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第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.2 平行线的判定
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 平行线的判定
7. 课堂小结
8. 当堂小练
CONTENTS
3. 新课导入
5. 知识点2 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
10. 拓展与延伸
2. 知识回顾
6. 知识点3 平行线判定的应用
9. 对接中考
1. 掌握两直线平行的判定方法.
2. 了解两直线平行的判定方法的证明过程.
3. 能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.
学习目标
知识回顾
画法
基本事实I的推论
定义
平行线
在同一平面内，不相交的两条直线
基本事实I
一“落”、二“靠”、三“推”、四“画”
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
知识回顾
过直线外一点画已知直线的平行线的方法是什么？
a
A
b
新课导入
a
b
【思考】在刚才利用三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样的作用？
A
c
1
2
∠1和∠2是什么关系？它们相等吗？
新课讲解
知识点1 平行线的判定
如何判断两条直线是否平行？
(1) 根据定义.
(2) 根据平行公理的推论.
你还记得如何用直尺和三角尺画平行线吗？
新课讲解
∠1 =∠2
简化
应用格式：
∵∠1=∠2，(已知)
∴AB∥CD.(同位角相等，两直线平行)
【判定方法1】两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
新课讲解
1. 构成同位角的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条直线才平行.
2. “同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行). 它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.
说明
新课讲解
例
解：同位角相等，两直线平行.
1. 如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
A
B
C D
E F
新课讲解
例
2. 如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，∠1＋∠2=180°，AB与CD平行吗？请说明理由.
方法点拨：找出一对同位角，通过已知条件说明这对同位角相等来说明两条直线平行.
解：AB∥CD.理由如下：
因为∠ 1＋∠ 2=180°，∠ 2＋∠ 3=180°，
所以∠ 1= ∠ 3(同角的补角相等).
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
新课讲解
练一练
1. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB//CD的是（ ）
A.∠2=35° B.∠2=45°
C.∠2=55° D.∠2= 125°
C
新课讲解
练一练
2. 如图，直线a，b 被直线c 所截，下列条件能判断a ∥b 的是 ( )
A. ∠ 1= ∠ 2
B. ∠ 1= ∠ 4
C. ∠ 3＋∠ 4=180°
D. ∠ 2=30°，∠ 4=35°
B
新课讲解
【问题】两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角. 由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？
【探究】如图，直线a，b被直线c所截.
内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出 a∥b
如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b.理由如下：
因为∠1=∠2，而∠2=∠4，
所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b.
（对顶角相等）
a
b
c
4
2
3
1
遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题.
【判定方法2】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
∵∠1=∠2，(已知)
∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)
应用格式：
a
b
c
4
2
3
1
新课讲解
新课讲解
1. “内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的.
2. 利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行.
3. 构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行.
说明
新课讲解
例
3. 如图已知∠ ADE=60 °，DF 平分∠ ADE，∠ 1=30°，试说明DF ∥ BE.
方法点拨：先找出DF 和BE 被DE 所截形成的一对内错角，然后利用条件说明这对内错角相等来说明这两条被截线平行.
解：因为DF 平分∠ ADE(已知)，
所以∠ EDF=∠ ADE(角平分线的定义).
又因为∠ ADE=60°(已知)，所以∠ EDF=30°.
又因为∠ 1=30°(已知)，所以∠ EDF= ∠ 1.
所以DF ∥ BE(内错角相等，两直线平行).
新课讲解
例
4. 如图，能判定EB//AC的条件是( )
A.∠C=∠1
B.∠A=∠2
C.∠C=∠3
D.∠A =∠1
D
新课讲解
练一练
1. 如图， 已知∠ 1=∠ 2，AC平分∠DAB，试说明DC∥AB.
解：因为AC平分∠DAB，
所以∠1＝∠BAC.
因为∠1＝∠2，所以∠BAC＝∠2，
所以DC∥AB(内错角相等，两直线平行)．
新课讲解
练一练
2. 如图，将两块含30°角的直角三角尺的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB//CD，依据是________________________.
内错角相等，两直线平行
新课讲解
【探究】如图，直线a，b被直线c所截.
同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b
a
b
c
4
2
3
1
如果∠1+∠3=180°，能得到a∥b.理由如下：
方法一：（由判定方法1）
因为∠1+∠3=180°，
所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b.
∠4+∠3=180°（邻补角互补），
方法二：（由判定方法2）
因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°
所以∠1=∠2，即内错角相等，从而a∥b.
（邻补角互补），
新课讲解
【判定方法3】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
a
b
c
4
2
3
1
应用格式：
∵∠1+∠3=180°，(已知)
∴a∥b.(同旁内角互补，两直线平行)
注意：利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等.
新课讲解
例
5. 如图，直线AE，CD相交于点O，如果∠ A=110°，∠ 1=70°，就可以说明AB ∥ CD，这是为什么？
方法点拨：找出AB，CD 被AE 所截形成的同旁内角，利用两个角之间的数量关系来说明这两条直线平行.
解：因为∠ 1= ∠ AOD(对顶角相等)，∠ 1=70°，
所以∠ AOD=70°.
又因为∠ A=110°，
所以∠A＋∠AOD=180°.
所以AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行)
新课讲解
例
6. 如图，已知∠1=30°，若∠2= 或∠3= ，则a//b.
2
1
3
a
b
c
150°
30°
与∠1是同旁内角
与∠1是内错角
新课讲解
练一练
1. 如图，下列条件能判定直线l1//l2的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠1+∠3=180°
C. ∠4=∠5
D. ∠3=∠5
B
新课讲解
练一练
2. 如图，∠1=∠2= 60°，ED平分∠BEF，AB与CD平行吗 请说明理由.
解：AB//CD. 理由如下：
∵ED平分∠BEF，∠1 =∠2 =60°(已知)，
∴∠BEF=2∠2=120°(角平分线的定义).
∴∠1+∠BEF=60°+120°=180°，
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行).
新课讲解
判定两直线平行的方法
1. 直线的位置关系：
(1) 同一平面内不相交的两条直线平行.
(2) 平行于同一条直线的两条直线平行.
2. 角的大小关系：
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
归纳
新课讲解
在平行线的判定中，同位角、内错角、同旁内角是针对两个角的位置而言的，相等或互补是针对两个角的大小而言的，所以使用上述三种判定方法判定两直线平行时，可先找出同位角、内错角或同旁内角，再根据角之间的相等或互补关系判定两直线平行.
说明
新课讲解
知识点2 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么两条直线平行吗？为什么？
7. 在同一平面内，b⊥a，c⊥a，证明：b//c.
∵b⊥a ，c⊥a，(已知)
∴b//c.
(同位角相等，两直线平行)
∴∠1= ∠2 = 90°，
(垂直的定义)
证明：（方法一）如图，
1
2
∵b⊥a ，c⊥a，(已知)
∴b//c.
(内错角相等，两直线平行)
∴∠1= ∠2 = 90°，
(垂直的定义)
证明： （方法二）如图，
a
b
c
1
2
a
b
c
∵b⊥a ，c ⊥a，(已知)
∴b//c.
(同旁内角互补，两直线平行)
∴∠1 = ∠2 = 90°，
(垂直的定义)
证明： （方法三）如图，
∴∠1 + ∠2 = 180°，
例
新课讲解
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
b
c
a
1
2
注意：选填题可用哦！
新课讲解
练一练
1. 设 a，b，c 为平面内三条不同的直线，若 a⊥c，b⊥c，则 a 与 b 的
位置关系是______.
a∥b
方法点拨：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
新课讲解
练一练
2. 如图，AB ⊥ EF 于B，CD ⊥ EF 于D，∠ 1= ∠ 2.
解题秘方：根据平行线的几种判定方法的模型，从图中找出符合判定的条件，选用合适的方法进行说明.
(1)请说明AB ∥ CD 的理由；
解：(1)∵ AB ⊥ EF，CD ⊥ EF，
∴ AB ∥ CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
(2)试问BM 与DN 是否平行？为什么？
(2)BM ∥ DN.理由如下：
∵ AB ⊥ EF，CD ⊥ EF，∴∠ ABE= ∠ CDE=90°.
又∵∠ 1= ∠ 2，∴∠ ABE－∠ 1= ∠ CDE－∠ 2(等式的性质)，
即∠ MBE= ∠ NDE. ∴ BM ∥ DN(同位角相等，两直线平行).
∠ 1 和∠ 2 不是同位角，不能误认为∠ 1 和∠ 2 是同位角，直接得出BM ∥ DN，要得到BM ∥ DN，应说明∠ MBE= ∠ NDE.
新课讲解
a，b，c 为同一平面内三条不重合的直线，在下列结论中：
① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c.
已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立.
三条直线“在同一平面内”是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立.
本结论( 方法) 可看成是判定方法1，2，3 的推论，因为它可由判定方法1，2，3得到.
归纳
新课讲解
知识点3 平行线判定的应用
8. 一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A. 第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130°
B. 第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30°
C. 第一次向右拐 50°，第二次向右拐 130°
D. 第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130°
B
方法点拨：数形结合帮助理解.
例
新课讲解
练一练
光从空气斜射入水中时，传播方向会发生偏折，这种现象叫做光的折射.同样，光从水中斜射入空气中时，也会发生折射.如图，一束光 CD 从空气射入水中，再从水中射入空气中.其中，直线 a，b 都表示空气与水的分界面，光在水中的部分为 DE.已知∠1=∠4，∠2=∠3，请你判断 CD 与 EF 是否平行？为什么？
解：平行. 理由如下：
∵∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠2=∠3，
∴∠5=∠6，
又∠1=∠4，
∴∠1 +∠5=∠4+∠6，即∠CDE =∠DEF，
∴CD//EF.
课堂小结
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
基本事实Ⅱ：同位角相等，两直线平行
平行线的
判定
当堂小练
1. 如图所示.
(1)如果∠1=∠2，那么____∥____，依据是____________________.
(2)如果∠3=∠4，那么____∥____，依据是____________________.
(3)如果∠B=∠5，那么____∥____，依据是____________________.
(4)如果∠D+∠BCD=180°，那么______∥____________________，
依据是_____________________.
内错角相等，两直线平行
AD
BC
AB
AB
AD
CD
CD
BC
(或BE或CE)
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
(或BE或CE)
当堂小练
2. 如图，直线 a，b，c 被直线 l 所截，量得∠1=∠2=∠3.
(1)从∠1=∠2 可以得出直线___∥___，
根据是________________________；
(2)从∠1=∠3 可以得出直线___∥___，
根据是__________________________；
(3)直线 a，b，c 互相平行吗？根据是什么？
a
b
内错角相等，两直线平行
a
c
同位角相等，两直线平行
∵ a∥b，a∥c，∴ b∥c，即直线 a，b，c 互相平行.
依据：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
a
b
c
l
1
2
3
当堂小练
3. 如图，可以确定 AB∥CE 的条件是 ( )
A. ∠2 = ∠B
B. ∠1 = ∠A
C. ∠3 = ∠B
D. ∠3 = ∠A
C
1
2
3
A
E
B
C
D
当堂小练
4. 如图，BE平分∠ABC，请你添加一个条件：___________________，使DE//BC.
∠EBC =∠DEB
或∠ADE=∠ABC
或∠ABC+∠EDB=180°
×
×
或∠DBE =∠DEB
当堂小练
5. 如图，∠1 = ∠2，能判定 AB∥DF 吗？
F
D
C
A
B
E
1
2
不能．
可添加∠CBD = ∠EDB.
内错角相等，两直线平行.
若不能判定 AB∥DF，你认为还需要再添加一个什么条件？写出这个条件，并说明你的理由.
当堂小练
6. 如图，请你添加一个条件，使 AB//CD，
这个条件是__________________，
你的依据是_______________________.
∠ECD=∠EAB
C
B
A
D
E
F
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
∠CDA=∠DAB
∠DCA+∠EAB=180°
还有其他解法吗？
当堂小练
7. 如图，已知GM，HN分别平分∠BGE和∠DHF，当∠1与∠2具备怎样的关系时，AB//CD 请说明理由.
解：当∠1+∠2=90°时，AB//CD.理由如下:
∵GM，HN分别平分∠BGE和∠DHF，
∴∠BGE=2∠1，∠DHF=2∠2，
∴∠BGE+∠DHF=2(∠1+∠2).
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BGE+∠DHF=2×90°=180°.
∵∠BGE+∠BGF=180°，
∴∠BGF=∠DHF.
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行).
当堂小练
解：如图，过点E作 EF //AB，则∠1+∠B =180°.
∵ ∠B +∠BEC +∠C =360°，
∴ ∠2+∠C =180°，
∴ EF//CD，
∴ AB//CD.
8.如图，已知∠B +∠BEC +∠C =360°，试说明 AB//CD.
1
2
F
当堂小练
9. 如图，MF⊥NF 于 F，MF 交 AB 于点 E，NF 交 CD 于点 G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断 AB 和 CD 的位置关系，并说明理由．
Q
解：过F 点向左作射线 FQ，使∠MFQ ＝∠2＝50，
则 AB∥FQ，且∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ＝90-50＝40.
又因为∠1＝140，
所以∠1＋∠NFQ＝180.
所以 CD∥FQ.
所以 AB∥CD.
在拐角模型中，常过折点或拐点处作平行线，构造角，利用角之间的关系求解.
归纳
当堂小练
10. 如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁 DE，使 DE∥BC. 如果∠ABC = 31°，∠ADE 应为多少度？
A
D E
B O C
解：要使 DE∥BC，需∠ADE = ∠ABC，而∠ABC = 31°，∴∠ADE = 31°. 根据“同位角相等，两直线平行”.
当堂小练
11. 如图，有一块方形玻璃，用什么方法可以检验它相对的两条边是否平行？
解：如图，可测∠1 与∠2，若∠1+∠2 = 180°，则可判断上下两边平行；然后再测∠2 与∠3，若∠2+∠3 = 180°，则可判断左右两边平行.
当堂小练
12. 在如图所示的四种沿 AB 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边 a，b互相平行的是( )
A.如图1，展开后测得∠1=∠2
B.如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.如图3，测得∠1=∠2
D.在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
内错角
∠1=∠2=∠3=∠4=90°
同旁内角
C
当堂小练
解：答案不唯一.举例如下：
(1)添加条件：∠EBN =∠FDN.
理由：∵∠1=∠2，∠EBN =∠FDN，
∴∠1+∠EBN =∠2+∠FDN，即∠ABN =∠CDN，
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行).
13. 如图，在应用 ∠1=∠2 的条件下，再添加什么条件可使 AB//CD 成立？根据你添加的条件说明 AB//CD 成立的理由.
(2)添加条件：∠EBM =∠FDM.
理由：∵∠1=∠2，∠EBM =∠FDM，
∴∠EBM-∠1=∠FDM -∠2，
即∠ABM =∠CDM，
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行).
(3)添加条件：∠EBD +∠BDF=180°.
理由：∠EBD +∠BDF =180°，
即∠EBD +∠BDC +∠2=180°.
∵∠l=∠2，
∴∠EBD +∠BDC +∠1=180°,即∠ABD +∠BDC =180°,
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行).
当堂小练
14. 如图，点 E 在 BC 的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1=∠3；
②∠2+∠5=180°；
③∠4=∠B；
④∠D+∠BCD =180°.
其中能判断 AD//BC 的是( )
A.①② B.①④ C.①③ D.②④
内错角
AB//DC
AB//DC
同旁内角
B
A
C
1
4
2
3
B
D
E
G
5
对接中考
1. 如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b， 得到a ∥ b， 理由是( )
A. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 在同一平面内， 过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B
对接中考
2. 如图，已知直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件不能判断 a∥b 的是( )
A.∠2=∠6
B.∠2+∠3=180°
C.∠1=∠4
D.∠5+∠6=180°
D
1
2
a
b
c
3
4
5
6
对接中考
3. 如图，在下列条件中，能说明 AC//DE 的是( )
A.∠A =∠CFD
B.∠BED =∠EDF
C.∠BED =∠A
D.∠A+∠AFD =180°
AB//DF
AB//DF
AB//DF
C
C
D
A
B
E
F
AC//DE
对接中考
4. 如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角∠C = 时，道路 CE 才能恰好与 AD 平行.
解析：当第三次拐的角∠C = 145°时，道路 CE 才能恰好与 AD 平行.理由如下：
如图，过点 B 作∠ABF = 110°.
∵ ∠A =∠ABF =110°，∴ AD//BF(内错角相等，两直线平行).
∵ ∠ABC =145°，∠ABF =110°，
∴ ∠FBC =∠ABC -∠ABF =35°.
F
∵ ∠C +∠FBC =145°+35°=180°，
∴ BF//CE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴ CE//AD(平行公理的推论).
145°
拓展与延伸
1. 如图所示，已知直线 a，b，c，d，e，且∠1 = ∠2，∠3 + ∠4 = 180°，则 a 与 c 平行吗？为什么？
解： a∥c. 理由如下：
∵∠1 = ∠2，
∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）.
∵∠3 + ∠4 = 180°，
∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）.
又∵ a∥b，
∴ a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
拓展与延伸
2. 一副直角三角尺叠放如图（1）所示，现将含 的三角尺 固定不动，将含 的三
角尺 绕顶点 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图（2），当时，，则其他所有可能符合条件的度数为( )
A. 60°和135°
B. 45°、60°、105°和135°
C. 30°和45°
D. 以上都有可能
解析：如图(3)，当∠BAD =∠DAE =45° 时, AC//DE ；
如图(4)，当 ∠DAB =∠B =60° 时， BC//AD ；
(3)
(4)
如图(5)，当 ∠EAB =∠B =60° 时， BC//AE ，
∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+60°=105°；
如图(6)，当 ∠E =∠EAB =90° 时， AB//DE ，
∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°.
(5)
(6)
B

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