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第八章 实数
8.1 平方根
课时1 平方根
目
录
1. 学习目标
3. 知识点1 平方根的定义
6. 课堂小结
7. 当堂小练
CONTENTS
2. 新课导入
4. 知识点2 平方根的性质
9. 拓展与延伸
5. 知识点3 平方根的表示
8. 对接中考
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系.
2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.
学习目标
新课导入
【问题】当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v (单位:m/s)
时，就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v =2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s)，R是地球半径，R ≈ 6.4×106 (单位:m)，怎样求v呢
这就要用到平方根的概念
新课讲解
知识点1 平方根的定义
【思考】如果一个数的平方等于9，这个数是多少
32=9，所以这个数可以是3；(-3)2=9，所以这个数也可以是-3.
除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3.
x2 1 16 36 49
x
完成下列表格：
1或-1
4或-4
6或-6
7或-7
或
新课讲解
【平方根定义】一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方.
新课讲解
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
观察下图，你发现了什么
平方与开平方互为逆运算
想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它
新课讲解
例
1. 求下列各数的平方根：
(1)121； (2)2 ； (3)－(－4)3.
方法点拨：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定.
解：(1)因为(±11)2=121，所以121 的平方根是±11.
(2)2= ，因为(±)2= ，所以2 的平方根是± .
(3) －(－ 4)3=64，因为(±8)2=64，所以－(－ 4)3 的平方根是±8.
新课讲解
练一练
1. 求下列各数的平方根:
(1) 64； (2) ； (3) 0.01.
解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8；
(2)因为(±)2=100，所以100的平方根是±；
(3)因为(±0.1)2=0.01，所以0.01的平方根是±0.1.
求一个正数的平方根主要分两步：
(1)找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；
(2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根.
方法归纳
新课讲解
练一练
2. 下列说法正确的是________.
① -3 是 9 的平方根；
② 25 的平方根是 5；
③ -36 的平方根是 -6；
④ 平方根等于 0 的数是 0.
①④
新课讲解
3. 如果x2＝a，那么下列说法错误的是(　 　)
A. 若x确定，则a的值是唯一的
B. 若a确定，则x的值是唯一的
C. a是x的平方
D. x是a的平方根
B
练一练
新课讲解
知识点2 平方根的性质
【思考】正数的平方根有什么特点
从例1可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数.
【思考】0的平方根是多少
因为0 =0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，
所以0的平方根是0.
【思考】负数有平方根吗
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
新课讲解
平方根的性质：
1. 正数有两个平方根，它们互为相反数；
2. 0的平方根是0；
3. 负数没有平方根.
归纳
新课讲解
例
2. 判断下列说法是否正确：
(1) 0 的平方根是 0.
(2) 1 的平方根是 1.
(3) -1 的平方根是 -1.
(4) 0.01 是 0.1 的一个平方根.
1 的平方根是±1
负数没有平方根
0.1 是 0.01 的一个平方根
新课讲解
例
3. 一个正数的平方根是2a－1 和a－5，这个正数是多少？
方法点拨：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.
解：根据题意，得(2a－1)＋(a－5)=0，
解得a=2.
∴这个正数为(2a－1)2=(2×2－1)2=9.
新课讲解
【变式】已知2a－1 与－a＋2 是m 的平方根，求m 的值.
方法点拨：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.
解：根据题意，分以下两种情况：
当2a－1=－a＋2 时，a=1，
∴ m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1；
当(2a－1)＋(－a＋2)=0 时，a=－1，
∴ m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9.
故m 的值为1 或9.
新课讲解
练一练
1. 判断题.
(1)1的平方根是1；
(2)-1的平方根是-1；
(3)0.5是0.25的一个平方根；
(4)0的平方根是 0.
新课讲解
2. 一个正数的两个平方根分别是 2a＋1 和 a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是 2a＋1 和 a－4，
则有 2a＋1＋a－4＝0，即 3a－3＝0，
解得 a＝1.
所以这个数为 (2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
练一练
新课讲解
知识点3 平方根的表示
a 的平方根
平方根号
被开方数
读作：正、负根号 a
(a≥0)
(a≥0)
根指数为 2，省略不写
2
x =±
新课讲解
表示 a 的正的平方根
表示 a 的负的平方根
读作“正、负根号”
一个非负数的平方根的表示方法：
只有当 a ≥ 0 时才有意义；a ＜ 0 时无意义.
a﹙a≥0﹚的平方根表示为±
记作±
新课讲解
【思考】只有当a大于或等于0 时，有意义；而当a小于0时，没有意义.为什么
因为在我们认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，即当a小于0时，没有意义.
新课讲解
例
4. 下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2) -5； (3) (-4)2.
解：(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6；
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根；
(3)因为(-4)2=16是正数，所以(-4)2有两个平方根，±=±=±4.
新课讲解
例
5. 求下列各式的值：
解：(1) = 6 .
(1) ； (2) ； (3) ± .
(2) = - 0.9 .
(3) ± = ± .
新课讲解
例
6. 求下列各式中x 的值：
(1)x2=361； (2)81x2－49=0； (3)(3x－1)2=(－5)2.
方法点拨：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2=a 的形式，再求x 的值.
解：(1)因为x2=361，所以x=± =±19.
(2)整理81x2－49=0，得x2= ，所以x=±=±.
(3)因为(3x－1)2=(－5)2，所以3x－1=±5.
当3x－1=5 时，x=2；
当3x－1=－5 时，x=－ .
综上所述，x=2 或x=－ .
新课讲解
利用平方根的性质解方程的一般步骤：
1. 移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；
2. 系数化为1，将方程化为“x =m(m≥0)或(ax+b) =m(m≥ 0) ”的形式；
3. 根据平方根的性质求出未知数的值.（即x=±或ax+b=±）
归纳
新课讲解
练一练
1. ±各表示什么意义？
解：表示 7 的正的平方根
±表示 7 的平方根
表示 7 的负的平方根
新课讲解
练一练
2. 求下列各式中x的值:
(1)4x2-1=0； (2) (x+1)2=81；
解：(1)原式可变形为x2=，
因为(±)2=，
所以x=±.
(2)因为(±9)2=81，
所以x+1=9或x+1=-9，
解方程，得x=8或x=-10.
所以x=8或x=-10.
课堂小结
平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x =a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
±（a大于或等于0）
表示
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0的平方根是0；
(3)负数没有平方根.
开平方与平方互为逆运算
运算
概念
性质
当堂小练
1. 下列说法正确的有（ 　　）
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
当堂小练
2. 下列说法不正确的是（ ）
A. 0 的平方根是 0
B. -22 的平方根是 2
C.正数的平方根互为相反数
D.一个正数的正的平方根一定大于这个数的相反数
B
当堂小练
3.“36的平方根是±6”用数学式子表示正确的是( )
A.=6 B.=6
C. =±6 D. =±6
D
当堂小练
4. 判断下列说法是否正确，如果错误，请说明理由.
(1)1的平方根是1.
(2)2是4的一个平方根.
(3) -5是25的平方根.
(4)64的平方根是±8.
(5)-16的平方根是-4
(6)0的平方根是0.
1的平方根是±1
负数没有平方根
当堂小练
5. 求下列各数的平方根：
(1) ； (2) 62； (3)0.49
解：(1)因为(±)2=，所以的平方根是±；即；
(2)因为62=36，(±6)2=36，所以62的平方根是±6；
即；
(3)因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根是±0.7；
即0.7
当堂小练
6. 求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1) 因为 62=36，所以 .
(2) 因为 0.92=0.81 ，所以 .
(3) 因为 ，所以 .
当堂小练
7. 求下列各式中x的值.
(1)9x2－25=0； (2)4(x－2)2－9=0.
当堂小练
解：因为一个正数的两个平方根是2a-1和a-5，
则有(2a-1)+(a-5)=0，
解得a=2.
所以2a-1=3，
所以这个正数为32=9.
8. 已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数.
互为相反数
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
当堂小练
9. 若与是同一个数的平方根，则的值是( )
A．－3 B．－1
C．1 D．－3或1
D
对接中考
1. 若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则(m +n)3的平方根为( )
A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8
D
(3+1)3=64
同类项
m =3，n =1
拓展与延伸
1. 已知 x - 1 的其中一个平方根为 2，3x + y -1 的平方根 为 ±4，求 3x + 5y 的平方根.
解：由题意，得 x - 1 = 22，3x + y - 1 = (±4)2，
解得 x = 5，y = 2.
∴ 3x + 5y = 25.
∴ 3x + 5y 的平方根为±5.
拓展与延伸
2. 已知2a－1 的算术平方根是3，3a＋b－1的平方根是±4，c 是 的整数部分， 求a＋2b－c 的平方根.
解：∵2a－1的算术平方根是3，
∴2a－1＝32＝9.
∴a＝5.
∵3a＋b－1的平方根是±4，
∴3a＋b－1＝(±4)2＝16.

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