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专项四　特殊平行四边形中的折叠问题
类型 1 矩形中的折叠问题
1.如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB的度数为　 　.
2.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC上,且AM=BN,AD=3AM,E为BC边上一动点,连接DE,将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC'E,当点C'恰好落在线段MN上时,CE的长为　 　.
3.如图,四边形ABCD为矩形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于　 　.
4.如图,在矩形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长是　 　.
5.如图,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,则点D的坐标为　 　.
6.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为线段BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接DF,G为DF的中点.当D,F,E三点共线时,CE的长为　 　;在点E的整个运动过程中,C,G两点距离的最小值为　 　.
7.如图,在矩形ABCD中,已知AB=10,AD=6,动点P从点D出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段DC向终点C运动,运动时间为t秒,连接AP,把△ADP沿着AP翻折得到△AEP.作射线PE与边AB交于点Q,当QE=QB时,t=　 　.
8.如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,使点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD,交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形.
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.
类型 2 菱形中的折叠问题
9.如图,已知四边形ABCD是边长为6的菱形,且∠BAD=120°,点E,F分别在AB,BC边上,将菱形沿EF折叠,使点B恰好落在AD边上的点G处.若EG⊥AC,则FG的长为　 　.
10.如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,点E在BC边上,将菱形纸片ABCD沿DE折叠,点C的对应点为点C'.若DC'是线段AB的垂直平分线,则∠DEC的度数为　 　.
11.如图,在折叠千纸鹤时,其中某一步需要将菱形纸片ABCD分别沿AM,AN所在直线进行折叠,使得菱形的两边AB,AD重合于AO(AO在对角线AC上).若此时∠MON=80°,则∠AMO=　 　.
12.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,求AF的长.
类型 3 正方形中的折叠问题
13.如图,在正方形ABCD中,E为边BC上一点,将△ABE沿AE折叠至△AB'E处,B'E与AC交于点F.若∠EFC=69°,则∠CAE的大小为　 　.
14.如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE,折叠该纸片,使点A落在AE上的点G处,并使折痕经过点B,折痕BF与AE交于点H,点F在AD上,若DE=5,则AH的长为　 　.
15.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,P为AD边上的一点(不与点A,D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH.
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化 请证明你的结论.
16.如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE翻折得到△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.
(1)求∠EAG的度数.
(2)求证:AG∥CF.
(3)若AB=6,求△GCF的面积.
【参考答案】
1.57°　【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,∵∠DBC=24°,∴∠ABD=66°.由折叠可得∠BA'E=∠A=90°,∠A'BE=∠ABE=∠ABD=33°,∴∠A'EB=90°-∠A'BE=57°.
2.　【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=5,AD=BC=6,AD∥BC.∵AD=3AM,AM=BN,∴DM=CN=4.易知四边形MNCD是矩形,∴∠DMN=∠MNC=90°,MN=CD=5.设CE=x,则由折叠的性质可知C'E=x,C'D=CD=5,∴MC'===3,∴C'N=2.在Rt△C'NE中,由勾股定理得x2-(4-x)2=22,解得x=,即CE=.
3.4　【解析】由折叠的性质可知BF=EF,AE=AB,∠AEF=90°.因为CD=6,E为CD的中点,所以ED=3,AB=CD=6,又AE=AB=6,所以∠EAD=30°,则∠FAE=×(90°-30°)=30°.设FE=x,则AF=2x.在Rt△AEF中,由勾股定理得(2x)2=62+x2,解得x=2,所以AF=4.
4.　【解析】如图,连接BF,交AE于点O,
由折叠的性质得BE=EF,∠AEB=∠AEF,AE垂直平分BF.∵E为BC的中点,∴BE=CE=EF=3,∴∠EFC=∠ECF.∵∠BEF=∠ECF+∠EFC,∴∠AEB=∠ECF,∴AE∥CF,∴∠BFC=∠BOE=90°.在Rt△ABE中,由勾股定理得AE===5.∵S△ABE=AB·BE=BO·AE,∴BO===,∴BF=2BO=.在Rt△BCF中,由勾股定理得CF===.
5.,-　【解析】如图,设BD与OA交于点E,作DF⊥OA于点F.
∵点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),∴OA=4,OC=2.∵四边形ABCO是矩形,∴BC∥OA,∴∠CBO=∠AOB.∵把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,∴∠DBO=∠CBO,∴∠DBO=∠AOB,∴BE=OE.在Rt△EAB中,设BE=OE=x,则AE=4-x.由勾股定理得AB2+AE2=BE2,即22+(4-x)2=x2,解得x=,∴BE=,∴OE=BE=.在Rt△ODE中,OD=OC=2,DE=BD-BE=4-=.由S△ODE=OE·DF=OD·DE得×·DF=×2×,∴DF=.在Rt△ODF中,由勾股定理得OF2=OD2-DF2=22-2=,∴OF=,∴点D的坐标为,-.
6.;-　【解析】如图,取AD的中点H,连接GH,GC,HC.
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=3,AD=BC=4,∠B=90°.由折叠的性质可得AF=AB=3,BE=EF,∠AFE=∠B=90°.设CE=x,则BE=EF=4-x.当E,F,D三点共线时,AF⊥DE.在Rt△AFD中,DF==.在Rt△DCE中,DE2=DC2+CE2,∴(+4-x)2=9+x2,解得x=,∴CE=.∵H为AD的中点,G为DF的中点,∴HG为△DAF的中位线,∴HG=AF=.在Rt△DHC中,HC==.当点G不在线段HC上时,在△GHC中,CG>HC-HG;当点G在线段HC上时,CG=HC-HG,∴CG的最小值为-.故答案为;-.
7.或5　【解析】分两种情况:①当点E在矩形ABCD内部时,过点P作PH⊥AB于点H,过点Q作QG⊥CD于点G,如图1,
∴PH=QG=AD=6.由翻折的性质可知∠APE=∠APD.∵CD∥AB,∴∠APD=∠PAQ,∴∠APQ=∠PAQ,∴AQ=PQ.∵PQ2=PG2+QG2=PG2+62=36+PG2,∴AQ2=36+PG2.∵AQ=DG=DP+PG,∴(DP+PG)2=36+PG2.∵PD=2t,∴(2t+PG)2=36+PG2,解得PG=,∴AQ=PD+PG=2t+=.∵QE=PQ-PE=PQ-DP=PQ-2t,QE=QB,PQ=AQ,∴QB=AQ-2t.∵AQ+QB=AB=10,∴AQ+AQ-2t=10,∴AQ=5+t,∴5+t=,解得t=.
②当点E在矩形ABCD的外部时,如图2.
∵∠APQ=∠APD=∠PAQ,∴AQ=PQ.∵QE=PE-PQ=DP-PQ=2t-PQ,QE=QB,∴QB=2t-AQ,即AB-AQ=2t-AQ,∴AB=2t,∴t==5(此时点P与点C重合).
综上所述,当QE=QB时,t=或5.故答案为或5.
8.【解析】(1)证明:由折叠的性质,得∠BEC=∠BEF,FE=CE.∵FG∥CE,∴∠FGE=∠BEC,
∴∠FGE=∠FEG,∴FG=FE,∴FG=CE,
∴四边形CEFG是平行四边形,又EF=CE,
∴四边形CEFG是菱形.
(2)在矩形ABCD中,∠BAF=90°,AB=6,BF=BC=AD=10,∴AF==8,∴DF=2.设EF=x,则CE=x,DE=6-x.在Rt△DEF中,DF2+DE2=EF2,∴22+(6-x)2=x2,解得x=,∴四边形CEFG的面积是CE·DF=×2=.
9.3　【解析】如图,设AC与EG交于点O,FG与AC交于点H.
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∴∠CAD=∠B=60°.∵EG⊥AC,∴∠GOH=90°.
∵∠EGF=∠B=60°,∴∠OHG=30°,∴∠AGH=90°,∴FG⊥AD.过点A作AM⊥BC于点M,则AM=FG.∵AB=6,∠B=60°,
∴∠BAM=30°,∴BM=AB=3,∴AM==3,∴FG=3.
10.75°　【解析】∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴∠ADC=120°,∠C=60°.∵DC'是线段AB的垂直平分线,∴∠ADC'=30°,∴∠C'DC=90°.由折叠的性质得∠CDE=∠C'DE=45°.在△DEC中,∠DEC=180°-∠CDE-∠C=75°.
11.30°　【解析】∵四边形ABCD为菱形,∴∠B=∠D,∠B+∠BAD=180°.由折叠的性质得∠B=∠AOM,∠D=∠AON,∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD.∵∠MON=80°,∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°,∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°.故答案为30°.
12.【解析】如图,过点F作FH⊥BD于点H.
由折叠的性质得FG=FA.由题意得BD=DG+BG=8.∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°,
∴△ABD为等边三角形,∴AD=BD=8.
设AF=x,则FG=x,DF=8-x.
在Rt△DFH中,∠FDH=60°,∴∠DFH=30°,∴DH=DF=4-x,FH=4-x,∴HG=DH-DG=2-x.在Rt△FHG中,由勾股定理得x2=4-x2+2-x2,解得x=,即AF的长为.
13.12°　【解析】∵∠EFC=69°,∠ACE=45°,∴∠BEF=69°+45°=114°.由折叠的性质可知∠BEA=∠BEF=57°,∴∠CAE=∠BEA-∠ACE=57°-45°=12°.
14.　【解析】∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=12,∠BAD=∠D=90°.由折叠的性质可得,BF⊥AE,AH=GH,∴∠BAH+∠ABH=90°.又∵∠FAH+∠BAH=90°,∴∠ABH=∠FAH,∴△ABF≌△DAE(ASA),∴AF=DE=5,∴在Rt△ABF中,BF===13.∵S△ABF=AB·AF=BF·AH,∴12×5=13AH,∴AH=.故答案为.
15.【解析】(1)证明:由折叠的性质,得∠EPH=∠EBC=90°,PE=BE,∴∠EBP=∠EPB,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠PBC=∠BPH.∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC,∴∠APB=∠BPH.
(2)△PDH的周长不变.证明如下:
过点B作BQ⊥PH,垂足为Q(图略).
由(1)知∠APB=∠BPH.在△ABP和△QBP中,∠APB=∠QPB,∠A=∠BQP,BP=BP,
∴△ABP≌△QBP(AAS),∴AP=QP,AB=BQ.又AB=BC,∴BC=BQ.在Rt△BCH和Rt△BQH中,BC=BQ,BH=BH,∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL),∴CH=QH,∴△PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+CH=AD+CD=8.故△PDH的周长不发生变化.
16.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°.由翻折的性质可知,∠DAE=∠FAE=∠DAF,AF=AD=AB,∠AFE=∠D=90°,∴∠AFG=90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中,AB=AF,AG=AG,∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),∴∠BAG=∠FAG=∠BAF,∴∠EAG=(∠BAF+∠DAF)=×90°=45°.
(2)证明:由(1)知Rt△ABG≌Rt△AFG,∴∠BGA=∠FGA,BG=FG.设BG=FG=x,DE=EF=a,则CE=2a,BC=CD=3a.在Rt△ECG中,由勾股定理得CG2+CE2=EG2,即(3a-x)2+(2a)2=(x+a)2,解得x=a,∴CG=3a-x=a,∴FG=BG=GC,∴∠GCF=∠GFC.∵∠BGF=∠GCF+∠GFC=2∠GCF,∠BGF=2∠BGA,∴∠GCF=∠BGA,∴AG∥CF.
(3)由AB=6及(2)可知,FG=BG=GC=3,EC=4.由勾股定理得GE===5,∴S△CEG=·GC·EC=×3×4=6.∵△CEG与△GCF为等高不同底的两个三角形,∴二者面积之比等于底边边长之比,即S△CEG∶S△GCF=GE∶GF=5∶3,∴S△GCF=×6=.

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