资源简介

2024-2025学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为( )
A. B.
C. D.
2.已知集合，集合则的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.空间中有三个平面，，与三条直线，，，则下列说法一定正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，过的直线与圆交于，两点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.过抛物线：的焦点的直线交于，两点点在点上方，若，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，，，则该正方体的外接球球心坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，为坐标原点若、、，下列说法正确的是( )
A. 存在实数，使
B. 存在实数，使
C. 若为锐角，则
D. 若为一组基底，则
10.如图所示的圆台，在轴截面中，，则( )
A. 该圆台的高为
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
11.已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则( )
A. 线段的最小值为
B. 线段的最大值为
C. 当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D. 当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平行六面体中，若，则的值为______．
13.已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为______．
14.已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为______．
注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，平面．
求证：平面；
求二面角的大小．
16.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为点为双曲线右支上的一点，
若点到轴的距离为，的面积为，求双曲线的标准方程；
若，求的值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，平面与平面的交线为．
证明：；
已知，，，点是上一动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长度．
18.本小题分
已知圆，为圆外的动点过点作圆的切线，切点为，，满足记动点的轨迹为．
求的轨迹方程；
设点为直线上的一点过点作轨迹的两条切线，切点为，．
证明：直线过定点；
求线段长度的最小值．
19.本小题分
已知抛物线：，焦点为斜率存在的直线与抛物线交于，两点．
若直线的倾斜角为，且求直线的方程；
给定一个正实数，分别过点，作的切线，，设，交于点．
证明：点在定直线上的充要条件是直线过定点；
已知直线与轴交于点，且证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.：
15.解：证明：因为平面，，平面，
所以，，所以为直角三角形，
又因为，
所以，则为直角三角形，故BC，
又因为，，，平面，
所以平面．
由知，且平面，
以为原点，所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
16.解：因为双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，
又点为双曲线右支上的一点，所以设点，，则，
所以的面积为，解得，
又，所以，，
所以双曲线的方程为；
设，则由双曲线定义得，则，
由勾股定理得，则，
由题意知，所以，
所以，
即，
解得或舍去，
所以．
17.解：证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以．
因为，平面平面，平面平面，
如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
在平面内，与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
由知，点在上且过点，故设，
，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，得，，
所以，
设与平面所成角为，
则，
解得，所以．
18.解：连接，，那么三角形为直角三角形，且．
那么．
因此点是半径为，以为圆心的圆．因此曲线的轨迹方程为．
如图，
证明：设点．
以为直径圆：，所以．
以为直径圆与圆的方程相减即为的方程，所以：．
化简得．
令，，解得．
因此过定点．
记圆的半径为，即坐标原点到直线的距离为，那么．
那么当取最大值时，有最小值．
根据几何性质知的最大值为，当且仅当时取到．
因此的最小值为．
19.解：设直线：，联立得．
设，，则．
则，解得．
经检验，时，所以直线的方程为．
设过点，的切线方程为，
联立得，即．
则由相切得，整理得，解得．
所以过点的切线方程为．
同理过点的切线方程为．
两方程联立得，所以点．
必要性：点在定直线上，则．
设过点的直线：．
联立得由韦达定理得．
解得，则直线过点；
充分性：设过定点的直线：
联立得，由韦达定理得．
点的横坐标为，所以点在定直线上．
综上，点在定直线上的充要条件是直线过定点．
如图，过，分别作准线的垂线，垂足分别为，．
连接，，，与交于点由抛物线定义得，．
则．
则，所以．
由知，所以因此与全等，所以．
同理可得，与全等，所以．
则，所以．
所以．
所以．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑