
∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，
即ED：（AE+3）＝AE：ED＝a：2a，
由AE：ED＝a：2a，得：AE＝，
由ED：（AE+8）＝a：5a，得：2ED＝AE+8，
∴3ED＝ED+7，
∵ED＝．
25．（8分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0），直线与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E．
（1）求出抛物线与直线的解析式；
（2）已知点K为线段AD上一动点，过点K作y轴的平行线交抛物线于点H，连接DH、AH；
（3）若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点E、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形时,请你直接写出符合条件的点N的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点D的坐标，当KH取得最大值时，△AHD的面积取得最大值，设，则，进而表示出KH，根据二次函数的性质求得KH的最大值，即可求解；
（3）先求得E点的坐标，分BE为对角线与边两种情况讨论，根据平行四边形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（4，B（﹣1，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
将点A（5，0）代入，
∴，
解得：m＝2，
∴直线解析式为：；
（2）依题意，联立得：
，
解得：或，
∴D（﹣2，4），
∵，
∴当KH取得最大值时，△AHD的面积取得最大值，
设，则，
∴，
∴a＝4时，KH取得最大值为，
∴△AHD的面积最大值为；
（3）∵E是与y轴的交点，
当x＝0时，y＝2，
∴E（7，2）；
①当BE为边时，
∵B（﹣1，4），2），
∴EN∥BM，则点N的纵坐标为2，
∵N在上，
∴，
解得：，
∴或；
②当BE为对角线时，则NE的中点在x轴上，
∴N的纵坐标为﹣2，
∴，
解得：x2＝0，x2＝3，
∴N（0，﹣2）或N（4，
综上所述，或或N（0，﹣2）．
26．（10分）【问题探究】如图1，某公园的一块空地，由△ABE和四边形BCDE组成，BE∥CD，AB＝AE＝32米，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路AM（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在CD边上），请在图中确定点M的位置，并计算小路AM的长．（结果保留根号）
过E作ET⊥CD于T，过A作AP⊥CD于P，交BE于Q，如图2所示，完成以下题目：
①BC＝BE＝　32　米；②AP＝　48　米；③S△ABE+S梯形BCDE＝　3584　平方米：④CM＝　　米，AM＝　　米．
【问题解决】某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形ABCD和以EF为直径的半圆构成，公园规划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的入口在半圆上的点G处，＝，再沿GM修一条小路（小路的宽度忽略不计），使得GM将这块空地分成面积相等的两部分，已知AB＝80m，BC＝140m，请你在图中找出点M的位置，并计算出小路GM的长．（结果保留根号）
【答案】【问题探究】①32；②48；③3584；④；；【问题解决】4米．
【分析】【问题探究】①利用等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用等腰三角形的三线合一的性质，矩形的判定与性质解答即可；
③分别计算△ABE和梯形BCDE的面积即可；
④利用△AMD为整个图形的面积的一半的结论求得DM，则CM＝CD﹣DM；再利用矩形的判定与性质和勾股定理即可求得AM；
【问题解决】连接EF，设EF的中点为O，在BC边上找一点M，连接GM，使得GM将这块空地分成面积相等的两部分，连接GO，并延长交BC于点H，设GM交EF于点N，设ON＝x m，利用相似三角形的判定与性质求得MH＝5x，设梯形ABMN的面积为S1，梯形DCMN的面积为S2，利用GM将这块空地分成面积相等的两部分，列出关于x的方程，解方程求得MH，再利用勾股定理解答即可．
【解答】【问题探究】解：①∵∠BAE＝90°，AB＝AE＝32米，
∴BE＝AB＝32，
∴BC＝BE＝32（米）．
故答案为：32；
②∵BE∥CD，∠C＝90°，
∴四边形BCTE为矩形，
∴BE＝CT＝32（米）（米），
∵AP⊥CD，
∴四边形BCPQ为矩形，
∴PQ＝BC＝32（米），
∵∠BAE＝90°，AB＝AE，
∴AQ＝BE＝16，
∴AP＝AQ+PQ＝48（米）．
故答案为：48；
③∵∠BAE＝90°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵BE∥CD，
∴∠D＝∠AEB＝45°，
∵ET⊥DT，
∴DT＝ET＝32（米），
∴CD＝CT+DT＝64（米）．
∵＝512（平方米），，
∴S△ABE+S梯形BCDE＝512+3072＝3584（平方米）．
故答案为：3584；
④∵AM平分这块空地的面积，
∴（△ABE+S梯形BCDE）＝1792（平方米），
∴DM AP＝1792，
∴DM＝1792，
∴DM＝（平方米），
∴CM＝CD﹣DM＝（平方米）．
∵四边形BCPQ为矩形，
∴CP＝BQ．
∵∠BAE＝90°，AB＝AE，
∴BQ＝QE＝BE＝16，
∴CP＝16（平方米），
∴PM＝CM﹣CP＝（平方米），
∴AM＝＝＝（平方米）．
故答案为：；；
【问题解决】连接EF，设EF的中点为O，连接GM，连接GO，设GM交EF于点N，
∵＝，EF的中点为O，
∴GO＝EO＝OF＝EF＝20（米），
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABHO，四边形DCHO为矩形，
∴OH＝AB＝80m，BH＝AO＝100m，
∴GH＝100m，
设ON＝x m，
∵ON∥MH，
∴△GNO∽△GMH，
∴，
∴MH＝5x（m），
∴BM＝BH﹣MH＝（100﹣5x）m，CM＝CH+MH＝（40+8x）m，DN＝OD+ON＝（40+x）m，
设梯形ABMN的面积为S1，梯形DCMN的面积为S2，
∴S2+S扇形OEG﹣S△GON＝S2+S扇形OGF+S△GON，
∵S扇形OEG＝S扇形OGF，
∴S1﹣S7＝2S△GON，
∴﹣＝5×，
∴（100﹣x+100﹣7x）×80﹣（40+5x+40+x）×80＝2×20x，
解得：x＝．
∴MH＝48（m）．
∴GM＝＝4．
答：小路GM的长为2米．

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