资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025高考数学模拟题分类汇编（一）——解三角形解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．（2024 新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若a＝2，，求△ABC周长．
【分析】（1）由辅助角公式及角A的范围，可得角A的大小；
（2）由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，进而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，进而求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为，
所以2sin（A）＝2，即sin（A）＝1，
由A为三角形内角，得A，
即A；
（2）因为，
，由正弦定理可得：，
可得，
又因为B∈（0，π），所以，，
在△ABC中，由正弦定理得，
所以，，
所以△ABC的周长为．
综上，△ABC的周长为．
【点评】本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．
2．（2024 新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCcosB，a2+b2﹣c2．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3，求c．
【分析】（1）利用余弦定理化简a2+b2﹣c2，得到C，由此算出cosB，结合B∈（0，π），可得角B的大小；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，由△ABC的面积为3建立关于R的方程，解出R的值，进而利用正弦定理算出边c的值．
【解答】解：（1）因为a2+b2﹣c2，所以cosC，结合C为三角形的内角，可得C．
因为sinCcosB，所以cosB，结合B∈（0，π），得B；
（2）由（1）可知A＝π﹣B﹣C，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
由S△ABCbcsinA，得 sin，
即 ，解得R2＝4，所以R＝2（舍负），可得c．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
3．（2025 浙江模拟）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若D为AC上一点，且AD＝2，DC＝1，BD为∠ABC的角平分线，求线段BD的长．
【分析】（Ⅰ）根据二倍角的公式与两角和的余弦公式，化简得到cos（A+C），由此算出A+C，进而可得角B的大小；
（Ⅱ）由三角形内角平分线定理，可得2，即AB＝2BC，然后在△ABC中，根据余弦定理列式算出BC，运用正弦定理求出sinA，最后在△ABD中根据正弦定理算出BD的长，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得4sinAsinC+3，即2+2cos（A﹣C）＝4sinAsinC+3，
可得2+2cosAcosC+2sinAsinC＝4sinAsinC+3，整理得2（cosAcosC﹣sinAsinC）＝1，
即2cos（A+C）＝1，可得cos（A+C），
结合0＜A+C＜π，可得A+C，所以B＝π﹣（A+C）；
（Ⅱ）在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，可得2，
设BC＝x，则AB＝2x，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcos，
即9＝4x2+x2﹣2 2x x （）＝7x2，解得x，所以BC．
在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA，
在△ABD中，∠ABD∠ABC，AD＝2，
由正弦定理得，可得BD．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理与余弦定理等知识，考查了计算能力，等价转化的数学思想，属于中档题．
4．（2025 嘉兴模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为，求b．
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为三角函数关系，结合三角形内角和及两角和的正弦公式化简，解得，从而求得；
（2）由已知条件和三角形的面积公式可求得c＝3，a＝1，再将a，c和B代入余弦定理，解得．
【解答】解：（1）因为，
所以由正弦定理得：，
因为sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
所以，
因为B，C∈（0，π），所以sinC≠0，则，所以B＝60°；
（2）由，得c＝3，
所以，解得a＝1，
由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝17，解得．
【点评】本题考查正、余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题．
5．（2025 河南一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）设．
（i）求c；
（ii）求tanA的值．
【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换公式化简已知等式，求出cosB的值，进而可得角B的大小；
（2）（i）利用余弦定理列式，可得关于c的方程，解之可解得边c的大小；
②根据，代入边a、c求得tanAtanB，由此算出tanA的值．
【解答】解：（1）由，
可得1，即1，
所以，即，
可得，
因为0＜C＜π，0＜A＜π，
所以sinC≠0，sinA≠0，化简得，
结合B∈（0，π），可得．
（2）（i）根据a＝3，，，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，
整理得c2﹣3c﹣54＝0，
结合c＞0，解得c＝9．
（ii）根据，
可得．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
6．（2025 九江一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，a2＝c2+c+1．
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积．
【分析】（1）由余弦定理计算后结合A的取值范围即可求得；
（2）由正弦定理求得a，再由条件式解方程求得c，再由三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）因为b＝1，a2＝c2+c+1，
所以由余弦定理得：，
又因为A∈（0，π） 所以；
（2）由正弦定理得：，
所以，
由a2＝c2+c+1，得，解得或（舍去），
所以．
【点评】本题考查余弦定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
7．（2025 无锡模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）延长CB到D，使得BD＝5，，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理得a：b：c＝5：8：7，然后根据余弦定理求得，进而可得角C的大小；（2）求得，结合同角三角函数的关系求得cos∠ABC，然后根据两角之差的正弦公式，求得，再在△ABD中根据正弦定理得AB＝7，进而运用三角形面积公式算出答案．
【解答】解：（1）根据，由正弦定理得，即a：b：c＝5：8：7，
设a＝5t，则b＝8t，c＝7t，t＞0，由余弦定理得，
结合C∈（0，π），可得；
（2）由（1）可知，可得sin∠ABC，
由余弦定理得，
根据，可得（舍负），
所以sin∠BAD＝sin（∠ABC﹣∠ADC）
＝sin∠ABCcos∠ADC﹣cos∠ABCsin∠ADC．
在△ABD中，由正弦定理得，所以．
由c＝7，可得b＝8，a＝5，所以△ABC的面积．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式及其应用，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
8．（2025 南京模拟）在△ABC中，BC＝3，∠BAC．
（1）若AC＝2，求sinC；
（2）若D为边BC上的点且AD平分∠BAC，AD，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理，算出sinB，可得B，然后根据诱导公式与两角和的正弦公式，求出sinC的值；
（2）根据S△ABD+S△ACD＝S△ABC，利用三角形的面积公式算出b+c＝bc，由此结合余弦定理算出bc＝6，进而算出△ABC的面积．
【解答】解：（1）由正弦定理得，
结合，BC＝3，∠BAC，可得，
所以sinB，可得B（B不符合题意，舍去）．
所以sinC＝sin（∠BAC+B）＝sin（）＝sincoscossin；
（2）由AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠DAC∠BAC．
设AB＝c，AC＝b，由S△ABD+S△ACD＝S△ABC，可得c ADsinc ADsinbcsin．
结合，可得cbbc，整理得b+c＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB ACcos，
即18＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（bc）2﹣3bc，整理得（bc）2﹣3bc﹣18＝0，解得bc＝6（舍负）．
所以△ABC的面积Sbcsin．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式及其应用，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
9．（2025 武汉模拟）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若D为边AC上一点，且，求的值．
【分析】（1）根据正弦定理可得，结合三角恒等变换与辅助角公式可求得，求解即可；
（2）设BC＝1，利用等边三角形的性质得CD＝1，在△ABD中利用余弦定理求得AD，即可求解比例．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，
因为0＜A＜π，可得sinA≠0，
所以，
可得，可得，
因为0＜C＜π，
所以，
所以，可得；
（2）不妨设BC＝1，则，
因为，
所以△BCD为等边三角形，
则，
由余弦定理得，
所以AD2+AD﹣2＝0，解得AD＝1或AD＝﹣2（舍去），
所以．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
10．（2025 安徽模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＜b＜c且tanA，tanB，tanC均为整数．
（1）证明：tan2B﹣1＝tanAtanC；
（2）设AC的中点为D，求∠CDB的余弦值．
【分析】（1）首先得出，即，进一步根据三角恒等变换以及tanB≥2，tanC≤3，且tanB，tanC均为整数，可得tanB＝2，tanC＝3，由此即可得证；
（2）由题意先得出，，结合正弦定理有，再结合余弦定理以及等边对等角即可得解．
【解答】（1）证明：在△ABC中，tanA，tanB，tanC均为整数，a＜b＜c，
所以，且A＜B＜C，
所以A最小，当矛盾，
所以，则，
且tanA为整数，
所以，
所以．
又，
即tanBtanC﹣1＝tanB+tanC．
由tanB，tanC均为整数，且B＜C，tanA＝1，
由，可得tanC≤3，
又因为tanA＜tanB＜tanC，
可得tanB＝2，tanC＝3，
故tan2B﹣1＝3＝tanAtanC．
所以tan2B﹣1＝tanAtanC；
（2）解：
由（1）知tanB＝2，tanC＝3，，
则．
由正弦定理，
可得，
又AC的中点为．
在△BCD中，由余弦定理，得，
所以BD＝a，则BC＝BD，
所以．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
11．（2025 湖北模拟）设．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）化简可得，进而可得可得单调递增区间；
（2）利用和角的范围求得角A，结合正弦定理和化简整理得，再根据锐角三角形得到，代入求得a+b+c的取值范围，即为△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）
，
令，
得，k∈Z．
即f（x）的单调增区间为，k∈Z；
（2）因为，
可得，
由题意知A为锐角，可得A∈（，），
可得，
由正弦定理可得，b＝2，
则，c，
所以a+b+c22
22
22，
在锐角三角形中，则，
解得，
则，所以，则，
所以，
即△ABC周长的取值范围为．
【点评】本题考查三角函数的变换的应用及正弦定理的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．
12．（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，且．
（1）求的值；
（2）设，求a+c的值．
【分析】（1）由题设，利用正弦定理及同角三角函数的基本关系即可求解；
（2）根据向量的数量积运算，可得，结合b2＝ac，可得，利用余弦定理，可得，利用（a+c）2＝a2+c2+2ac，即可求得结论．
【解答】解：（1）由b2＝ac及正弦定理，可得sin2B＝sinAsinC，
所以，又，则，
所以；
（2）由，可得，
即，又b2＝ac，可得，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，
则（a+c）2＝a2+c2+2ac，所以．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和向量数量积公式的应用，属中档题．
13．（2025 重庆模拟）锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为．
（1）若a＝3，求sinC；
（2）求a2+4c的取值范围．
【分析】（1）根据正弦定理算出sinB，结合同角三角函数的关系算出cosB，然后根据sinC＝sin（A+B），利用两角和的正弦公式求出答案；
（2）由余弦定理算出a2＝c2﹣2c+4，根据△ABC是锐角三角形，结合余弦定理算出1＜c＜4．然后将a2+4c化简为关于c的表达式，运用二次函数的性质算出所求取值范围．
【解答】解：（1）由正弦定理，可得sinB，
由b＜a，可知B＜A，B为锐角，可得cosB，
所以sinC＝sin（A+B）＝sin（B）
＝sinBcoscosBsin；
（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4+c2﹣2×2ccosc2﹣2c+4，
根据△ABC是锐角三角形，可得cosB＞0且cosC＞0，
结合余弦定理得a2+c2＞b2且a2+b2＞c2，即2c2﹣2c+4＞4，c2﹣2c+8＞c2，解得1＜c＜4．
所以根据二次函数的性质，可得a2+4c＝c2+2c+4＝（c+1）2+3∈（7，28）．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差的三角函数公式、二次函数的性质等知识，属于中档题．
14．（2025 湖北模拟）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，4cosC+cos（A﹣B）＝3，c＝3．
（1）求证：a+b＝2c；
（2）若点M是边AB上靠近点B的三等分点，求CM的最小值．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式，结合正弦定理加以证明，可得所求结论；
（2）设CM＝x，∠CMB＝θ，利用余弦定理求解cos（π﹣θ）、cosθ，从而得到x、a的关系式，然后根据二次函数的性质求得CM的最小值．
【解答】（1）证明：在△ABC中，cosC＝﹣cos（π﹣C）＝﹣cos（A+B），
由4cosC+cos（A﹣B）＝3，可得﹣4cos（A+B）+cos（A﹣B）＝3，
整理得1+cos（A﹣B）＝4[1+cos（A+B）]，即．
结合∈（，），∈（0，），化简得，
由2sincos，
可得sinA+sinB，结合正弦定理，可得a+b＝2c．
（2）解：设CM＝x，∠CMB＝θ，结合题意可知AM＝2，BM＝1，
在△ACM中，由余弦定理得cos（π﹣θ），
在△BCM中，由余弦定理，得cosθ，
两式相加，结合cos（π﹣θ）＝﹣cosθ，可得0，
结合a+b＝2c＝6，整理得3x2+6＝2a2+b2＝2a2+（6﹣a）2＝3（a﹣2）2+24，
由二次函数的性质，可知当a＝2时，3x2+6＝24，达到最小值，此时x．
所以当a＝2，b＝4时，CM的最小值是．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理、二次函数的性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
15．（2025 杭州一模）已知在△ABC中，．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若点D在AB边上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积．
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求得，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状，
（2）利用余弦定理可求得，再利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
由及正弦定理，
可得，故，
由余弦定理，可得，
由于A∈（0，π），故，
又2cosB＝sinC，A+B＝π﹣C，
则，
化简可得，故，
由于B∈（0，π），故，
进而，
故三角形ABC为直角三角形；
（2）由（1）知：，，且△ABC为直角三角形，
设AB＝2x，则，
故在△ACD中，由余弦定理，
可得CD2＝AD2+AC2﹣2AD ACcosA，
即，
解得，
故．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查三角形形状的判定及三角形面积求法，属中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025高考数学模拟题分类汇编（一）——解三角形解答题
一．解答题（共15小题）
1．（2024 新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若a＝2，，求△ABC周长．
2．（2024 新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCcosB，a2+b2﹣c2．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3，求c．
3．（2025 浙江模拟）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若D为AC上一点，且AD＝2，DC＝1，BD为∠ABC的角平分线，求线段BD的长．
4．（2025 嘉兴模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为，求b．
5．（2025 河南一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）设．
（i）求c；
（ii）求tanA的值．
6．（2025 九江一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，a2＝c2+c+1．
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积．
7．（2025 无锡模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）延长CB到D，使得BD＝5，，求△ABC的面积．
8．（2025 南京模拟）在△ABC中，BC＝3，∠BAC．
（1）若AC＝2，求sinC；
（2）若D为边BC上的点且AD平分∠BAC，AD，求△ABC的面积．
9．（2025 武汉模拟）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若D为边AC上一点，且，求的值．
10．（2025 安徽模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＜b＜c且tanA，tanB，tanC均为整数．
（1）证明：tan2B﹣1＝tanAtanC；
（2）设AC的中点为D，求∠CDB的余弦值．
11．（2025 湖北模拟）设．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2，求△ABC周长的取值范围．
12．（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，且．
（1）求的值；
（2）设，求a+c的值．
13．（2025 重庆模拟）锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为．
（1）若a＝3，求sinC；
（2）求a2+4c的取值范围．
14．（2025 湖北模拟）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，4cosC+cos（A﹣B）＝3，c＝3．
（1）求证：a+b＝2c；
（2）若点M是边AB上靠近点B的三等分点，求CM的最小值．
15．（2025 杭州一模）已知在△ABC中，．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若点D在AB边上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑