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江西省 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量 ～ (80, 2)，且 ( ≥ 120) = 0.21，则 (40 < < 80) =( )
A. 0.21 B. 0.29 C. 0.71 D. 0.79
2.若随机变量 ～ (3,0.6)，则 ( ) =( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.72 D. 1.8
3.如图，在四面体 中， 为 的中点，3 = 2 ，且 为 的中点，则
=( )
1 1 1A. + +
6 6 6
1 5 1
B. + +
6 6 6
1 2 1
C. +
3 3 6
2 1 1
D. +
3 6 3

4.直线 + = 1与圆 2 + 2 = 625的公共点个数为( )
30 40
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法判断
2
5.已知双曲线 过点(3,6)，且与双曲线 2 = 1有相同的渐近线，则 的方程为( )
3
2 2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
99 33 99 33 33 99 33 99
6.二项式(√ 2 + √ 6)4的展开式中有理项的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7.已知圆 1：( 1)
2 + ( 1)2 = 4与圆 2：( 4)
2 + ( 5)2 = 41 有三条公切线，则 =( )
A. 5 B. 16 C. 32 D. 36
8.在正方体 中，空间中一动点 满足 ( + 1 1 1 1 ) = + 1 (0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 1)，则
直线 1 与直线 1 1所成角正弦值的取值范围为( )
3 √ 2 √ 3 1 √ 3
A. ( , 1] B. [ , 1] C. ( , 1] D. ( , ]
4 2 6 3 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2,0, 1)， = (0,1,1)，则( )
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A. | | = 5
√ 2 √ 2
B. 同方向上的单位向量的坐标为(0, , )
2 2
C. = 1
D. 在
√ 5
上的投影向量的模为
5
1
10.记 = ( 2) , ∈ ，则( )
5
A. 若 的展开式中存在常数项，则 是7的倍数
B. 若 的展开式中存在常数项，则 是6的倍数
+1
C. 若 是奇数，则第 项一定是 的展开式中系数最大的项
2

D. 若 是偶数，则第 + 1项是 的展开式中二项式系数最大的项
2
11.已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分
为两个等级：合格，不合格.评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分.若评定为不合格，则
4 3
下一次评定为合格的概率为 ，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为 .已知包括小明与小刚在内共
5 5
+ 1( > 2)名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这 + 1名同学排队依次提交研学论文，
则( )
12
A. 若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为
25
17
B. 若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为
25
C. 若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有( 2) ( 1)!种提交
顺序
D. 若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有( 1) !种提交顺序
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12.已知直线 1： 2025 = 0， 2：(3 2) + + 1 = 0( ≠ 0)满足 1 ⊥ 2，则 = ______．

13.根据下表数据得到 关于 的线性回归方程 = 2.2 ，则 = ______．
1 2 3 4
1 4 5 8
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14.现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形
卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡
槽的两端，则共有______种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有______种不同的
放法．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点 (1, 0)是抛物线 ：
2 = 2 ( > 0)上一点， 为 的焦点，且| | = 2．
(1)求 的准线方程；
(2)若点 位于第一象限，求 在点 处的切线 的方程．
16.(本小题12分)
现有一质地均匀的正方体骰子(六个面分别标着数字1～6)，连续投掷两次，记 ， 分别为第一次、第二次
投掷后朝上的点数，设离散型随机变量 = | |．
(1)求 ( = 0)和 ( = 1)的值；
(2)求 的分布列和数学期望．
17.(本小题12分)
如图，三棱锥 的棱 上存在一点 ，使得平面 ⊥底面 ，点 在棱 上，且 ⊥ ， ⊥
平面 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若 = = 2， = ， = 2 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 ( 1,0)，过 且斜率不为0的直线 交 于 ， 两点，过点 ，
分别作 的垂线，交 于 ， 两点.当 的斜率不存在时，四边形 的面积为6．
(1)求 的方程；
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(2)求| |的取值范围；
| | | |
(3)证明： = ．
| | | |
19.(本小题12分)
( | )
对于样本空间中的随机事件 和随机事件 ，定义： = 表示在事件 发生的条件下事件 的发生强度，
( | )

( | )
= 表示在事件 发生的条件下事件 的发生强度.某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常
( | )
喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示．
患有肥胖症 不患有肥胖症 合计
经常喝 16
不经常喝 18 52
合计 100
(1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间
有关联；

( | ) ( | )
(2)证明 = ；
( | ) ( | )
(3)从该地区的上班族中任取一位，记事件 为“此人患有肥胖症”， 为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用

调查的样本数据，估计 的值．

2
( )
附： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ 0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】1
14.【答案】1728 3840
15.【答案】解：(1)已知点 (1, 0)是抛物线 ：
2 = 2 ( > 0)上一点， 为 的焦
点，
又| | = 2．

则| | = 1 + = 2，
2
所以 = 2，
可得 ： 2 = 4 ，
所以 的准线方程为 = 1．
(2)因为点 (1, 0)在抛物线 上，
所以 20 = 4，
又 (1, 0)位于第一象限，
所以 0 = 2，
所以 (1,2)，
过点 的直线 与 相切，
若直线 斜率不存在，不符合题意；
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设直线 ： 2 = ( 1)，
2 = ( 1)
联立{
2
，
= 4
得 2 4 + 8 4 = 0，
当 ≠ 0时， = 16 4 (8 4 ) = 0，
即 2 2 + 1 = 0，
即 = 1，
当 = 0时， 4 + 8 = 0，
又 = 2与抛物线相交，不符合题意；
所以 的方程为 2 = 1，
即 + 1 = 0．
16.【答案】解：(1)因为离散型随机变量 = | |，
所以 表示连续两次投掷得到的点数中大的点数与小的点数的差，
连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能，
其中得到的点数中点数之差为0的可能情况有：
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种情况，
6 1
故 ( = 0) = = ，
36 6
其中得到的点数中大的点数与小的点数的差为1的可能情况有：
(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，有10种情况，
10 5
故 ( = 1) = = ；
36 18
(2)由题意可得 的可能取值有0，1，2，3，4，5，
= 2的情况有：(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，共8种情况，
= 3的情况有：(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,1)，(5,2)，(6,3)，共6种情况，
= 4的情况有：(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4种情况，
= 5的情况有：(1,6)，(6,1)，共2种情况，
8 2 6 1 4 1 2 1
所以 ( = 2) = = , ( = 3) = = ， ( = 4) = = , ( = 5) = = ，
36 9 36 6 36 9 36 18
所以 的分布列如下：
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0 1 2 3 4 5
1 5 2 1 1 1

6 18 9 6 9 18
1 5 2 1 1 1 5 4 1 4 5 35
故 E( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × = + + + + = ．
6 18 9 6 9 18 18 9 2 9 18 18
17.【答案】解：(1)证明：因为平面 ⊥底面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)由(1)知， ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
以点 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，过点 垂直底面 的直线为 轴，建立如图所示的空
直角坐标系．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
又 = ，所以 2 = 2 + 2 = 2 2 = 4，得 = √ 2．
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， ( 1,3,0)， (0,1,1)，
故 = (0, 1,1), = (0,1,1), = ( 1,3,0)，
由题可得，平面 的一个法向量为 = (0, 1,1)．
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，则 ⊥ , ⊥ ，
所以{ = + = 0 ，取 = 1，得 = 1， = 3，则 = (3,1, 1)．
= + 3 = 0
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 2 √ 22
所以 = |cos < , > | = = = ，
| || | √ 2×√ 11 11
因此平面 与平面 夹角的余弦值为√ 22．
11
18.【答案】解：(1)因为椭圆 的左焦点为 ( 1,0)，
所以 = 1，
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此时 2 2 = 2 = 1，①
当 的斜率不存在时，
将 = 1代入椭圆方程中，
2
解得 = ± ，

2 2
即 ( 1, ), ( 1, )，

2
所以 2 | | = ，

因为四边形 为矩形，
2
所以矩形 的面积 2 = 2 × = 6，②

联立①②，
解得 = 2， = √ 3，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1；
4 3
(2)设 ( 1, 1)，
因为点 在椭圆 上，且 的斜率不为0，
2 2
所以 1 ∈ ( 2,2)且
1 + 1 = 1，
4 3
所以 2
3
1 = 3
2，
4 1
则 3 +4| | = √ ( 1 + 1)2 +
2
1 = √ ( 1 + 1)
2 + 3 2 1 ，
4 1
=
2
因为 1 ∈ ( 2,2)，
所以| | ∈ (1,3)；
(3)证明：设 ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)，且 1， 2 ∈ ( 2,2)， 3， 4 ∈ [ 2,2]
所以 + 4 > 0且4 2 12 = 3
2
, = 1,2,3,4．
+4
由(2)得| | = 1 ，
2
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2+4 3+4 +4同理得| | = , | | = , | | = 4 ，
2 2 2
| | | |
要证 = ，
| | | |
4+
需证 1
4+
= 2，
4+ 3 4+ 4
由题意直线 斜率不为0，
所以直线 和 的斜率存在，
设直线 的方程为 = ( 1) + 1，
2 2
+ = 1
联立{ 4 3 ，消去 并整理得(3 + 4 2) 2 + 8 ( 1
2 2
1) + (4 3) 1 8 1 1 = 0，
= ( 1) + 1
2
(4 3) 2
当 ≠ 0时，由韦达定理得 = 1
8 1 1
1 1 3 ， 2
3+4
2
(4 3) 8
所以 = 1 13 ； 2
3+4
8
当 1 = 0时，由韦达定理得 1 + 3 = 3 =
1
2，也适合上式；
3+4
2
(4 3) 8
所以 = 1 13 ， 2
3+4
2
(4 3) 8
同理得 2 24 = ． 2
3+4
4+ 1 4+ 因为 = 2，
4+ 3 4+ 4
2 2
4+ 1 (4+ 1)(3+4 ) 4+ 2 (4+ 2)(3+4 )所以 = ， = ，
4+ 2 2 2 23 16 +12+(4 3) 1 8 4+ 1 4 16 +12+(4 3) 2 8 2
①当直线 的斜率存在且不为0时，
1
直线的方程为 = ( + 1)，

1 1
所以 1 = ( 1 + 1), 2 = ( 2 + 1)
，
可得 8 1 = 8( 1 + 1)， 8 2 = 8( 2 + 1)，
2 2 2 2
(4+ 1)(3+4 ) 3+4 (4+ 2)(3+4 ) 3+4 所以 2 2 = 2 ， 2 2 = 2 ，
16 +20+(4 +5) 1 4 +5 16 +20+(4 +5) 2 4 +5
| | | |
则 = ；
| | | |
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②当 的斜率不存在即 = 0时，
可得 1 = 2， 3 = 4，
4+ 1 4+ 等式 = 2显然成立．
4+ 3 4+ 4
| | | |
综上所述， = 得证．
| | | |
19.【答案】解：(1)完善2 × 2列联表如下：
患有肥胖症 不患有肥胖症 合计
经常喝 16 32 48
不经常喝 34 18 52
合计 50 50 100
零假设 0：该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间无关联，
2
2 100×(34×32 16×18) 400则 = = ≈ 10.256 > 7.879，
50×50×48×52 39
依据小概率值 = 0.005的独立性检验，我们推断 0不成立，
所以有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水“有关联；

( | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(2)证明：由 = = = ，
( | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = ，
( | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( | ) ( | )
故 = 得证；
( | ) ( | )
1 17
(3)由样本数据可得 ( | ) = , ( | ) = ，
3 26
2 9
又因为 ( | ) = , ( | ) = ，
3 26
1 9
( | ) ( | ) 1 9 9
故 = 3 = × 26
2 17
= × = ．
( | ) ( | ) 2 17 343 26
第 10 页，共 10 页

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