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广东省肇庆市 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中有一点 (2024,2025,2026)，则该点关于 轴对称点 ′的坐标为( )
A. (2024, 2025, 2026) B. ( 2024,2025,2026)
C. ( 2024, 2025, 2026) D. ( 2024, 2025,2026)
2.已知集合 = {( , )| 2 + 2 2 2 + 1 = 0}，集合 = {( , )|2 + 2 3 = 0}.则 ∩ 的元素个数
为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.空间中有三个平面 ， ， 与三条直线 ， ， ，则下列说法一定正确的是( )
A. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C. 若 // ， // ，则 // D. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
2
4.已知双曲线 2 + = 1，则该双曲线的渐近线方程为( )
2025
1 1
A. = ± B. = ± C. = ±2025 D. = ±45
2025 45
5.三棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ， = 3， = 4， = 5，已知三棱锥 外接球体积
为36 ，则 =( )
A. √ 10 B. √ 11 C. 2√ 3 D. √ 13
32
6.已知圆 ： 2 + 2 = 4，过(0,1)的直线 与圆 交于 ， 两点 = ，则直线 的方程为( )
5
1 √ 3 1 √ 3
A. = ± +1 B. = ± + 1 C. = ± + 1 D. = ± + 1
2 2 4 4
7.过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 的直线交 于 ， 两点( 点在 点上方)，若| | = 3| | = 3，则
直线 的方程为( )
3√ 3
A. = √ 2 3 B. = 1 C. = √ 3 D. = 2 3
4
8.在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为 (4,7,4)， (7,11,4)， (11,8,9)，则该正方体的
外接球球心坐标为( )
11 15 15 13 19 13 17
A. ( , 9, 4) B. ( , , ) C. (9, , ) D. (11, 13, )
2 2 2 2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中， 为坐标原点.若 (1,1,1)、 (2,3,4)、 (3,5, )，下列说法正确的是( )
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A. 存在实数 ，使 ⊥
B. 存在实数 ，使| | = | |
7
C. 若 , 为锐角，则 >
3
D. 若{ , , }为一组基底，则 ≠ 7
1
10.如图所示的圆台 1 2，在轴截面 中， = = = , = 4，2
则( )
A. 该圆台的高为1
B. 该圆台轴截面面积为3√ 3
7√ 3
C. 该圆台的体积为
3
D. 一只小虫从点 沿着该圆台的侧面爬行到 的中点，所经过的最短路程为5
11.已知圆 ：( + 1)2 + 2 = 1和圆 ：( 4)21 2 +
2 = 4，过圆 2上任意一点 作圆 1的两条切线，设两
切点分别为 、 ，则( )
4√ 2
A. 线段 的最小值为
3
8√ 2
B. 线段 的最大值为
3
6
C. 当直线 与圆 2相切时，原点 到直线 的距离为 5
4
D. 当直线 平分圆 2的周长时，原点 到直线 的距离为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平行六面体 1 1 1 1中，∠ 1 = ∠ 1 = 30°, = = 1, 1 = √ 3.若 1 = 2√ 3，
则∠ 的值为______．
2 2
13.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上顶点为 ，两个焦点为 1， 2，线段 2的垂直平分线过点 ， 1
则椭圆的离心率为______．
14.已知一圆锥底面半径 与其内切球半径 的比为√ 2：1，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为______．
注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中， ⊥平面 , = = 1, = = √ 2．
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(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的大小．
16.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为√ 5.点 为双曲线右支上的一点，
(1)若点 到 轴的距离为2，△ 1 2的面积为2√ 5，求双曲线的标准方程；
(2)若 1 ⊥ 2，求tan∠ 1 2的值．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， ⊥ ， // ，平面 ⊥平面 ，平面
与平面 的交线为 ．
(1)证明： // ；
(2)已知 = = = 2， = 3，∠ = 30°，点 是 上一动点，当直线 与平面 所成角的正弦
2√ 7
值为 时，求 的长度．
7
18.(本小题12分)

已知圆 2 21： + = 1， 为圆 1外的动点.过点 作圆 1的切线，切点为 ， ，满足∠ = .记动点 的3
轨迹为 2．
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(1)求 2的轨迹方程；
(2)设点 为直线 = 3上的一点.过点 作轨迹 2的两条切线，切点为 ， ．
( )证明：直线 过定点；
( )求线段 长度的最小值．
19.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 4 ，焦点为 .斜率存在的直线 与抛物线 交于 ， 两点．
(1)若直线 的倾斜角为45°，且| | = 4√ 6.求直线 的方程；
(2)给定一个正实数 0，分别过点 ， 作 的切线 1， 2，设 1， 2交于点 ．
( )证明：点 在定直线 = 0上的充要条件是直线 过定点( 0,0)；
( )已知直线 与 轴交于点 ( ,0)，且 > 1.证明：∠ = ∠ ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】60°
1
13.【答案】
2
14.【答案】2：1
15.【答案】解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，所以△ 为直角三角形，
又因为 = √ 2 2 = 1, = 1, = √ 2，
所以 2 + 2 = 2，则△ 为直角三角形，故 BC⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)由(1)知 ⊥ ，且 ⊥平面 ，
以 为原点， 所在直线为 轴，过点 且与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
如图，
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则 (0,0,0)， (0,0,1)， (1,1,0)， (1,0,0)，
所以 = (0,0,1), = (1,1,0), = (0,1,0), = (1,1, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1 , 1)，
则{ ⊥
{ ，则
= 0 ，即{ 1
= 0
，
⊥ = 0 1 + 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = 1，所以 = (1, 1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( 2 , 2 , 2)，

则{ ⊥
{ = 0，则 = 0 ，即{ 2 ，
⊥ = 0 2 + 2 2 = 0
令 2 = 1，则 2 = 1，所以 = (1,0,1)，
1 1
所以 < , >= = = ，
| | | | √ 2×√ 2 2
又因为二面角 为锐二面角，

所以二面角 的大小为3．
2 2
16.【答案】解：(1)因为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为√ 5，
又点 为双曲线右支上的一点，所以设点 ( 1, 1)， 1 > 0，则| 1| = 2，
1
所以△ 1 2的面积为 △ = | 1 2 | | 1| = | 1| = 2√ 5，解得 = √ 5， 1 2 2

又 = √ 5，所以 = 1， 2 = 2 2 = 4，

2
所以双曲线的方程为 2 = 1；
4
(2)设| 2| = ，则由双曲线定义得| 1| | 2| = 2 ，则| 1| = + 2 ，
由勾股定理得| 1 2|
2 = | 1|
2 + | |22 ，则2
2 + 4 + 4 2 4 2 = 0，

由题意知 = = √ 5，所以 2 = 5 2，

所以2 2 + 4 16 2 = 0，
即 2 +2 8 2 = 0，
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解得 = 2 或 = 4 (舍去)，
| | 1
所以tan∠ 1 =
2
2 = ． | 1| 2
17.【答案】解：(1)证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 // ．
(2)因为 ⊥ ，平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
在平面 内，与 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则∠ = 30°， = = 2，∠ = 120°，∠ = 30°，
(0,0,0), (0, 1,√ 3), (0,2,0), (3,2,0), (2,0,0)，
由(1)知 // ，点 在 上且 过点 ，故设 ( , 1,√ 3)，
= ( , 1,√ 3), = (0,2,0), = (3,3, √ 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ { {
= 0 { + √ 3 = 0则 ，则 ，
⊥ = 0 2 = 0
取 = √ 3，得 = 0， = ，
所以 = (√ 3, 0, )，
设 与平面 所成角为 ，
| | 1 | +3| 2√ 7
则 = |cos < , > | = | | |
= =
| √ 7 2 7 ， √ 3+
解得 = 1，所以| | = √ 5．

18.【答案】解：(1)连接 1， 1 ，那么三角形 1 为直角三角形，且∠ 1 = 6．
那么| 1 | = 2| 1| = 2．
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因此点 是半径为2，以 为圆心的圆．因此曲线 的轨迹方程为 21 2 +
2 = 4．
(2)如图，
( )证明：设点 ( 1, 1 3)．
以 2 为直径圆：( 1) + ( ( 1 3)) = 0，所以
2 1 +
2 1 + 3 = 0．
以 2 为直径圆与圆 2的方程相减即为 的方程，所以 ： 1 + 1 3 = 4．
化简得 1( + ) (3 + 4) = 0．
4 4
令 (3 + 4) = 0， + = 0，解得 = , = ．
3 3
4 4
因此 过定点 ( , )．
3 3
( )记圆 2的半径为 = 2， 2(即坐标原点 )到直线 的距离为 ，那么| | = 2√ 2 2．
那么当 取最大值时，| |有最小值．
根据几何性质知 的最大值为 4√ 2| 2 |= ，当且仅当 2 ⊥ 时取到． 3
4
因此| |的最小值为| | = 2√ 2 2 = ．
3
2 = 4
19.【答案】解：(1)设直线 ： = + ，联立{ 得 2 + (2 4) + 2 = 0 = + ．
设 ( 1, 1)， ( ,
2 2 2
2 2)，则 = (2 4) 4 = 16 16 , 1 + 2 = 4 2 , 1 2 = ．
则| | = √ 1 + 12√ ( 1 + 2)2 4 1 2 = 4√ 2√ 1 = 4√ 6，解得 = 2．
经检验， = 2时， > 0.所以直线 的方程为 = 2．
(2)( ) 1 1设过点 ( 2 , )， ≠ 0的切线方程为 = 2
4 1 1 1 1 1
(
4 1
)，
1
1 = (
2
1 ){ 1 1联立 4 1 得 21 +
2
1 1 1 = 0，即
2
1 4 + (4 1 1
2
1 )= 0．
2 4 4 = 4
2
则由相切得 = 16 4 (4 2 2 21 1 1 1 ) = 0，整理得 1 1 4 1 1 + 4 = 0，解得 1 = ． 1
2 1
所以过点 的切线方程为 = + 2 1． 1
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1 2 1
同理过点 ( 22 , 2), 2 ≠ 1 , 2 ≠ 0的切线方程为 = + 2． 4 2 2
+ +
两方程联立得 = 1 2 , = 1 2，所以点 ( 1 2 , 1 2)．
4 2 4 2
1 2
必要性：点 在定直线 = 0上，则 = 4 0．
设过点( , 0)的直线 ： = ( )．
= ( ) 1
联立{ 得 22 = 0.由韦达定理得 1 2 = 4 = 4 = 4 4 0
．
解得 = 0，则直线 过点( 0,0)；
充分性：设过定点( 0, 0)的直线 ： = ( 0).
= ( ) 1
联立{ 02 得
2 0 = 0，由韦达定理得 = 4 4 1 2
= 4 0．
1 2
点 的横坐标为 = 0，所以点 在定直线 = 0上． 4
综上，点 在定直线 = 0上的充要条件是直线 过定点( 0 ,0)．
( )如图，过 ， 分别作准线的垂线，垂足分别为 ′， ′．
连接 ′， ′， ′ ， ′ . 与 ′ 交于点 .由抛物线定义得| ′| = | |，| ′| = | |．
1 2 + ( ) ( 1 , 1), ′( 1, 1), (1, 0), (
1 2 , 1 2).则 ′ = (2, 1), = (
1 2 1 , 2 1)．
4 4 2 4 2
1( 2 1) 1( 2 )则 ′ = 1 = 0，所以 ′ ⊥ ．
2 2
由| ′| = | |知| ′ | = | |，所以| ′ | = | |.因此△ ′ 与△ 全等，所以∠ = ∠ ′ ．
同理可得| ′ | = | |，△ ′ 与△ 全等，所以∠ = ∠ ′ ．
则| ′ | = | ′ |，所以∠ ′ ′ = ∠ ′ ′．
所以∠ ′ = ∠ ′ ′+ 90° = ∠ ′ ′ + 90° = ∠ ′ ．
所以∠ = ∠ ．
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