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(共33张PPT)
5.2 简单的轴对称图形
（第1课时）
第五章 图形的轴对称
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.探索并了解等腰三角形的轴对称性和其他性质。
2.根据等腰三角形的性质，探索等边三角形的轴对称性和其他性质。
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 观察下面的金字塔和人字梁屋架的图片，这些物体的外观结构形式是我们见过的哪一种图形？
等腰三角形
等腰三角形是比较常见的图形。你有哪些办法可以得到一个等腰三角形
知识点1 等腰三角形的性质
底角
底角
顶角
底边
腰
腰
思考 (1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角
AB=AC，BD=BC
∠B=∠C ，∠1=∠2
A
C
B
D
1
2
知识点1 等腰三角形的性质
思考 (2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的
A
C
B
D
1
2
三角形的中线所在的直线；
三角形的顶角平分线所在的直线；
三角形的高所在的直线。
知识点1 等腰三角形的性质
思考 (3)你认为等腰三角形有哪些特征
A
C
B
D
1
2
1.等腰三角形是轴对称图形。
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3.等腰三角形的两个底角相等。
知识点1 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
1.对称性：等腰三角形是轴对称图形。
2.三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。
3.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
知识点1 等腰三角形的性质
符号语言：如图，在△ABC中，
C
B
D
A
（1）因为AB=AC，AD⊥BC，
所以∠BAD=∠CAD，BD=CD。
（2）因为AB=AC，BD=CD，
所以AD⊥BC ，∠BAD=∠CAD。
（3）因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，
所以BD=CD，AD⊥BC。
（三线合一）
知识点1 等腰三角形的性质
符号语言：如图，在△ABC中，
因为AB=AC，所以∠B=∠C。
知识点1 等腰三角形的性质
（等边对等角）
C
B
D
A
例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。
解:设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为2x°。
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得
x+2x+2x=180。
解得 x=36。
2×36=72。
所以，这个三角形的三个内角分别是 36°，72°，72°。
知识点1 等腰三角形的性质
思考 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
相等的线段有AB与AC、BD与CD，
相等的角有∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、
∠ADB与∠ADC，
形状、大小完全相同的图形有△ ABD与△ ACD。
l
C
B
D
A
知识点1 等腰三角形的性质
等边三角形既然是特殊的等腰三角形，那么等边三角形是否还有不同于等腰三角形的特征呢
知识点2 等边三角形的性质
△ABC是一个特殊的等腰三角形，即等边三角形。
根据等腰三角形的两个底角相等，可以发现∠A=∠B=∠C；
因为∠A+∠B+∠C=180°，
由此可以得出： ∠A=∠B=∠C=60°。
A
C
B
知识点2 等边三角形的性质
等边三角形的性质
1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
2.等边三角形具有等腰三角形的一切特征。(“三线合一”)
3.等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都是60°；
A
C
B
知识点2 等边三角形的性质
知识点2 等边三角形的性质
例2 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
A
知识点2 等边三角形的性质
解析:因为在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，
所以BD=CD，∠BDE=∠CDE=90°。
因为DE=DE，
所以△BDE≌△CDE(SAS)，
所以∠ECB＝∠EBC＝45°，
所以∠ACE＝∠ACB-∠ECB＝60°-45°=15°。
（第1题）
1. 如图，中，，是 的
中点，下列结论中不正确的是( )
D
A. B.
C. 平分 D.
2. 等腰三角形的对称轴有( )
D
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条
返回
（第3题）
3. [2024咸阳月考] 如图，在等腰三
角形中，，点在 的
延长线上， ，若
，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. [2024晋中期中] 山西万荣东岳庙的飞云
楼是典型的元明风格建筑，飞云楼的顶端
可以近似看作是等腰三角形 （如图），
其中，是 边上的中线，已知
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. [2024枣庄期中] 如图， 是等边
三角形的边上的中线，以点
为圆心，长为半径画弧交 的延长
线于点，则 的度数为( )
A
A. B.
C. D.
返回
6. 定义：在一个三角形中，如果一个内角度数
是另一内角度数的 ，我们称这样的三角形为“半角三角形”，
若等腰三角形为“半角三角形”，则 的顶角度数为
__________.
或
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 ，则这
个等腰三角形的一个底角的度数是_____________.
或
返回
8.[2024咸阳期中] 如图，已知，于点 ，
，的周长为20，求 的周长.
【解】在中，因为 ，
于点 ，
所以是 的中线.
所以 .
因为 的周长为20，
所以 .
所以 的周长
.
返回
（第9题）
9. [2024天津模拟] 如图，在 中，
，，分别是 的中线和角
平分线.若 ，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
（第9题）
【点拨】因为，是 的中线，
且 ，
所以 , .
所以 .
因为是 的角平分线，
所以 .
返回
（第10题）
10. 如图，中，, 于
点，于点，于点 ，
，则 的长为( )
D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
（第10题）
【点拨】因为， ，所以
是的中线.所以 .
因为 ，所以
.
又因为,所以 .
因为，所以 ，故选D.
返回
（第11题）
11. 如图，在
中，， ，点
从点出发以的速度向点 运
动，同时点从点出发以 的
速度向点 运动，其中一个动点到达
D
A. B. C. D.
终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以 为
底边的等腰三角形时，该等腰三角形的腰长是( )
（第11题）
【点拨】设运动的时间为 ,则
, .又因为
,所以 .
当是以 为底边的等腰三角
形时，,即 ，
解得,所以 .
返回
等腰三角形
三线合一
两底角相等
轴对称性
性质
等边三角形
性质
轴对称性，有三条对称轴
三个内角相等，并且每个内角都等于60°
三线合一
等腰三角形
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.(共34张PPT)
5.2 简单的轴对称图形
（第2课时）
第五章 图形的轴对称
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解线段的轴对称性。
2.理解并掌握线段垂直平分线的性质。
3.能用尺规作线段的垂直平分线。
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 线段AB是轴对称图形吗？你能画出它的对称轴吗
A
B
思考 对折线段AB，使A，B两点重合，设折痕l与AB 的交点为O。
你发现了什么？
A
B
O
l
知识点1 垂直平分线及其性质
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。
思考（1）折痕l与AB有怎样的位置关系？
（2）AO与BO相等吗？
垂直
AO=BO
A
B
O
l
知识点1 垂直平分线及其性质
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线)。
知识点1 垂直平分线及其性质
A
B
O
l
思考 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′。
(1)你认为线段 CD 和 CD′之间有什么关系
知识点1 垂直平分线及其性质
解：(1)CD=CD′，
因为点D和D′是以直线l为对称轴的一组对应点，所以沿直线l折叠，CD与CD′能完全重合，所以CD=CD′。
A
B
D
D′
C
l
(2)特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置 此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
知识点1 垂直平分线及其性质
解：(2)当点D与点A重合时，点D′与点B重合。
此时线段CD与CD′之间还有(1)中的关系。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
A
B
D
D′
C
l
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
知识点1 垂直平分线及其性质
符号语言：
如图，因为CD垂直平分AB，点P是直线CD上任意一点，所以PA=PB。
线段垂直平分线的性质：
例1 如图，在三角形ABC中，AD垂直平分边BC，AB=5，那么AC=_______。
A
C
B
D
5
知识点1 垂直平分线及其性质
如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线？
假设线段AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题：
（1）这条直线有什么特征
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
A
B
l
（2）如何确定这条直线上的两个点 如果只用尺规呢
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作。
A
B
l
如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。
作法:
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB
的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。
2.作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
A
B
C
D
请你说说这样作的道理。
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
A
B
C
D
因为CA=CB，
所以点C在线段AB的垂直平分线上，
因为DA=DB，
所以点D在线段AB的垂直平分线上，
所以CD垂直平分线段AB。
如图，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
作法:1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A，B。
2.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，
作直线MP，直线MP即为所求作的垂线。
A
B
M
l
P
能说明你的作法的道理吗
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
理由:由步骤1可知点P到线段AB两端点的距离相等，
由步骤2可知点M到线段AB两端点的距离相等，
所以直线MP是线段AB的垂直平分线，
所以直线MP垂直于直线l。
A
B
M
l
P
思考 如何用尺规过直线外一点作该直线的垂线
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
示例:已知直线AB和AB外一点C，求作AB的垂线，使它经过点C。
作法:以点C为圆心，适当长为半径，截得直线AB上的线段DE，
分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作两弧相交于点F，
作直线CF，CF即为所求作的垂线。
例2 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点O，交AB于点E。
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到A，B的距离相等，
所以这个公共汽车站C应建在点O处，
才能使到两个小区的路程一样长。
1. 下列说法中错误的是( )
C
A. 线段是轴对称图形
B. 线段的对称轴一定经过这条线段的中点
C. 线段有无数条对称轴
D. 线段的垂直平分线是它的一条对称轴
返回
（第2题）
2. [2024福州模拟] 如图，在 中，
，垂直平分交于点 ，
若的周长为，则
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在中， ，
，的垂直平分线交于点 ，
交于点，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. [2024嘉兴三模] 如图，在 中， ，小豪
的作图过程如下:
①以为圆心，长为半径作弧交 于点，连接 ;
③作射线交于点 .
则下列结论正确的是( )
②分别以，为圆心，以大于 的长为半径作弧交于点 ;
A. B.
C. D.
D
返回
5.[2024晋城二模] 如图，在中，，
于点 .
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交边于点 ，
交于点 ；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
【解】如图，直线 即为所求.
（2）连接，试说明： .
【解】如图，因为，所以 .
因为是的垂直平分线，所以 .
所以 .所以
，即
.
因为，所以 .
所以 ，
.
所以 .
返回
6. 联欢会上，三名同学分别站在锐角三
角形 的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求
在 内放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，凳子最适合
摆放的位置是 的( )
A
A. 三边垂直平分线的交点处
B. 三条中线的交点处
C. 三条角平分线的交点处
D. 三条高所在直线的交点处
【点拨】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，由
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知，要放
在 的三边垂直平分线的交点处.
返回
（第7题）
7. [2024邵阳期末] 如图，等腰三角形 中，
， .线段 的垂直平分线交
于点，交于点，连接 ，则图中等腰
三角形共有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第7题）
【点拨】因为，所以 .
因为 ， .
所以 .
因为是线段的垂直平分线，所以 .
所以是等腰三角形, .
所以 .
所以 .
作的平分线交于点 ，则
.
又因为， ，所以
.
所以 .
所以 是等腰三角形.
所以等腰三角形有，， ，
共3个.
（第7题）
返回
线段
作线段的垂直平分线
概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴
线段的垂直平分线
尺规作图
轴对称性
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.(共32张PPT)
5.2 简单的轴对称图形
（第3课时）
第五章 图形的轴对称
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解角是轴对称图形。
2.理解并掌握角平分线的性质定理。
3.能利用尺规作一个角的角平分线。
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 观察下列常见的物品，你能想到数学中的哪个图形？
思考 角是轴对称图形吗？你能找到它的对称轴吗？
将纸片对折，打开纸片 ，折痕与这个角有何关系？
知识点1 角平分线的性质
思考 角是轴对称图形吗？你能找到它的对称轴吗？
将纸片对折，打开纸片 ，折痕与这个角有何关系？
知识点1 角平分线的性质
O
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴。
知识点1 角平分线的性质
尝试·思考 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和 CD′。
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由。
D′
知识点1 角平分线的性质
P
知识点1 角平分线的性质
D′
解：(1)CD=CD′，
因为D和D′是以OP所在直线为对称轴的一组对应点，
所以沿直线OP折叠，CD与CD′能完全重合，
所以CD=CD′。
P
(2)特别地，当CD⊥OA时（如图），CD′与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗
D′
(2)CD′⊥OB，
由对称可知∠CDO=∠CD′O=90°。
此时线段CD与CD′之间还有(1)中的关系。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
由此你能得到什么结论
知识点1 角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
符号语言：
因为OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
所以PD = PE。
知识点1 角平分线的性质
例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC交BC于点D，若BC=10，点D到AB的距离为4，则BD的长为( )
A.6 B.8 C.5 D.4
知识点1 角平分线的性质
A
解析:如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=4。
因为AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB。
所以 DC=DE =4，
所以BD=BC-DC=10-4=6。
如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线
假设∠AOB的平分线已作出，请回答下列问题：
（1）这条射线有什么特征
（2）如何确定这条射线上除端点之外的一个点
知识点2 用尺规作角的平分线
B
A
O
线上的点到这个角的两边的距离相等。
需要确定的点是角的对称轴上的点，
因此应当从角两边进行“对称”的操作。
如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。
作法：
1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE(如图)。
2.分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长
为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C。
3.作射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线。
D
E
C
知识点2 用尺规作角的平分线
B
A
O
你能解释这样做的道理吗？如何证明？
证明:连接EC，DC，由作法知:
在△OEC和△ODC中
　
所以△OEC≌△ODC(SSS)
所以∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠AOB的角平分线
知识点2 用尺规作角的平分线
D
E
C
B
A
O
例2 观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
知识点2 用尺规作角的平分线
解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线。
A．OE是∠AOB的平分线，正确；
B．OC=OD，正确；
C．点C、D到OE的距离相等，不正确；
D．∠AOE=∠BOE，正确。
C
D
C
E
A
B
O
回顾·反思 研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法 积累了哪些经验
研究等腰三角形、线段、角的过程主要运用了动手操作、画图、尺规作图、小组合作交流等方法。
积累了观察与猜想、逻辑推理与证明、分类讨论归纳总结、应用与拓展、反思与提升等活动经验。
知识点2 用尺规作角的平分线
1. 下列说法错误的是( )
B
A. 角是轴对称图形
B. 角平分线是角的对称轴
C. 将对折，使和重合，折痕所在的直线是
的对称轴
D. 角只有1条对称轴
返回
（第2题）
2. 如图，已知是 的平分线，
于点，于点， ，
则 的长度是( )
D
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
返回
（第3题）
3. 如图，在
中， ， 平分
，于点 ，如果
，那么 等于( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. [2024咸宁二模] 如图，
中， ，利用尺规在，
上分别截取，，使 ；分
别以，为圆心，大于 的长为半
径作弧，两弧在内交于点 ；作
B
A. B. 1 C. 2 D. 无法确定
射线交于点.若，为上一动点，则 的最
小值为( )
返回
（第5题）
5. 如图，是 的角平分线，
，垂足为， 的面积为12，
，，则 的长为( )
C
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【点拨】如图，作于点 .
因为是的角平分线， ,
,
所以 ,
所以 .
所以 .
所以 .
返回
6. 如图，的外角的平分线 与
相交于点，若点到 的距离为3，
则点到 的距离为( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】如图，过点作于点，于点 ，
于点 .
因为的外角的平分线与相交于点 ，
所以易得 ，故选C.
返回
7. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车
站，要求车站到两个村庄， 的距离相等，且车站到两条公
路，的距离相等，在内部确定车站的位置 .
（保留作图痕迹，不写作法）
【解】如图所示.
返回
（第8题）
8. 如图，点是直线上的点，点, 分别
是，平分线上的点， 于
点，于点,于点 ,则下列
结论错误的是( )
C
A. B.
C. 与互余的角有2个 D. 点是 的中点
（第8题）
【点拨】由角平分线的性质，易知
，，所以 ，
故A选项结论正确.由点，分别是 ，
平分线上的点，易知 ，故
B选项结论正确.与互余的角有， ，
， ，共4个，故C选项结论错误.易知
，所以点是 的中点，故D选项结论正确.
返回
（第9题）
9.如图，，的平分线
与的平分线相交于点 ，作
于点.若 ，则两平行线
与 间的距离为___.
4
【点拨】如图，过点作 .
因为，所以.因为 的
平分线与的平分线 相交于点
，于点 ，
所以， .
所以，即两平行线 与
间的距离为4.
返回
角
根据角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
角平分线的性质
尺规作图
轴对称性
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.

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