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第6章 二元一次方程
6.1 二元一次方程组和它的解
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握代入消元法解二元一次方程组的具体步骤，能灵活选择方程进行变形，并通过代入消去一个未知数，求解方程组。
2.通过实际问题抽象出方程组，体会数学建模思想。经历代入法的探究过程，理解消元思想的核心作用。
3. 感受代入法在实际生活中的应用价值，增强学习兴趣。培养严谨的代数运算习惯和逻辑推理能力。
学习重点： 代入法的步骤（变形—代入—解一元一次方程—回代）及其应用
学习难点： 方程变形时如何选择合适的变量进行代换（如系数简单或分数系数处理），复杂代数运算中的符号处理与计算准确性。
预习自测
一、知识链接
1.(1)什么是二元一次方程组？
(2)①②③是二元一次方程组吗？①②和③有什么不同？
(3)如何用代入法解方程组①②？试着做一做．
自学自测
2.已知方程3x+2y=5，用含x的代数式表示 y,则 y= .
3.解方程组，用代入消元法消去未知数 较好.
教学过程
一、创设情境、导入新课
在 6.1 节的问题 2 中,设应拆除 旧校舍,建造 新校舍,那么根据题意, 可列出方程组
你会怎样求这个二元一次方程组的解呢
二、合作交流、新知探究
探究一：探索
上述方程②表明, 与 的值是相等的,因此,方程①中的 可以看成 ,即将②代入①：你能完成吗：
________
可得
【以上过程通过 “代入”, “消去” 了 ,得到了一元一次方程, 就可以解了!】
解 把②代入①, 得
把 代入②,得
所以
答: __________________________
【强调】在这个解法中,通过将 ② 代入①,能消去未知数 ,得到一个关于 的一元一次方程,求出它的解,进而由②求出 的值.
探究二：典例精析
用同样的方法可以解 6.1 节问题 1 中的二元一次方程组.
例 1 解方程组:
【这里没有一个方程是一个未知数用另一个未知数表示的形式,怎么办呢 】
解：
例 2 解方程组:
解：
【强调】在解例 1 、例 2 时,我们是通过 “代入”消去一个未知数, 将方程组转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法.
思考 回顾并概括上面的解答过程, 并想一想, 怎样解方程组:
请同学们总结：
拓展：
1.已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，则y =_________________，用含y的式子表示x，则x =________________
2.已知x＝2，y＝2是方程ax－2y＝4的解，则a＝________.
三、课堂练习
【必做题】
1.用代入法解下列方程组：
(2)
2. 用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是 ( )
A.3x-2x-3=8 B.3x-2x-6=8
C.3x-4x-3=8 D.3x-4x+6=8
3. 已知 则用含x的式子表示 y为____________________
【选做题】
4.已知|2x+3y-7|+(3x-2y-4) =0,则x= ,y= .
5. - xa+b+2+9y3a-b+1=11是关于x,y的二元一次方程,求2a+b的值
【综合拓展作业】
6. 创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购 A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买3个A 型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个 A 型垃圾桶和5个 B型垃圾桶共需要860元，求两种型号垃圾桶的单价.
总结反思、拓展升华
1.代入消元法：是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法
2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】 必做题
1.用代入法解方程组时,变形正确的是(　　)
A.先将①变形为x=再代入② B.先将①变形为y=,再代入②
C.先将②变形为x=,再代入① D.先将②变形为y=9(4x+1),再代入①
2.由方程组可得出x与y的关系是(　　)
A.2x+y=4 B.2x-y=4 C.2x+y=-4 D.2x-y=-4
3.用代入法解下列方程组：
(1)　　　(2)
【综合拓展类作业】选做题
4. 有大、小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t.
(1)一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨？
(2)若有41 t货物需要运输，计划安排大、小两种货车(两种都有)恰好一次性运完，每辆货车均满载，则共有几种运货方案？
答案
1.(1)什么是二元一次方程组？
方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
(2)①②③是二元一次方程组吗？①②和③有什么不同？
都是二元一次方程组．①②的两个方程中有一个未知数的系数为1或－1，③的两个方程中未知数的系数都不为1或－1.
(3)如何用代入法解方程组①②？试着做一做．
解方程组①，得解方程组②，得
自学自测
已知方程 3x+2y=5，我们需要用含 x 的代数式表示 y。
首先，将方程 3x+2y=5 中的 3x 移到等式的另一边，得到：
2y=5 3x
然后，两边同时除以2，得到：
y=
观察方程①和②，我们可以看到方程②中 x 的系数较小（为2），因此用代入消元法消去未知数 x 较好。
具体步骤为：
首先，由方程②解出 x：
x=27y+2
然后，将这个表达式代入方程①中，消去 x，从而解出 y。
最后，将求得的 y 值代回到任一方程中，求出 x 的值。
【必做题】
1.解：(1)由①式，我们可以解出 x 关于 y 的表达式：
x=y+2③
将③式代入②式，以消去 x 变量：
2(y+2)+y=7
2y+4+y=7
3y=3
y=1
将y=1代入③式求出 x 的值：x=3
因此，方程组的解为：
x=3,
y=1
(2) 由①式，我们可以解出 y 关于 x 的表达式：y=2x 5③
接下来，我们将③式代入②式，以消去 y 变量：
4x+3(2x 5)= 10
4x+6x 15= 10
10x=5
x=
得到 x后，我们再将其代入③式求出 y 的值：
y=2× 5
y=1 5
y= 4
因此，方程组的解为：
x= ,y= 4
2.答案：D
3.y= 3x+8
【选做题】
4. x=2，y=1。
5.x和y的最高次数都应为1。
a+b+2=1
移项得：a+b= 1(方程1)
3a b+1=1
移项得：3a b=0(方程2)
接下来，我们解这个二元一次方程组来找出a和b的值。
将方程1和方程2相加，得：a=
将a 代入方程1中，得：b=
最后，我们求2a+b的值：
2a+b=-
【综合拓展作业】
5. 设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元。
根据题意，我们可以列出以下方程组：
3x+4y=580(1)
6x+5y=860(2)
为了消元求解，我们可以将方程(1)乘以5，方程(2)乘以-4，然后相加：得x=60
将x=60代入方程(1)得：y=100
所以，A型垃圾桶的单价为60元，B型垃圾桶的单价为100元。
【知识技能类作业】 必做题
1. 选B.先将①移项得3y=2-2x,再两边同除以3得y=.
2.【解析】选A.由2x+m=1,得m=1-2x;
由y-3=m,得m=y-3,所以1-2x=y-3, 即2x+y=4.
3.解：(1)由②，得x＝－y－.③
把③代入①，得4(－y－)＋5y＝－7.解这个方程，得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝－3.
所以这个方程组的解是
(2)整理方程①，得3x－2y＝4.③
由③，得x＝y＋.④
把④代入②，得5(y＋)＋8y＝1.解这个方程，得y＝－.
把y＝－代入④，得x＝1.
所以这个方程组的解是
【综合拓展类作业】选做题
4. 解：(1)设一辆大货车一次可以运货x t，一辆小货车一次可以运货y t.
根据题意，得解这个方程组，得
答：一辆大货车一次可以运货4 t，一辆小货车一次可以运货2.5 t.
(2)设安排m辆大货车，n辆小货车．
根据题意，得4m＋2.5n＝41.变形，得m＝.
因为m，n都是正整数，所以或
所以共有两种运货方案：
方案1：安排大货车4辆，小货车10辆；方案2：安排大货车9辆，小货车2辆．
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