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专题2.2 平行线的判定【八大题型】
【北师大版2024】
【题型1 平行线】 1
【题型2 平行公理及其推论】 3
【题型3 添加条件使两直线平行】 6
【题型4 补充过程使两直线平行】 8
【题型5 直接证明两直线平行】 12
【题型6 旋转使两直线平行】 14
【题型7 平行线的判定的应用】 17
【题型8 作辅助线证平行】 20
知识点1：平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
【题型1 平行线】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列属于平行线的有（ ）
①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米直线跑道线；④平直的火车铁轨
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查平行线的定义，同一平面内不相交的两条直线互相平行．
根据平行线的定义对生活实例进行判断即可得出答案．
【详解】解：属于平行线的有：①③④，共3个，
故选：C．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号）
【答案】 ② ③
【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键．
【详解】解：对于①，是由两条射线组成，且射线无限延伸后没有交点，故不能相交；
对于②，是由一条直线、一条射线组成，当直线线延时，与射线有交点，故可以相交；
对于③，由两条直线组成，且在同一平面内没有交点，故一定平行，
故答案为：②；③．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画．
【答案】见解析
【分析】用直尺和三角板通过平移过点画；过点画，即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求，
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题．
(1)用符号表示两条棱的位置关系：
①______； ②______；
③______； ④______．
(2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线．
【答案】(1)①，③，②，④
(2)不是，同一平面
【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义．
（1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断；
（2）由图形即可得到答案．
【详解】（1）根据图可知，，，，
故答案为：①，③，②，④；
（2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线．
故答案为：不是，同一平面．
知识点2：平行公理及其推论
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行
【题型2 平行公理及其推论】
【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,不限定点是否在直线上.
【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）经过一点画已知直线的平行线，能画（ ）
A．条 B．条 C．条 D．不能确定
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的公理，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，注意要分情况进行讨论，熟记平行线公理，分情况进行讨论是解题关键．
根据点在直线上与不在直线上两种情况进行讨论求解．
【详解】解：①若点在直线上，则不能作出的平行线，
②若点不在直线上，则有且只有一条直线与平行，
所以不能确定．
故选：D．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（ ）
A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能
【答案】D
【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案．
【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行；
当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行；
当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条；
当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行；
故选：D．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①一条直线的垂线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的有（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】C
【分析】本题考查判断说法正确与否，平行定义等．根据题意逐一对序号进行判断即可得到本题答案．
【详解】解：∵一条直线的垂线有无数条，即①错误，
∵过直线外一点作一条直线的平行线只有一条，即②错误，
∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，即③正确，
∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，即④正确，
故选：C．
【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在括号内填理由．
（1）如图①，因为，，所以（ ）；
（2）如图②，因为，过点F画（ ），所以（ ）．
【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】（1）根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；
（2）根据平行公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可．
【详解】解：（1）因为，，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）；
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）如图②，因为，过点F画（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行），所以（平行于同一条直线的两条直线平行）．
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
知识点3：平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 添加条件使两直线平行】
【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；
③；④．
其中能判断的是（　　）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】解：①∵，
∴；
②∵，，
∴，
∴；
③∵，
∴；
④∵，
∴.
故选：B
【变式3-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行可知添加条件即可．
【详解】解：可以添加，可根据同位角相等，两直线平行得到，
可以添加，可根据内错角相等，两直线平行得到，
可以添加，可根据同旁内角互补，两直线平行得到，
可以添加，进而可得，根据同旁内角互补，两直线平行得到，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，点在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得，则添加的条件可以是______（填出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线判定定理得出结果即可．
【详解】解：，
（内错角相等，两直线平行），
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3-3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点是四边形边延长线上一点，连接，要使，则可添加的条件为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定即可解答．
【详解】解：由题意得，要使，则可添加的条件为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【题型4 补充过程使两直线平行】
【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据．
如图，点M在直线上，直线，垂足为P，平分，．求证：．
证明：平分，
（　　），
，，
______________________，
，
，
直线，
（　　），
（　　）．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，正确理解平行线的判定是解题的关键．先根据角平分线的定义得到，进一步得出，从而得到，再根据平行线的判定，即得答案．
【详解】证明：平分，
（角平分线的定义），
，，
，
，
，
直线，
（垂直的定义），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；，；垂直的定义；内错角相等，两直线平行．
【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：（已知）
（　　）；
（　　）；
又，（已知），
___________（垂直的定义）；
（　　）；
即______________________；
______________________（同位角相等，两直线平行）．
【答案】等量代换；同位角相等，两直线平行；；等式的性质；；；；．
【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定是解题的关键．
根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：，，理由如下：
如图所示，
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
又，（已知），
（垂直的定义），
（等式的性质），
即，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：等量代换；同位角相等，两直线平行；；等式的性质；；；；．
【变式4-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，平分，平分，且
求证：．
证明：平分，
（① ）．
平分（已知），
② （角的平分线的定义）．
（③ ）
即．
（已知），
④ （⑤______）
（⑥_______）．
【答案】①角平分线的定义；②；③等式性质；④；⑤等量代换；⑥同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题主要考查了角平分线定义，平行线的判定，根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定，得出．解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】证明：平分（已知），
（角平分线的定义）．
平分（已知），
（角的平分线的定义）．
（等式性质）．
即．
（已知），
（等量代换）．
（同旁内角互补，两直线平行）．
【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且．
请说明：．
解：∵（已知），
∴_____________（_______________）．
∴_____________．
∵（已知），
∴_____________=_____________（_____________）．
∴（__________________________）．
【答案】；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解．
【详解】解：：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴，
∵（已知），
∴（同角的余角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【题型5 直接证明两直线平行】
【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行.
【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则可由同位角相等，两直线平行证明．
【详解】证明：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到，即可判定得出两直线平行．
【详解】解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定：
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【题型6 旋转使两直线平行】
【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．

【答案】或或或
【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．
设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案
【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，解得：；
当秒时，，解得：；
当秒时，木棒a停止运动，
当时，，解得：，不符合题意；
当时，，解得：；
，解得：，
当时，木棒b停止运动，
综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，
故答案为：或或或．
【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（ ）．
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【详解】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线，a与c交于点P．若，则 ．将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于）后可使直线．
【答案】 90
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；根据两直线平行，同位角相等可得的度数，再根据垂直的定义即可解决问题．
【详解】解：∵
∴；
∵
∴直线a能点P逆时针旋转后可使直线
故答案为：，90．
【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．

【答案】或
【分析】分和两种情况求解．
【详解】当时，
∵，
∴，
∵，
；
当时，
∵，
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【题型7 平行线的判定的应用】
【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
【答案】或或；理由见解析
【分析】因为是直角，只要找出与互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为是直角，和是同位角，如果度量出，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行．类似地，和是内错角，和是同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，根据定理内容解题是关键．
【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、，和邻补角，不能证明；
B、，和是同旁内角，同旁内角相等不能证明；
C、，根据同旁内角互补，能证明；
D、，与邻补角，不能证明．
故选：C．
【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的；
B、∵，，∴（同旁内角互补，两直线平行），说明，故该选项是正确的；
C、∵，，且与是内错角，但不相等，∴不能说明，故该选项是错误的；
D、∵，，且与是同旁内角，但不互补，∴不能说明，故该选项是错误的；
故选：B．
【题型8 作辅助线证平行】
【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角.
【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．
(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②32或50
【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义得到，则，由此即可证明；
（2）①如图所示，过点G作，则，由平行线的性质得到，，则，再由
， 得到，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作，则，利用平行线的性质求出，的度数，然后根据建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的邻补角，，
∴，
又∵平分．
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵
∴，
如图所示，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴

又∵，
∴，
∴；
②如图2-1所示，当时，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得；

如图2-2所示，
由（2）①，
∴，
∵，
∴
解得；
综上所述，t的值为或50．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键．
【变式8-1】（23-24七年级·重庆北碚·期中）如图，在四边形中，点在上，平分，，．
(1)求证：；
(2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证；
（2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
如图，过作，
∴，，
∴，
∴的度数为．
【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点,
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识．
（1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出；
（2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
（3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点N作，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，
∵，即
∴
∴，
∴，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【变式8-3】（23-24七年级·广东韶关·期中）如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．

(1)求证：．
(2)如图1，已知平分，平分，求的大小．
(3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）与互补，则，而，可得，进而判定．
（2）由得，由平分，平分得，，由三角形内角和定理可得结果．
（3）过点O作，过点作，得到，，又由平分，平分，得到，从而得到结果．
【详解】（1）∵与互补，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）由（1）得，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图，过点O作，过点作，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，正确添加平行线，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
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专题2.2 平行线的判定【八大题型】
【北师大版2024】
【题型1 平行线】 1
【题型2 平行公理及其推论】 2
【题型3 添加条件使两直线平行】 3
【题型4 补充过程使两直线平行】 4
【题型5 直接证明两直线平行】 6
【题型6 旋转使两直线平行】 7
【题型7 平行线的判定的应用】 9
【题型8 作辅助线证平行】 10
知识点1：平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
【题型1 平行线】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列属于平行线的有（ ）
①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米直线跑道线；④平直的火车铁轨
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号）
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画．
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题．
(1)用符号表示两条棱的位置关系：
①______； ②______；
③______； ④______．
(2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线．
知识点2：平行公理及其推论
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行
【题型2 平行公理及其推论】
【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,不限定点是否在直线上.
【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）经过一点画已知直线的平行线，能画（ ）
A．条 B．条 C．条 D．不能确定
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（ ）
A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①一条直线的垂线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的有（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在括号内填理由．
（1）如图①，因为，，所以（ ）；
（2）如图②，因为，过点F画（ ），所以（ ）．
知识点3：平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 添加条件使两直线平行】
【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；
③；④．
其中能判断的是（　　）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
【变式3-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是 ．（写出一个即可）
【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，点在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得，则添加的条件可以是______（填出一个即可）．
【变式3-3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点是四边形边延长线上一点，连接，要使，则可添加的条件为 ．（写出一个即可）
【题型4 补充过程使两直线平行】
【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据．
如图，点M在直线上，直线，垂足为P，平分，．求证：．
证明：平分，
（　　），
，，
______________________，
，
，
直线，
（　　），
（　　）．
【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：（已知）
（　　）；
（　　）；
又，（已知），
___________（垂直的定义）；
（　　）；
即______________________；
______________________（同位角相等，两直线平行）．
【变式4-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，平分，平分，且
求证：．
证明：平分，
（① ）．
平分（已知），
② （角的平分线的定义）．
（③ ）
即．
（已知），
④ （⑤______）
（⑥_______）．
【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且．
请说明：．
解：∵（已知），
∴_____________（_______________）．
∴_____________．
∵（已知），
∴_____________=_____________（_____________）．
∴（__________________________）．
【题型5 直接证明两直线平行】
【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行.
【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．

【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由．
【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：．
【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
【题型6 旋转使两直线平行】
【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．

【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（ ）．
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线，a与c交于点P．若，则 ．将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于）后可使直线．
【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．

【题型7 平行线的判定的应用】
【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型8 作辅助线证平行】
【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角.
【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．

(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________．
【变式8-1】（23-24七年级·重庆北碚·期中）如图，在四边形中，点在上，平分，，．
(1)求证：；
(2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．
【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点,
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ．
【变式8-3】（23-24七年级·广东韶关·期中）如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．

(1)求证：．
(2)如图1，已知平分，平分，求的大小．
(3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）．
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