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2025年山东省济南市高新区中考数学调研试卷（2月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求。
1．（4分）9的算术平方根为（　　）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
2．（4分）在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）地球上的海洋面积约为362000000km2，用科学记数法将362000000表示为（　　）
A．36.2×107 B．3.62×107 C．3.62×108 D．0.362×109
4．（4分）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）已知一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）5＝a15 B．a3 a5＝a15
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a5＝a8
7．（4分）在今年寒假期间，小慧和小明两家准备从华山、黄山、长白山三个著名景点中，分别选择一个景点旅游（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（A）和它们两端的电压U（V），在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识U＝IR，可判断这四个用电器中电阻R（Ω）最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作以下操作：（1），任意长为半径作弧，交BO于点M；（2）分别以M，N为圆心的长为半径作弧，两弧交于点G；（3），交OA于点P，交AC于点Q．若OP＝2，则点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．（3，1）
10．（4分）定义平面内任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，点P（﹣3，﹣2）与点Q（2，2）PQ＝|﹣3﹣2|+|﹣2﹣2|＝5+4＝9，若点A在直线上，点B为抛物线y＝x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案。
11．（4分）因式分解：3mn+m＝　 　．
12．（4分）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 　 　．
13．（4分）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，则∠P＝ 　 　．
14．（4分）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的一点，连结AD，点B落在点E处，DE交AC于点F，则＝ 　 　．
三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。
16．（7分）计算：（﹣2024）0﹣|﹣|﹣+3﹣1+2sin60°．
17．（7分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
18．（7分）如图，在 ABCD中，点E，BC上，且AE＝CF，BD相交于点O，求证：OE＝OF．
19．（8分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，BE⊥AD，斜坡AB长26m
（1）求坡高BE；
（2）本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：sinα＝0.4，cosα＝0.9，tanα＝0.5，sinβ＝0.9，cosβ＝0.3，tanβ＝3）
20．（8分）如图AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC与⊙O相交于点D，分别连接BE、DE，∠BED＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若CD＝2，求图中阴影部分的面积．
21．（9分）某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制），下面给出部分信息：
a．学生成绩的统计图如图（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．在80≤x＜90这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89
c．成绩不低于90分为优秀
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查采用的方式是 　 　（选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 　 　；
（2）70≤x＜80这组有 　 　名同学，80≤x＜90这组学生人数所占的百分比为 　 　；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．
22．（10分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元．
（1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价；
（2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？
23．（10分）【综合与探究】
【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径的图象与性质进行探究．
【探究过程】
（1）确定函数自变量的取值范围；
（2）绘制函数图象：
①列表：列出x与y的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 …
y … ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣3 3 2 m …
②描点：根据表中的数值在坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
（3）结合图象探究函数的性质．
【请完成以下任务】
任务一：函数自变量x的取值范围是 　 　；
任务二：表格中m的值是m＝ 　 　；
任务三：把函数图象补充完整；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”）；
任务五：若一次函数y1＝kx+b与函数相交于点，D（﹣2，﹣1），结合函数图象直接写出使不等式y1＜y2成立的x的取值范围．
24．（12分）如图1，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣3），其对称轴为直线l1：x＝1，顶点为D，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点E，对称轴为直线l2，y2与x轴在对称轴左侧的交点为F．
（1）试求抛物线y1和抛物线y2的解析式；
（2）在图1中，点P的坐标为（5，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接PM、EN，求PM+MN+EN的最小值；
（3）如图2，将直线DF沿y轴平移，交y轴于点Q（包括端点），△QDF的面积为正整数时，恰好直线DF与抛物线y1或抛物线y2交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为　 　．
25．（12分）【问题发现】
（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，求BE与DG的数量关系和位置关系．
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG”改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，如图，点E、D、G三点共线，若，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AC＝6，AG平分∠DAC，在射线AF上截取AQ，使得，QC，当时，直接写出AP的长．
2025年山东省济南市高新区中考数学调研试卷（2月份）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C． C B A B C B C
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求。
1．（4分）9的算术平方根为（　　）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：9的算术平方根是3．
故选：B．
2．（4分）在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
【解答】解：A．主视图和俯视图是正方形；
B．主视图是一行两个相邻的矩形，故本选项不合题意；
C．主视图是矩形，故本选项不合题意；
D．主视图是三角形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（4分）地球上的海洋面积约为362000000km2，用科学记数法将362000000表示为（　　）
A．36.2×107 B．3.62×107 C．3.62×108 D．0.362×109
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：362000000＝3.62×108．
故选：C．
4．（4分）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、该图不是中心对称图形；
B、该图不是中心对称图形；
C、该图是中心对称图形；
D、该图不是中心对称图形，
故选：C．
5．（4分）已知一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2） 180°＝360°，
n﹣2＝5，
n＝4．
故选：B．
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a3）5＝a15 B．a3 a5＝a15
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a5＝a8
【答案】A
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：（a3）5＝a15，故选项A正确，符合题意；
a5 a5＝a8，故选项B错误，不符合题意；
（a+b）3＝a2+2ab+b3，故选项C错误，不符合题意；
a3+a5不能合并，故选项D错误；
故选：A．
7．（4分）在今年寒假期间，小慧和小明两家准备从华山、黄山、长白山三个著名景点中，分别选择一个景点旅游（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】华山、黄山、长白山三个著名景点分别用A、B、C表示，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出他们两家去同一景点旅游的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：华山、黄山、B、C表示，
画树状图为：
共有9中等可能的结果，其中他们两家去同一景点旅游的结果数为3，
所以他们两家去同一景点旅游的概率＝＝．
故选：B．
8．（4分）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（A）和它们两端的电压U（V），在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识U＝IR，可判断这四个用电器中电阻R（Ω）最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据图示得出U2＞U1，I1＜I2，利用不等式的性质得出，，，则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，即可求解．
【解答】解：由题意可得，
由图象知：U2＞U1，I4＜I2，
∴，，
∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，
同理丁的电阻大于乙的电阻，
∴这四个用电器中电阻R（Ω）最大的是丙，
故选：C．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作以下操作：（1），任意长为半径作弧，交BO于点M；（2）分别以M，N为圆心的长为半径作弧，两弧交于点G；（3），交OA于点P，交AC于点Q．若OP＝2（　　）
A． B． C． D．（3，1）
【答案】B
【分析】过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，作QJ⊥OA于J，先在Rt△OPT中求出PT＝，则OA＝2+，进而再求出AD＝+1，再证四边形AKQJ为正方形，设边长为a，则AQ＝a，MD＝MQ＝a，据此得AD＝a+a，据此可求出a的值，进而即可求出点Q的坐标．
【解答】解：过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，
∵四边形OABC为正方形，
∴∠BOA＝∠BAC＝∠OAC＝45°，∠OAB＝90°，OD＝AD，
∴△OPT为等腰直角三角形，
∵OP＝2，
在Rt△OPT中，OT＝PT，
由勾股定理得：OT2+PT4＝OP2，
即：2PT6＝22，
∴PT＝，
由作图可知：BP为∠OBA的平分线，
又PT⊥OB，∠OAB＝90°，
∴PA＝PT＝，
∴OA＝OP+PA＝2+，
在Rt△OAD中，OD＝AD，
由勾股定理得：OD2+AD2＝OA2，
即：2AD2＝（2+）8，
∴AD＝+1，
∵∠BAC＝∠OAC＝45°，MQ⊥AB，
∴△AJQ和△AAQK均为等腰直角三角形，
∴JA＝JQ，KA＝KQ，
∵AC为∠OAB的平分线，QJ⊥AO，
∴QK＝AK，
∴QJ＝AJ＝KQ＝AK，
∴四边形AKQJ为正方形，
设JQ＝a，则AQ＝a，
∵BP为∠OBA的平分线，MQ⊥OB，
∴MQ＝QK＝a，
∴AD＝AM+MD＝a+a，
∴a+a＝，
解得：a＝1，
∴AJ＝QJ＝1，
∴OJ＝OA﹣AJ＝7+﹣1＝，
∴点Q的坐标为（+1．
故选：B．
10．（4分）定义平面内任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，点P（﹣3，﹣2）与点Q（2，2）PQ＝|﹣3﹣2|+|﹣2﹣2|＝5+4＝9，若点A在直线上，点B为抛物线y＝x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据定义表示出曼距dAB，当A、B两点横坐标相等时，dAB取得最小值，求解即可．
【解答】解：由题意得：设，B（b，b2+2b），
∴，
当A、B两点横坐标相等时，dAB取得最小值，
∴，
∴曼距dAB的最小值为；
故选：C．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案。
11．（4分）因式分解：3mn+m＝　m（3n+1）　．
【答案】m（3n+1）．
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
【解答】解：3mn+m＝m（3n+3），
故答案为：m（3n+1）．
12．（4分）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 　　．
【答案】．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率＝．
故答案为：．
13．（4分）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，则∠P＝ 　55°　．
【答案】55°．
【分析】由∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，得到∠FEP＝80°，∠BEF＝120°，由平行线的性质推出∠EFD+∠BEF＝180°，得到∠EFD＝60°，求出∠EFP＝×60°＝45°，由三角形内角和定理即可得到∠P的度数．
【解答】解：∵∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，
∴∠FEP＝80°，∠BEF＝3∠BEP＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF＝180°，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFP＝3∠DFP，
∴∠EFP＝×60°＝45°，
∴∠P＝180°﹣45°﹣80°＝55°．
故答案为：55°．
14．（4分）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 　y＝﹣0.5x+0.5　．
【答案】y＝﹣0.5x+0.5．
【分析】可设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A、B的坐标代入可得k和b的值，即可求得直线AB的解析式，易得AB∥CD，则直线AB和CD一次项的系数相等，进而设出直线CD的解析式，把点C的坐标代入可得直线CD的函数表达式．
【解答】解：由题意得：∠ABE＝∠CBO，∠BCO＝∠DCF，
∴∠ABC＝180°﹣2∠CBO，∠DCB＝180°﹣2∠BCO，
∴∠ABC+∠DCB＝180°﹣3∠CBO+180°﹣2∠BCO＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO）＝360°﹣5×90°＝180°，
∴AB∥CD，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣0.7x﹣0.5，
∴设直线CD的解析式为：y＝﹣5.5x+m，
∵BC交y轴于点C（0，），
∴m＝，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣0.5x+8.5，
故答案为：y＝﹣0.5x+0.5．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的一点，连结AD，点B落在点E处，DE交AC于点F，则＝ 　　．
【答案】．
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，AJ⊥DF于点J，过点D作DT⊥AC于点T．求出AJ，DT，利用面积法求解．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DT⊥AC于点T．
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
∴AH＝＝＝3，
由翻折变换的性质可知∠ADB＝∠ADE，
∵AH⊥DB，AJ⊥DE，
∴AJ＝AH＝4，
∵AD＝CD，
∴可以假设AD＝DC＝x，则有x2＝33+（4﹣x）2，
∴x＝，
∵DT⊥AC，
∴AT＝TC＝，
∴DT＝＝＝，
∵S△ADF＝×AF×DT＝，
∴＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。
16．（7分）计算：（﹣2024）0﹣|﹣|﹣+3﹣1+2sin60°．
【答案】．
【分析】先根据零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算，再合并即可．
【解答】解：（﹣2024）0﹣|﹣|﹣﹣1+7sin60°
＝1﹣
＝
＝．
17．（7分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】﹣1＜x≤3，该不等式组的整数解为0，1，2，3．
【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其所有整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤8，
∴该不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
∴该不等式组的整数解为6，1，2，6．
18．（7分）如图，在 ABCD中，点E，BC上，且AE＝CF，BD相交于点O，求证：OE＝OF．
【答案】见试题解答内容
【分析】先判断出DE＝BF，进而判断出△DOE≌△BOF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，且∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF
19．（8分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，BE⊥AD，斜坡AB长26m
（1）求坡高BE；
（2）本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：sinα＝0.4，cosα＝0.9，tanα＝0.5，sinβ＝0.9，cosβ＝0.3，tanβ＝3）
【答案】（1）BE＝24m；
（2）教学楼的高度为16.3m．
【分析】（1）由斜坡AB的坡比可设设BE＝12x m，AE＝5x m，在Rt△ABE中，根据勾股定理构造方程即可求解；
（2）设BG＝x m，则EG＝24﹣x（m），由得到FG＝2x m，证明四边形FHEG为矩形，得到FG＝HE＝2x m，FH＝GE＝24﹣x（m），FG∥HE，进而∠β＝∠4，AH＝2x﹣10（m），根据，即可求出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为2.4：2，
∴＝＝，
设BE＝12x m，AE＝5x m，
∵在Rt△ABE中，AE4+BE2＝AB2，
∴（7x）2+（12x）2＝268，解得x＝2，
∴AE＝10m，BE＝24m；
（2）由（1）知，BE＝24m，
设BG＝x m，则EG＝24﹣x（m），
∵，
∴FG＝2x m，
∵FG⊥BE，BE⊥HD，
∴∠1＝∠7＝∠3＝90°，
∴四边形FHEG为矩形，
∴FG＝HE＝2x m，FH＝GE＝24﹣x（m），
∴∠β＝∠2，AH＝HE﹣AE＝2x﹣10（m），
∴，
即，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴FH＝24﹣3.71＝16.29≈16.3（米），
故教学楼的高度为16.3米．
20．（8分）如图AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC与⊙O相交于点D，分别连接BE、DE，∠BED＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若CD＝2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）30°；
（2）．
【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理得到∠BAD＝60°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，最后根据直角三角形性质求解，即可解题．
（2）利用圆周角定理，切线的性质，勾股定理和直角三角形性质分别求出AC，AD，AB，BD，连接OD，再根据圆周角定理得到∠AOD，最后利用三角形中线的性质和阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形AOD求解，即可解题．
【解答】解：（1）连接AD，
由题意可得：
∴∠BAD＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝30°；
（2）由题意可得：∠BAC＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∵CD＝2，
∴AC＝4，
∴，
∴，，
∴，
连接OD，
∵，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∵OB＝OA，
∴OD为△ADB的中线，
∴，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形AOD
＝
＝
＝．
21．（9分）某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制），下面给出部分信息：
a．学生成绩的统计图如图（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．在80≤x＜90这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89
c．成绩不低于90分为优秀
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查采用的方式是 　抽样调查　（选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 　50　；
（2）70≤x＜80这组有 　14　名同学，80≤x＜90这组学生人数所占的百分比为 　32%　；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．
【答案】（1）抽样调查，50；
（2）14，32%；
（3）见解析；
（4）104名．
【分析】（1）根据抽样调查和全面调查的定义可知本次调查采用的方式是抽样调查，用“60≤x＜70”的频数除以对应的百分比可得样本容量；
（2）用总人数减去其它组的人数即可得70≤x＜80组的人数，用80≤x＜90组学生人数除以总人数即可得所占的百分比；
（3）根据题意可得“70≤x＜80”和“80≤x＜90”的频数，进而补全频数分布直方图；
（4）用总人数乘样本中达到优秀的人数比例即可．
【解答】解：（1）本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是：5÷10%＝50；
故答案为：抽样调查，50；
（2）成绩在80≤x＜90这一组的共有16名，成绩在70≤x＜80这一组的有50﹣2﹣3﹣16﹣13＝14（名），
80≤x＜90这组学生人数所占的百分比为×100%＝32%；
故答案为：14，32%；
（3）补全频数分布直方图如下：
（4）400×＝104（名），
答：该校七年级学生达到优秀的大约有104名．
22．（10分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元．
（1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价；
（2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？
【答案】（1）A品牌足球售价为48元，B品牌足球售价为60元；
（2）学校至少要购买33个A品牌足球．
【分析】（1）设去年A品牌足球售价为x元，则B品牌足球售价为（x+12）元，根据去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校要购买y个A品牌足球，则学校要购买（50﹣y）个B品牌足球，根据今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设去年A品牌足球售价为x元，则B品牌足球售价为（x+12）元，
由题意得：＝×1.5，
解得：x＝48．
经检验，x＝48是原分式方程的解，
∴x+12＝60，
答：A品牌足球售价为48元，B品牌足球售价为60元；
（2）设学校要购买y个A品牌足球，则学校要购买（50﹣y）个B品牌足球，
由题意得：48×（8﹣5%）y+60×（1+10%）（50﹣y）≤×（2880+2400），
解得：y≥，∵y为正整数，
答：学校至少要购买33个A品牌足球．
23．（10分）【综合与探究】
【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径的图象与性质进行探究．
【探究过程】
（1）确定函数自变量的取值范围；
（2）绘制函数图象：
①列表：列出x与y的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 …
y … ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣3 3 2 m …
②描点：根据表中的数值在坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
（3）结合图象探究函数的性质．
【请完成以下任务】
任务一：函数自变量x的取值范围是 　x≠﹣1　；
任务二：表格中m的值是m＝ 　1　；
任务三：把函数图象补充完整；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”）；
任务五：若一次函数y1＝kx+b与函数相交于点，D（﹣2，﹣1），结合函数图象直接写出使不等式y1＜y2成立的x的取值范围．
【答案】任务一：x≠﹣1；
任务二：1；
任务三：见解析；
任务四：减小；
任务五：x＜﹣2或﹣1＜x＜1．
【分析】任务一：根据分式有意义的条件即可得到结论，
任务二：把（0，m）代入解方程得到m＝1即可；
任务三：根据题意画出函数的图象即可；
任务四：根据反比例函数的性质即可得到结论；
任务五：根据一次函数和反比例函数的交点即可得到结论．
【解答】解：任务一：函数自变量x的取值范围是x≠﹣4，
故答案为：x≠﹣1；
任务二：把（0，m）代入，
故答案为：1；
任务三：把函数图象补充完整如图所示；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，
故答案为：减小；
任务五：如图所示，
，
由图象得，不等式y1＜y4成立的x的取值范围为x＜﹣2或﹣1＜x＜6，
故答案为：x＜﹣2或﹣1＜x＜4．
24．（12分）如图1，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣3），其对称轴为直线l1：x＝1，顶点为D，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点E，对称轴为直线l2，y2与x轴在对称轴左侧的交点为F．
（1）试求抛物线y1和抛物线y2的解析式；
（2）在图1中，点P的坐标为（5，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接PM、EN，求PM+MN+EN的最小值；
（3）如图2，将直线DF沿y轴平移，交y轴于点Q（包括端点），△QDF的面积为正整数时，恰好直线DF与抛物线y1或抛物线y2交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为　（0，3）　．
【答案】（1），；
（2）；
（3）（0，3）．
【分析】（1）利用待定系数法可求出y1的解析式，可得点D坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得抛物线y2的顶点坐标，进而即可求解；
（2）连接EM，由y2解析式可得E（0，3），对称轴为直线l2：x＝﹣1，进而可得MN＝1﹣（﹣1）＝2，点M、N关于y轴对称，得到PM+MN+EN＝PM+EM+2，可知当点P、M、E三点共线时，可知PM+EM最小，此时PM+EM＝PM，利用勾股定理求出PM即可求解；
（3）求出F点坐标，可得直线DF的解析式为y＝﹣x﹣3，设直线DF沿y轴向上平移n个单位长度，则所得直线解析式为y＝﹣x﹣3+n，由x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3+n得n＝2或6；由﹣x2﹣2x+3＝﹣x﹣3+n得n＝4或6，综上可得n＝6，据此即可求解．
【解答】解：（1）已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（8，其对称轴为直线l1：x＝1，
依题意得：，
解得：，
∴抛物线y1的解析式为，
∵，
∴顶点D（1，﹣6），
∵将抛物线y1绕点O旋转 180°后得到新抛物线y2，
∴抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线y7的解析式为，
即；
（2）点P的坐标为（8，0）1上，MN∥x轴与直线l3交于点N，如图1，
∵，顶点坐标为（﹣2，
∴E（0，3）3：x＝﹣1，
∵MN∥x轴，点M在直线 l1上，点N在直线l6上，
∴MN＝1﹣（﹣1）＝7，且点M，
∴EN＝EM，
∴PM+MN+EN＝PM+EM+2，
当点P、M、E三点共线时，此时PM+EM＝PM，
∵，
∴PM+MN+EN的最小值为；
（3）点Q的坐标为（0，3）
把y＝5代入，得：
﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x4＝1，x2＝﹣7，
∴F（﹣3，0），
设直线DF的解析式为y＝kx+d，把点D
，
解得，
∴直线DF的解析式为y＝﹣x﹣3，
设直线DF沿y轴向上平移n个单位长度，则所得直线解析式为y＝﹣x﹣5+n，
由x2﹣2x﹣8＝﹣x﹣3+n得，x2﹣x﹣n＝5，
当直线DF与抛物线y1交点的横、纵坐标均为整数时2+6n＝1+4n是个完全平方数，
∵n≤4﹣（﹣3）＝6，
∴n＝6或6；
由﹣x2﹣3x+3＝﹣x﹣3+n得，x2+x+n﹣6＝0，
当直线DF与抛物线y8交点的横、纵坐标均为整数时2﹣4（n﹣8）＝25﹣4n是个完全平方数，
∴n＝4或8；
综上所述，n＝6，
∴点Q的坐标为（0，8），
当点Q的坐标为（0，3）时，
∵x＝5时，y＝﹣x﹣3＝﹣3，
∴点C（5，﹣3）在直线DF上，
∴S△QDF＝S△FQC+S△DQC
＝
＝18，
经检验，符合题意，
故答案为：（0，3）．
25．（12分）【问题发现】
（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，求BE与DG的数量关系和位置关系．
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG”改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，如图，点E、D、G三点共线，若，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AC＝6，AG平分∠DAC，在射线AF上截取AQ，使得，QC，当时，直接写出AP的长．
【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；
（2）3；
（3）AP＝或．
【分析】（1）证明△BAE≌△DAG（SAS），得出BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，进一步得出结论；
（2）作AH⊥DE于H，可依次求得EG＝5，AH＝，GH＝，解直角三角形Rt△ADH求得DH＝，DG＝4，可证明△ABE∽△ADG，从而，从而得出BE＝3；
（3）分为两种情形：当Q在AF上时，连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR∥AC，交AF于R，可证得∠DAC＝∠GAF，，从而得出△DAT∽△PAQ，从而∠PQA＝∠ATD＝90°，可推出∠CQH＝∠APQ，从而tan∠CQH＝tan∠APQ，从而得出，设CH＝3x，QH＝4x，可求得tan∠CAH＝，从而，从而得出AH＝2CH＝6x，得出（6x）2+（3x）2＝62，得出x＝，进而得出结果；当Q在AF的延长线上时，同样方法得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
设DG和BE的延长线交于H，DH和AB交于O，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD＝AB，AG＝AE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠AOD＝∠BOH，
∴∠BHO＝∠DAO＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）如图2，
作AH⊥DE于H，
∵四边形AEFG是矩形，
∴∠EAC＝90°，
∵AE＝2，AG＝4，
∴EG＝5，
由S△EAG＝EG AH＝，
5AH＝12，
∴AH＝，
∴GH＝＝，
在Rt△ADH中，AD＝，
∴DH＝＝，
∴DG＝DH﹣GH＝＝4，
∵矩形ABCD∽矩形AEFG，
∴∠EAG＝∠BAD，，
∴∠BAE＝∠DAC，
∴△ABE∽△ADG，
∴，
∴BE＝；
（3）如图3，
当Q在AF上时，
连接BD，交AC于T，交AF的延长线于H，交AF于R，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AT＝，
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠DAB＝∠GAE，∠DAC＝，∠GAF＝，
∴∠DAC＝∠GAF，
∴∠DAG＝∠CAF，
∵AG平分∠DAC，
∴∠DAG＝∠DAC，
∴∠CAF＝∠GAF，
∴∠DAC＝∠GAF，
∵，
∴△DAT∽△PAQ，
∴∠PQA＝∠ATD＝90°，
∴tan∠PAQ＝，∠PAQ+∠APQ＝90°，
∵tan∠PQC＝，
∴∠PAQ＝∠PQC，
∴∠CQH＝∠APQ，
∴tan∠CQH＝tan∠APQ，
∴，
设CH＝3x，QH＝8x，
如图4，
tan∠CAH＝，
∴，
∴AH＝7CH＝6x，
∴（6x）5+（3x）2＝42，
∴x＝，
∴AQ＝2x＝，
∴AP＝；
如图8，
当Q在AF的延长线上时，
由上可知：AQ＝4x+6x＝10x，
∴AQ＝10×＝3，
∴AP＝．
综上所述：AP＝或．

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