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17.1　勾股定理
第1课时　勾股定理
知识点1　勾股定理的证明
1.若a,b,c分别表示直角三角形的三边长,则图中不能用来验证勾股定理的是(　D　)
A
B
C
D
2.四个全等的直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c.现把它们适当拼合,可以得到如图的图形,利用这个图形可以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗 请试一试.
解:该图形的总面积可以表示为一个正方形的面积+2个三角形的
面积,
即c2+2×ab=c2+ab,也可以表示为两个正方形的面积+两个三角形的面积,
即a2+b2+2×ab=a2+b2+ab,
∴c2+ab=a2+b2+ab,∴a2+b2=c2.
知识点2　 利用勾股定理计算
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则BC等于(　D　)
A. B.8 C.2 D.4
4.如图,点A,B都在格点上,若BC=,则AC的长为(　B　)
A. B. C.2 D.3
5.如图,点E在正方形ABCD内,∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(　C　)
A.48 B.60 C.76 D.80
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,AB=,则BC=　　.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=6,b=8,求c及斜边上的高;
(2)若a=40,c=41,求b;
(3)若a∶b=3∶4,c=15,求b.
解:(1)根据勾股定理,得c==10,
∴斜边上的高==4.8.
(2)根据勾股定理,得b==9.
(3)∵a∶b=3∶4,
∴根据勾股定理,得a∶b∶c=3∶4∶5.
又c=15,∴a=9,b=12.
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=24,大正方形的面积为129,则小正方形的边长为(　D　)
A.12 B.11 C.10 D.9
9.一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则该三角形的面积为(　C　)
A.20 B.22 C.24 D.28
10.如图,已知∠B=∠C=∠CDE=∠E=90°,且BC=DE=8,EF=2AB=2CD,AB=3,则A,F两点间的距离是(　B　)
A.16 B.20 C.20 D.24
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,则AE的长为　　.
12.(易错题)在△ABC中,AB=3,AC=5,若边BC上的高等于3,则BC的长为　7或1　.
13.如图,∠BAC=90°,BC=28,AC=14,BD=13,AD=15.
(1)求AB的长度;
(2)过点D作DH⊥AB,并求△ADB的面积.
解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠BAC=90°,BC=28,AC=14,
∴AB===14.
(2)如图.
由题意,知∠DHB=∠AHD=90°.
设BH=x,则AH=14-x.
在Rt△BDH中,∠DHB=90°,BH=x,BD=13,
由勾股定理,得DH2=BD2-BH2=132-x2.
在Rt△ADH中,∠AHD=90°,AD=15,AH=14-x,
由勾股定理,得DH2=AD2-AH2=152-(14-x)2,
∴132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,
∴DH2=132-x2=169-25=144,
∴DH=12,
∴=AB·DH=×14×12=84.
14.(2023天津)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为(　D　)
A.9 B.8 C.7 D.6
第2课时　勾股定理在实际生活中的应用
知识点1　勾股定理的实际应用
1.如图,有一个羽毛球场地的形状是长方形ABCD,如果AB=8 m,AD=
6 m,那么你要从A走到C至少要走(　C　)
A.14 m B.12 m C.10 m D.9 m
2.如图,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下,树顶落在离树根12 m处,则这棵大树在折断之前的高度是(　B　)
A.20 m B.18 m C.16 m D.15 m
3.如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17 m,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10 m,则船向岸边移动了　9　m.
4.如图是一个棱长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,且AQ=2,一只蚂蚁从点P出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程是　10　.
5.某市道路交通管理条例规定:小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时.如图,一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方24米的点C处,过了1.5秒后到达点B处(BC⊥AC),测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米,判断这辆小汽车是否超速.若超速,请计算超速了多少;若没有超速,说明理由.
解:小汽车已超速.
根据题意,得AC=24米,AB=40米,∠ACB=90°,
∴在Rt△ACB中,根据勾股定理,得BC===32(米).
∵小汽车1.5秒行驶32米,∴小汽车行驶速度为76.8千米/时.
∵76.8>60,∴小汽车已超速,
超速76.8-60=16.8(千米/时).
知识点2　 在数轴上表示无理数
6.如图,以数轴上数1对应的点为圆心,正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P,则点P对应的实数为(　D　)
A.- B. C.-1 D.1-
7.如图,数轴上点A,B对应的数分别是1,2,以AB为边在数轴上方作正方形ABCD,连接AC,以点A为圆心、AC的长为半径画圆弧交数轴(点A的左侧)于点E,则点E在数轴上对应的数为　1-　.
8.(1)数轴上的点并不都表示有理数,如图,以数轴的单位长度为边作正方形,以数轴上的原点O为圆心,正方形的对角线长为半径作弧与数轴交于一点A,则点A表示的数为,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做(　　)
A.代入法 B.换元法 C.数形结合 D.分类讨论
(2)请你模仿上面的例子在下面的数轴上找出表示的点.
解:(1)C
(2)如图所示.
在数轴找出表示3的点E,则OE=3.过点E作直线l垂直于OE,在l上取点F,使EF=2;以原点O为圆心,OF为半径作弧与数轴交于一点A,则点A即为表示的点.
9.(2024花都期中)如图,小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河,但由于水流的影响,实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米,结果遥控轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米,则河的宽度AB是(　D　)
A.8米 B. 12米 C. 16米 D. 24米
10.如图,把一个长为16 cm的橡皮筋放置在数轴上(未标出原点),固定两端A和B,然后把中点C向上拉升6 cm至D点,则橡皮筋被拉长了(　A　)
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
11.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,已知一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a.若直吸管在罐外部分还剩余3,则吸管的总长度b(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是(　D　)
A.12≤b≤13 B.12≤b≤15 C.13≤b≤16 D.15≤b≤16
12.某会展中心在会展期间准备将高5 m,长13 m,宽2 m的楼道(如图所示)铺上地毯.已知地毯每平方米20元,请你帮忙计算一下,铺完这个楼道至少需要　680　元.
13.如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处爬行的最短路程为　20　cm.(杯壁厚度不计)
14.实数与数轴上的点一一对应,无理数也可以在数轴上表示出来,体现了数形结合思想.
(1)由数到形:在数轴上(图①)用尺规作图作出-对应的点P(不要写作法,保留作图痕迹).
(2)由形到数:如图②,在数轴上,点A,B表示的数分别为0,2.作BC⊥AB于点B,截取BC=1;连接AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧交AC于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧交AB于点E,求点E表示的实数.
①
②
解:(1)如图,点P为所作.
(2)由作法得CD=CB=1,AD=AE.
∵BC⊥AB,∴∠ABC=90°.
∵AB=2,BC=1,∴AC==,
∴AD=AC-CD=-1,∴AE=-1,
∴点E表示的实数是-1.
15.如图是桂老师带的拉杆箱的示意图,箱体长AB=65 cm,拉杆最大伸长距离BC=35 cm,在箱体的底端装有一圆形滚轮,其直径为6 cm.当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移 55 cm 到A′处.请求出桂老师手的位置C离地面的距离(假设C点的位置保持不变).
解:如图,过点C作CE⊥DN于点E,延长AA′交CE于点F,则∠AFC=
90°.
设A′F=x cm,则AF=(55+x)cm,
AC=65+35=100(cm),A′C=65 cm.
在Rt△A′CF中,CF2=652-x2;
在Rt△ACF中,CF2=1002-(55+x)2,
∴652-x2=1002-(55+x)2,解得x=25,
∴A′F=25 cm,
∴CF==60 cm.
又∵EF=AD=3 cm,
∴CE=60+3=63(cm),
∴桂老师手的位置C离地面的距离为63 cm.
第3课时　利用勾股定理作图和计算
知识点1　利用勾股定理作图
1.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,在所给网格中按下列要求画出图形,并回答问题.
(1)已知点A在格点(即小正方形的顶点)上,画一条线段AB,长度为,且点B在格点上;
(2)以(1)所画线段AB为一边,另外两条边长分别是3,2,画一个三角形ABC,使点C在格点上(只需画出符合条件的一个三角形);
(3)所画的三角形ABC的边AB上的高长为　　　　(直接写出答案).
题图
解:(1)如图所示.　(2)如图所示.　(3)
答图
2.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点.
(1)在图①中,画一个面积为10的正方形;
(2)在图②、图③中,分别画两个不全等的直角三角形,使它们的三边长都是无理数.
①
②
③
解:(1)如图①所示.
①
②
③
(2)如图②③所示.
知识点2　利用勾股定理计算
3.如图,以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A,已知点A的坐标为(,0),点P的纵坐标为-1,则点P的坐标为(　A　)
A.(4,-1) B.(,-1) C.(-1,4) D.(-1,)
4.有一架秋千(如图①),当它静止时,踏板离地垂直高度DE=1 m,将它往前推送6 m(即水平距离BC=6 m)时,秋千踏板离地的垂直高度BF=4 m(示意图如图②),秋千的绳索始终拉得很直,则绳索AD长为(　B　)
①
②
A. m B. m C.6 m D. m
5.如图,点B在正方形ADEC的内部,连接AB,BC.若∠CBA=90°,AB=1,
BC=2,则正方形ADEC的面积是(　C　)
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图,在平面直角坐标系中,点A和点B的坐标分别是A(-2,1),
B(2,3),那么线段AB的长度是(　B　)
A. B.2 C.5 D.
7.将一根24 cm长的筷子,置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中(如图所示),设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是(　D　)
A.h≤17 B.h≥8 C.15≤h≤16 D.7≤h≤16
8.如图,在直线l上方有正方形①②③,若正方形①③的面积分别为4和16,则正方形②的面积为(　B　)
A.24 B.20 C.12 D.22
9.(2024番禺期末)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为　　.
10.在平面直角坐标系中,点A(4,0)和点B(0,4)之间的距离AB=　4　.
11.在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点C在第一象限,过点C作x轴的垂线,垂足为B,已知点C的坐标为(3,),AC长为2.求AB,OC的长.
解:∵点C的坐标为(3,),BC⊥x轴,
∴OB=3,BC=,
∴AB===1,
OC===2.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ADE沿DE翻折,使点A与点B重合,则AE的长为(　D　)
A. B.3 C. D.
13.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图①中空白部分的面积为S1,图③中空白部分的面积为S2,则下列表示S1,S2的等式成立的是(　B　)
A.S1=a2+b2+2ab B.S1=a2+b2+ab
C.S2=c2 D.S2=c2+ab
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为(　C　)
A.2- B. C.-1 D.1
15.如图,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均为格点.
(1)求△ABC的面积;
(2)通过计算求出点C到AB所在直线的距离.
解:(1)S△ABC=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4.
(2)由勾股定理,得AB==.
设点C到AB所在直线的距离为h,则S△ABC=AB×h=4,∴h=,
即点C到AB所在直线的距离为.
16.如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB和线段DE,点A,B,D,E均在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC,点C在小正方形的顶点上,且三角形ABC的面积为.
(2)在方格纸中画出以DE为一边、一个内角为钝角的等腰三角形DEF,点F在小正方形的顶点上,且三角形DEF的面积为4.连接CF,请直接写出线段CF的长.
解:(1)如图所示.
(2)如图所示,CF=.
17.如图①,C为线段BD上的一个动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长为　　　　　　　;
(2)求AC+CE的最小值;
(3)根据(2)中的规律和结论,请模仿图①在网格(图②)中构图并求代数式+的最小值.
①
②
解:(1)+
(2)如图①,过点A作AF⊥DE,垂足为F,连接AE.
∵AF⊥DE,AB⊥BD,ED⊥BD,∴四边形ABDF是长方形,
∴AB=DF=2,BD=AF=8,∴EF=3.∵AC+CE=+,
∴要使AC+EC的值最小,则需满足A,C,E三点共线,即最小值为AE
的长,
∴AC+CE的最小值=AE==.
①
(3)如图②,取P为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AP,EP,
②
则AB=1,DE=2,BD=3.
设BP=x,则根据勾股定理,可得
AP=,PE=,∴AP+PE=+,
由(2)可知AP+PE=+的最小值即为点A与点E之间的距离,
∴+的最小值为=3.17.1　勾股定理
第1课时　勾股定理
知识点1　勾股定理的证明
1.若a,b,c分别表示直角三角形的三边长,则图中不能用来验证勾股定理的是( )
A
B
C
D
2.四个全等的直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c.现把它们适当拼合,可以得到如图的图形,利用这个图形可以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗 请试一试.
知识点2　 利用勾股定理计算
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则BC等于( )
A. B.8 C.2 D.4
4.如图,点A,B都在格点上,若BC=,则AC的长为( )
A. B. C.2 D.3
5.如图,点E在正方形ABCD内,∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60 C.76 D.80
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,AB=,则BC= .
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=6,b=8,求c及斜边上的高;
(2)若a=40,c=41,求b;
(3)若a∶b=3∶4,c=15,求b.
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=24,大正方形的面积为129,则小正方形的边长为( )
A.12 B.11 C.10 D.9
9.一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则该三角形的面积为( )
A.20 B.22 C.24 D.28
10.如图,已知∠B=∠C=∠CDE=∠E=90°,且BC=DE=8,EF=2AB=2CD,AB=3,则A,F两点间的距离是( )
A.16 B.20 C.20 D.24
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,则AE的长为 .
12.(易错题)在△ABC中,AB=3,AC=5,若边BC上的高等于3,则BC的长为 .
13.如图,∠BAC=90°,BC=28,AC=14,BD=13,AD=15.
(1)求AB的长度;
(2)过点D作DH⊥AB,并求△ADB的面积.
14.(2023天津)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
第2课时　勾股定理在实际生活中的应用
知识点1　勾股定理的实际应用
1.如图,有一个羽毛球场地的形状是长方形ABCD,如果AB=8 m,AD=
6 m,那么你要从A走到C至少要走( )
A.14 m B.12 m C.10 m D.9 m
2.如图,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下,树顶落在离树根12 m处,则这棵大树在折断之前的高度是( )
A.20 m B.18 m C.16 m D.15 m
3.如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17 m,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10 m,则船向岸边移动了 m.
4.如图是一个棱长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,且AQ=2,一只蚂蚁从点P出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程是 .
5.某市道路交通管理条例规定:小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时.如图,一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方24米的点C处,过了1.5秒后到达点B处(BC⊥AC),测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米,判断这辆小汽车是否超速.若超速,请计算超速了多少;若没有超速,说明理由.
知识点2　 在数轴上表示无理数
6.如图,以数轴上数1对应的点为圆心,正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P,则点P对应的实数为( )
A.- B. C.-1 D.1-
7.如图,数轴上点A,B对应的数分别是1,2,以AB为边在数轴上方作正方形ABCD,连接AC,以点A为圆心、AC的长为半径画圆弧交数轴(点A的左侧)于点E,则点E在数轴上对应的数为 .
8.(1)数轴上的点并不都表示有理数,如图,以数轴的单位长度为边作正方形,以数轴上的原点O为圆心,正方形的对角线长为半径作弧与数轴交于一点A,则点A表示的数为,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做(　　)
A.代入法 B.换元法 C.数形结合 D.分类讨论
(2)请你模仿上面的例子在下面的数轴上找出表示的点.
9.(2024花都期中)如图,小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河,但由于水流的影响,实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米,结果遥控轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米,则河的宽度AB是( )
A.8米 B. 12米 C. 16米 D. 24米
10.如图,把一个长为16 cm的橡皮筋放置在数轴上(未标出原点),固定两端A和B,然后把中点C向上拉升6 cm至D点,则橡皮筋被拉长了( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
11.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,已知一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a.若直吸管在罐外部分还剩余3,则吸管的总长度b(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是( )
A.12≤b≤13 B.12≤b≤15 C.13≤b≤16 D.15≤b≤16
12.某会展中心在会展期间准备将高5 m,长13 m,宽2 m的楼道(如图所示)铺上地毯.已知地毯每平方米20元,请你帮忙计算一下,铺完这个楼道至少需要 元.
13.如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处爬行的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
14.实数与数轴上的点一一对应,无理数也可以在数轴上表示出来,体现了数形结合思想.
(1)由数到形:在数轴上(图①)用尺规作图作出-对应的点P(不要写作法,保留作图痕迹).
(2)由形到数:如图②,在数轴上,点A,B表示的数分别为0,2.作BC⊥AB于点B,截取BC=1;连接AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧交AC于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧交AB于点E,求点E表示的实数.
①
②
15.如图是桂老师带的拉杆箱的示意图,箱体长AB=65 cm,拉杆最大伸长距离BC=35 cm,在箱体的底端装有一圆形滚轮,其直径为6 cm.当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移 55 cm 到A′处.请求出桂老师手的位置C离地面的距离(假设C点的位置保持不变).
第3课时　利用勾股定理作图和计算
知识点1　利用勾股定理作图
1.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,在所给网格中按下列要求画出图形,并回答问题.
(1)已知点A在格点(即小正方形的顶点)上,画一条线段AB,长度为,且点B在格点上;
(2)以(1)所画线段AB为一边,另外两条边长分别是3,2,画一个三角形ABC,使点C在格点上(只需画出符合条件的一个三角形);
(3)所画的三角形ABC的边AB上的高长为 (直接写出答案).
题图
2.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点.
(1)在图①中,画一个面积为10的正方形;
(2)在图②、图③中,分别画两个不全等的直角三角形,使它们的三边长都是无理数.
①
②
③
知识点2　利用勾股定理计算
3.如图,以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A,已知点A的坐标为(,0),点P的纵坐标为-1,则点P的坐标为( )
A.(4,-1) B.(,-1) C.(-1,4) D.(-1,)
4.有一架秋千(如图①),当它静止时,踏板离地垂直高度DE=1 m,将它往前推送6 m(即水平距离BC=6 m)时,秋千踏板离地的垂直高度BF=4 m(示意图如图②),秋千的绳索始终拉得很直,则绳索AD长为( )
①
②
A. m B. m C.6 m D. m
5.如图,点B在正方形ADEC的内部,连接AB,BC.若∠CBA=90°,AB=1,
BC=2,则正方形ADEC的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图,在平面直角坐标系中,点A和点B的坐标分别是A(-2,1),
B(2,3),那么线段AB的长度是( )
A. B.2 C.5 D.
7.将一根24 cm长的筷子,置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中(如图所示),设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是( )
A.h≤17 B.h≥8 C.15≤h≤16 D.7≤h≤16
8.如图,在直线l上方有正方形①②③,若正方形①③的面积分别为4和16,则正方形②的面积为( )
A.24 B.20 C.12 D.22
9.(2024番禺期末)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 .
10.在平面直角坐标系中,点A(4,0)和点B(0,4)之间的距离AB= .
11.在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点C在第一象限,过点C作x轴的垂线,垂足为B,已知点C的坐标为(3,),AC长为2.求AB,OC的长.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ADE沿DE翻折,使点A与点B重合,则AE的长为( )
A. B.3 C. D.
13.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图①中空白部分的面积为S1,图③中空白部分的面积为S2,则下列表示S1,S2的等式成立的是( )
A.S1=a2+b2+2ab B.S1=a2+b2+ab
C.S2=c2 D.S2=c2+ab
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为( )
A.2- B. C.-1 D.1
15.如图,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均为格点.
(1)求△ABC的面积;
(2)通过计算求出点C到AB所在直线的距离.
16.如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB和线段DE,点A,B,D,E均在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC,点C在小正方形的顶点上,且三角形ABC的面积为.
(2)在方格纸中画出以DE为一边、一个内角为钝角的等腰三角形DEF,点F在小正方形的顶点上,且三角形DEF的面积为4.连接CF,请直接写出线段CF的长.
17.如图①,C为线段BD上的一个动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长为 ;
(2)求AC+CE的最小值;
(3)根据(2)中的规律和结论,请模仿图①在网格(图②)中构图并求代数式+的最小值.
①
②

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