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贵州省遵义市 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {1,2,3,4,5}， = {1,3,5,7,9}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3,4,5} B. {1,3,5,7,9} C. {1,3,5} D. {1,2,3,4,5,7,9}
2.若命题 ： > 0， 3 + 1 > 0，则 的否定为( )
A. > 0， 3 + 1 ≤ 0 B. ≤ 0， 3 + 1 ≤ 0
C. ≤ 0， 3 + 1 > 0 D. > 0， 3 + 1 ≤ 0
( +2)
3.函数 ( ) = 2 的定义域是( )
1
A. (2, +∞) B. ( 2,1) ∪ (1, +∞)
C. (1, +∞) D. ( 2,1)
4.函数 ( ) = 3 + 2 4的零点所在的区间是( )
A. ( 1,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (2,3)
5.下列命题是真命题的为( )
1 1
A. 若 > ，则 < B. 若 > > 0， > ，则 >

C. 若 > ，则 2 > 2 D. 若 > ， > ，则 + > +
6.若函数 ( ) = log ，则 ( )的大致图象可能为( )
A. B. C. D.
1 2
7.已知 > 0， > 0， + 2 = 2，则 + 最小值为( )

9
A. 5 B. C. 4 D. 3√ 2
2
8.已知方程 2 + 4 = 0有两个不相等的正根 1， 2，且 1 < 2，则 1 + 2 2的取值范围是( )
A. [4√ 2, +∞) B. (4√ 2, +∞) C. (6, +∞) D. [6, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“ ≤ 1”的一个充分不必要条件可以是( )
A. ≤ 2 B. < 0 C. 0 < < 2 D. < 1
10.已知函数 ( ) = ( 2) 是幂函数， ( ) = ( ) ，则( )
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A. = 3 B. ( )是 上的减函数
C. ( )是奇函数 D. ( )恰有2个零点
11.对于任意的 ∈ ，[ ]表示不超过 的最大整数.十八世纪， = [ ]被“数学王子”高斯采用，因此得名
为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A. 函数 = [ ]， ∈ 的图象关于原点对称
B. 函数 = [ ]， ∈ 的值域为[0,1)
C. 对于任意的 ， ∈ ，不等式[ ] + [ ] ≤ [ + ]恒成立
D. 不等式6[ ]2 17[ ] + 7 < 0的解集为{ |1 ≤ < 3}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，
50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 15 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是______．
13.若函数 ( + 2) = 2 2 + 3，则 ( )的最小值是______．
14.若 ( ) = ( 2 + 1)(2 + 2 ) 3 + 1在定义域内有且只有一个零点，则 的值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知 + 1 = 3，求 2 + 2的值；
2
(2)计算83 + 3 32 + 0 + 2 + 5的值．
16.(本小题15分)
已知集合 = { | 5 ≤ ≤ 2}，集合 = { | 2 < 3 + 4}．
(1)求 ∪ ， ∩ ；
(2)求 ( ∪ )，( ) ∪ ．
17.(本小题15分)
+ 1
已知定义在( 3,3)上的函数 ( ) = 2的图象关于原点对称，且 (1) = ． 9 8
(1)求 ( )的解析式；
(2)判断并用定义证明 ( )的单调性；
(3)解不等式 (2 + 1) + ( 2) > 0．
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18.(本小题17分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是
文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：
[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值及样本成绩的第80百分位数；
(2)求样本成绩的平均数，中位数和众数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是55，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并

后的平均数 和方差 2．
19.(本小题17分)
不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数 ( )在
其定义域内存在实数 0，使 ( 0) = 0成立，则称 0是 ( )的一个不动点．
已知函数 ( ) = 2 ( + 1) + 2 ( ≠ 0)， ( ) = 1．
(1)当 = 1， = 2时，求函数 ( )的不动点；
(2)当 = 2时，若函数 ( )有两个不动点为 1， 2，且0 < 1 < 1， 2 > 1，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ( )的不动点为 1，2，且对任意 1 ∈ [1,2]，总存在 2 ∈ [ 1,1]，使得 ( 1) ( 2) = 1成立，求
实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】15
13.【答案】2
14.【答案】1
15.【答案】解：(1) + 1 = 3，
则两边同时平方可得，( + 1)2 = 2 + 2 + 2 = 7，
故 2 + 2 = 7．
2
(2)83 + 3 32 + 0 + 2 + 5 = 4 + 2 + 1 + 10 = 7 + 1 = 8．
16【. 答案】解：(1) ∵ = { | 5 ≤ ≤ 2}， = { | 2 < 3 + 4} = { | 2 3 4 < 0} = { | 1 < < 4}，
∴ ∪ = { | 5 ≤ < 4}， ∩ = { | 1 < ≤ 2}；
(2)由(1)知， ( ∪ ) = { | < 5或 ≥ 4}，
= { | ≤ 1或 ≥ 4}，所以( ) ∪ = { | ≤ 2或 ≥ 4}．
+
17.【答案】解：(1)因为定义在( 3,3)上的函数 ( ) = 2的图象关于原点对称，即为奇函数， 9
1 +
所以 (0) = = 0， (1) = = ，
9 8 8
所以 = 0， = 1，

此时 ( ) = 2，经检验符合题意； 9

(2) ( ) = 2在( 3,3)上单调递增，证明如下： 9
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任取 3 < 1 < 2 < 3，
2 21 2 9 1 1 2 9 2+ 1 2 ( 1 2)(9+ )则 ( ) ( ) = = = 1 21 2 2 2 2 2 2 2 < 0， 9 1 9 2 (9 1)(9 2) (9 1)(9 2)
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在( 3,3)上单调递增；
(3)由 (2 + 1) + ( 2) > 0可得 (2 + 1) > ( 2) = (2 )，
2 + 1 > 2
1
所以{ 3 < 2 + 1 < 3，解得 < < 1，
3
3 < 2 < 3
1
故不等式的解集为{ | < < 1}.
3
18.【答案】解：(1)根据题意可得(0.005 + 0.01 + 0.02 + + 0.025 + 0.01) × 10 = 1，解得 = 0.030；
因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，
0.8 0.05 0.1 0.2 0.3
所以样本成绩的第80百分位数在[80,90)内，且为80 + = 86；
0.025
(2)本成绩的平均数为45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74；
因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，
0.5 0.05 0.1 0.2
所以样本成绩的中位数在[70,80)内，且为70 + = 75；
0.03
70+80
样本成绩的众数为 = 75；
2
(3)因为[50,60)与[60,70)的频率之比为0.1：0.2 = 1：2，
又落在[50,60)的平均成绩是55，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为67，方差是4，
1 2
所以两组成绩合并后的平均数 = 55 × + 67 × = 63；
3 3
1 2
所以两组成绩合并后的方差 2 = [7 + (55 63)2] × + [4 + (67 63)2] × = 37．
3 3
19.【答案】解：(1)函数 ( )的不动点即为 ( ) = 0的实数根，
当 = 1， = 2时，转化为方程 2 4 = 0的实数根，
解得 = 0或 = 4，所以函数 ( )的不动点为0和4；
(2)由题意可知，方程2 2 ( + 2) + 2 = 0有两个不相等的实数根 1， 2，且0 < 1 < 1， 2 > 1，
设 ( ) = 2 2 ( + 2) + 2 ，
(0) = 2 > 0
由{ ，解得1 < < 2，
(1) = 2 ( + 2) + 2 < 0
所以实数 的取值范围为(1,2)；
(3)由题意可知， 1，2为方程 ( ) = ，
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即 2 ( + 2) + 2 = 0的两根，
+2
1 + 2 =
则{ ，解得 = 4， = 6，
2
1 × 2 =

所以 ( ) = 4 2 + 5 + 8，
1
因为 ( 1) ( 2) = 1，即 ( 2) = ， ( 1)
1
由题可知 的值域是 ( 2)值域的子集， ( 1)
因为 ( ) = 4 2 + 5 + 8在[1,2]上是减函数，则 ( ) ∈ [2,9]，
1 1 1
即 的值域为[ , ]，
( 1) 9 2
因为 ( ) = 1且 ∈ [ 1,1]，
当 < 0时， ( ) = 1在[ 1,1]上是减函数，则 1 ≤ ( ) ≤ 1，
1
1 1 1 ≤ 3
因为[ , ] [ 1, 1]，则{ 9 ，解得 ≤ ，
9 2 1 1 ≥ 2
2
当 = 0时， ( ) = 1，不合题意舍，
当 > 0时， ( ) = 1在[ 1,1]上是增函数，则 1 ≤ ( ) ≤ 1，
1
1 1 1 ≤ 3
因为[ , ] [ 1, 1]，则{ 9，解得 ≥ ，
9 2 1 1 ≥ 2
2
3 3
故 的取值范围是{ | ≤ 或 ≥ }.
2 2
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