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2025年九年级中考数学二轮复习专题：二次函数中等腰三角形存在性问题
1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
（3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣3，2），与y轴交于点B，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，x轴上一点N，使得△DNF是等腰直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与点C（0，3）．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标；
（2）点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如果S△CPQ＝2S△OPM，求PM的长；
（3）探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝4ax﹣12a经过点B、点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在第二象限的抛物线上，PE∥AB交线段BC于点E，设点P的横坐标为t，PE的长为d，求d与t的函数关系式；（直接写出t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，连接OP，点Q在线段OB上，过点Q作QF∥OP交PE于点F，过点Q作QD⊥OB，QD交BC于点D，连接CF、FD，当△FCD为CF为腰的等腰直角三角形时，求点D的坐标．
5．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和线段BC的长；
（2）在抛物线对称轴上找一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）运动过程中是否存在点P，使线段PQ的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明．
7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；
（3）如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使△FCG是以FG为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线的顶点D坐标是（1，﹣4），与x轴交于点A（﹣1，0），点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线沿着射线CB方向平移个单位长度，平移后新抛物线的顶点是点E，求△ABE的面积．
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以PB为腰的等腰直角△PMB，如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点C，与y轴交于点B（0，4），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若△PFQ是等腰三角形，求出所有符合条件的点Q的坐标．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC，求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）如果点p在坐标轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出p点坐标．
14．如图，二次函数的图象的顶点C的横坐标为﹣1，直线y＝﹣x+n与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，2），点B在y轴上．
（1）求n的值及二次函数的表达式．
（2）求△ABC的面积．
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
（1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式．
（2）若PF＝2PE，求m的值．
（3）在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A、B关于直线l对称，
∴BC与对称轴l的交点即为点E，如图，
则此时AE+CE＝BE+CE＝BC为最小，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3；
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
∴点E（﹣1，2）；
（3）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴，
当B为顶角的顶点时，
则，
∴点P的坐标为或；
当C为顶角的顶点时，
则PC＝BC，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴点P的坐标为（3，0）；
当BC为底边时，
则PC＝PB，即点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P的坐标为（0，0）；
综上，点P的坐标为（0，0）或（3，0）或或．
【点评】主要属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，等定系数法求函数解析式，解答本题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．
2．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x+＝x2﹣x﹣2，
解得：x＝﹣3（舍去）或5，
∴D（5，﹣2），
过点E作EG∥y轴交AC于点G，
设E（x，x2﹣x﹣2），则G（x，﹣x+），
∴EG＝﹣x+﹣x2+x+2，
∴S△ADE＝×8（﹣x+﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣1）2+，
∵﹣3＜x＜5，
∴当x＝1时，△ADE的面积最大为，
此时E（1，﹣）；
（3）存在一点F，x轴上一点N使得△DNF是等腰直角三角形，理由如下：
∵抛物线对称轴为直线x＝，
设N（x，0），
如图1：当∠FND＝90°，NF＝DN时，过点N作HI⊥x轴，过点F作FH⊥HI交于H点，过点D作DI⊥HI交于点I，
∵∠FND＝90°，
∴∠FNH+∠DNI＝90°，
∵∠FNH+∠HFN＝90°，
∴∠DNI＝∠HFN，
∴△FHN≌△NID（AAS），
∴FH＝NI＝2，HN＝ID，
∴|x﹣|＝2，
解得x＝或x＝，
则DI＝5﹣＝或DI＝5﹣＝，
则F（，）或（，）；
如图2，当∠FDN＝90°，DF＝DN时，过点K作KL∥x轴交对称轴于点K，过点N作NL⊥KL交于L点，
同理可证△FKD≌△DLN（AAS），
∴NL＝KD＝2，DL＝FK，
∵KD＝5﹣＝≠2，
∴此情况不存在；
如图3，当∠NFK＝90°，NF＝FD，过F点作TS∥x轴，过点N作TN⊥TS交于点T，过点D作DS⊥TS交于点S，
同理可证△FNT≌△DFS（AAS），
∴NT＝SF，DS＝TF，
∴NT＝，
∴F（，﹣）；
综上所述：F点坐标为（，）或（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
3．【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（﹣1，0）；
（2）设点P的横坐标为m，则Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
将A（3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，PM＝﹣m+3，
∵S△CPQ＝2S△OPM，
∴PQ OM＝2×OM PM，
∴PQ＝2PM，
即﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m＝2或3（舍去），
∴PM＝﹣m+3＝1；
（3）如图：
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
设点E的坐标为（1，a），
∵B（﹣1，0），C（0，3），
∴BC2＝12+32＝10，
BE2＝22+a2＝4+a2，
CE2＝12+（a﹣3）2＝a2﹣6a+10，
当BC＝BE时，4+a2＝10，
解得a＝±，
∴点E的坐标为（1，）或（1，﹣）；
当BC＝CE时，a2﹣6a+10＝10，
解得a＝0或6（此时，点B、C、E在同一直线上，舍去），
∴点E的坐标为（1，0）；
当CE＝BE时，4+a2＝a2﹣6a+10，
解得a＝1，
∴点E的坐标为（1，1）；
综上，存在，点E的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标表示线段长度，等腰三角形的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用以及分类思想的运用．
4．【解答】解：（1）在直线y＝4ax﹣12a中，
当y＝0时，4ax﹣12a＝0，
∴x＝3，
∴B的坐标为（3，0），
把点B的坐标（3，0）代入抛物线中得：﹣×9+3a﹣12a＝0，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+6；
（2）由（1）得：C（0，6），
当y＝0时，﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣4，
∴A的坐标为（﹣4，0），
设BC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣2x+6，
设点E的坐标为（x，﹣2x+6），
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2﹣t+6），
∵PE∥x轴，
∴﹣2x+6＝﹣t2﹣t+6，
∴x＝t2+t，
∴d＝t2+t﹣t＝t2﹣t（﹣4＜t＜0）；
（3）如图3，延长QD，PE交于点G，
设点D的坐标为（m，﹣2m+6），则Q（m，0），
∵OP∥FQ，PE∥AB，
∴四边形POQF是平行四边形，
∴PF＝OQ＝m，
∵DQ⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠G＝90°，
∵△CFD是以CF为腰的等腰直角三角形，
∴CF＝DF，∠CFD＝90°，
∴∠CFH+∠DFG＝90°，
∵∠CHF＝∠CFH+∠FCH＝90°，
∴∠DFG＝∠FCH，
∴△CFH≌△FDG（AAS），
∴FH＝DG，CH＝FG，
∴，
解①得：t2+3t＝0，
∴t1＝0（舍），t2＝﹣3，
把t＝﹣3代入②中得：3﹣m＝﹣++6﹣（﹣2m+6），
∴m＝2，
∴D（2，2）．
【点评】本题为二次函数的综合题，涉及待定系数法，函数与方程，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质和判定，坐标与图形的性质等知识点．在（1）中求出B的坐标是解题的关键，在（2）中求得直线BC解析式是解题的关键，在（3）证明△CFH≌△FDG是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量较大，综合性较强．
5．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
令抛物线y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
根据题意：B（3，0），
∵C（0，3），
则BC＝3；
（2）存在．
理由：∵BC＝3，
设点P（2，m），
由点P、B、C的坐标得，PB2＝1+m2，BC＝18，PC2＝4+（m﹣3）2，
当PB＝BC时，
则1+m2＝18，则m＝±，即点P（2，1±）
当PB＝PC或BC＝PC时，
同理可得：18＝4+（m﹣3）2或1+m2＝4+（m﹣3）2，
解得：m＝2或3±，
即点P（2，2）或（2，3±），
综上，P（2，1±）或（2，2）或（2，3±）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键．
6．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
（2）存在，
∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，
∴C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣8，
∵点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，
∴P（m，m2﹣2m﹣8），Q（m，2m﹣8），
∴PQ＝2m﹣8﹣（m2﹣2m﹣8）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，线段PQ的值最大，这个最大值为4，
此时P点的坐标为（2，﹣8）；
（3）由（2）直线BC的解析式为y＝2x﹣8，
设Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），
当CQ＝CA时，m2+（2m﹣8+8）2＝68，
解得m1＝，m2＝﹣（舍去）；
∴Q（，﹣8），
当AQ＝AC时，（m+2）2+（2m﹣8）2＝68，
解得：m1＝（舍去），m2＝0（舍去）；
当QA＝QC时，（m+2）2+（2m﹣8）2＝m2+（2m）2，
解得m＝，
∴Q（，﹣）．
综上所述，满足条件的Q点坐标为（，﹣8）或（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），将点A、B的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，
又∵AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
令x＝0时，则有y＝﹣3，即C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，OA＝1，
∴；
同理，
∴此时△AMC的周长＝；
∵DE是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；
（3）存在点P，使△FCG是以FG为腰的等腰三角形；m＝4或或；理由如下：
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把点B、C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵点P的横坐标为m，
∴点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（m﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3﹣m+3）2＝（﹣m2+3m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝（m﹣0）2+（m﹣3+3）2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+3m）2＝（m2﹣4m）2+m2，
解得m＝0（舍去）或4；
当FG＝CG时，则（﹣m2+3m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或；
综上，存在点P，使△FCG是以FG为腰的等腰三角形；m＝4或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
8．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，得：
，
解得，
∴；
（2）令y＝0，则，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设，则G（t，﹣t+8），
∴，
∴，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，5），设M（3，m），
∴，，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，，
解得或，
∴或；
当BM＝EM时，，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，﹣5）或或．
【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合﹣面积问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
9．【解答】解：（1）点A（1，0）关于x＝﹣1的对称点B（﹣3，0），
设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y＝a（x﹣1）（x+3），
该抛物线又过C（0，3），则有：3＝﹣3a，解得a＝﹣1，
即y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；
（2）在对称轴上存在一点P，使得△ACP为等腰三角形；点P的坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）．理由如下：
设P（﹣1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴AP2＝（1+1）2+t2＝4+t2，CP2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，AC2＝12+32＝10，
∵△APC为等腰三角形，
∴有AP＝CP、AP＝AC和CP＝AC三种情况，
①当AP＝CP时，则有AP2＝CP2，即4+t2＝t2﹣6t+10，
解得t＝1，
此时P（﹣1，1）；
②当AP＝AC时，则有AP2＝AC2，即4+t2＝10，
解得t＝，
此时P（﹣1，）或（﹣1，）；
③当CP＝AC时，则有CP2＝AC2，即t2﹣6t+10＝10，
解得t＝0或t＝6，
此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6），
设直线AC解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝﹣3x+3，
当x＝﹣1时y＝6，则P（﹣1，6）在直线AC上，
综上，在对称轴上存在一点P，使得△ACP为等腰三角形；点P的坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
10．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的函数关系式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把点A（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的函数关系式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵顶点D坐标是（1，﹣4），
∴对称轴是：直线x＝1，
∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵将抛物线沿着射线CB方向平移个单位长度，
∴将抛物线向上平移3个单位，再向右平移3个单位，得到的解析式为：y＝（x﹣1﹣3）2﹣4+3，即y＝（x﹣4）2﹣1，
∴平移后新抛物线的顶点是点E的坐标为（4，﹣1），如图1，
∴△ABE的面积＝×4×1＝2；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，分以下几种情况讨论：
①当∠BPM＝90°时，PM＝PB，如图2，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
②当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
如图3，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GB于点H，过点M作MG⊥HG于点G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠H＝∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，∠H＝∠G＝90°，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得：t1＝2+，t2＝2﹣，
∴点M的坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点的坐标为（1﹣，﹣2）；
③如图4，当P点在M点下方时，PB＝PM，过点B作TS⊥x轴，过点M作MT⊥TS于T，过点P作PS⊥TS于S，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBS+∠MBT＝90°，
∵∠PBS+∠BPS＝90°，
∴∠MBT＝∠BPS，
∵BP＝BM，∠T＝∠S＝90°，
∴△BPS≌△MBT（AAS），
∴BS＝MT，PS＝BT＝2，
设P（1，t），则M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得：t1＝﹣2+，t2＝﹣2﹣，
∴点M的坐标为（1﹣，2）或（1+，2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点的坐标为（1﹣，﹣2）；
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（1﹣，﹣2）或（1﹣，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，平移的原则等知识，正确作辅助线构建全等三角形，并注意用分类讨论的思想解决问题．
11．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点C，与y轴交于点B（0，4），将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
过点P作x轴的垂线交AB于点H，如图：
设P（x，﹣x2﹣3x+4），
∴H（x，x+4），
∴PH＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∵△ABP面积＝×PH×AO，
∴S△ABP＝×（﹣x2﹣4x）×4＝﹣2x2﹣8x＝﹣2（x+2）2+8，
∴当x＝﹣2时，△ABP面积最大值为8，
此时P（﹣2，6）；
（3）抛物线整理得：y＝﹣x2﹣3x+4＝，
∴顶点F的坐标为，对称轴为直线，
设点Q的坐标为，
∴QF2＝，PF2＝＝，PQ2＝，
当QF＝PF时，则＝，
解得：，，
∴此时点Q的坐标为：，；
当QF＝PQ时，则＝，
解得：，
∴点Q的坐标为：；
当PQ＝PF时，＝，
解得：m1＝，m2＝，
当m＝时，P、Q重合，不合题意，舍去，
∴此时点Q的坐标为（﹣，）；
综上所述，点Q的坐标为（，），（﹣，），（﹣，），（，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，与x轴交于另一点B．
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称，
∴点B的坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），把点C的坐标代入得：
2＝﹣4a，
解得：，
∴；
（2）点P为直线AC上方的抛物线上的一点，设，
如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，将A（﹣4，0），C（0，2）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝，
∴Q（m，m+2），
∴PQ＝m+2﹣（m+2）＝﹣2m，
∴S△PAC＝PQ×4＝2PQ＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，S△PAC的最大值是4，此时P（﹣2，3）．
（3）设点，
∵B（1，0），C（0，2），
当QB＝QC时，，
解得：q＝0，即；
当QB＝BC时，，该方程无解；
当QC＝BC时，，
解得：，即或．
综上，当点Q的坐标为或或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积综合、二次函数与几何综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
13．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，
∴令x＝0，得y＝4，即A（0，4），OA＝4．
∵△AOB的面积为6，
∴，
∵OA＝4，
∴OB＝3，
∴B（﹣3，0）；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与x轴的负半轴交于点B，
又∵B（﹣3，0），
∴﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+4＝0，
解得，
故二次函数解析式为；
（3）∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∵∠BOA＝90°，
∴．
①如图1，当AB＝AP，P在x轴上时，
∵AB＝AP，AO⊥BP，
∴OB＝OP＝3，
∴P（3，0）；
②如图2，当AB＝AP，P在y轴负半轴上时，
∵AB＝5，AB＝AP，
∴AP＝5．
∵OA＝4，
∴OP＝AP﹣OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
③同理，当AB＝AP，P在y轴正半轴上时，
∵AB＝5，AB＝AP，
∴AP＝5．
∵OA＝4，
∴OP＝AP+OA＝9，
∴P（0，9）；
④如图3，当BA＝BP，P在x轴负半轴上时，
∵AB＝5，AB＝BP，
∴BP＝5．
∵OB＝3，
∴OP＝OB+BP＝3+5＝8，
∴P（﹣8，0）．
⑤如图4，当BA＝BP，P在y轴负半轴上时，
∵AB＝BP，BO⊥AP，
∴OA＝OP＝4，
∴P（0，﹣4）．
⑥如图5，当BA＝BP，P在x轴正半轴上时，
∵AB＝5，AB＝BP，
∴BP＝5．
∵OB＝3，
∴OP＝PB﹣OB＝5﹣3＝2，
∴P（2，0）．
⑦如图6，作AB的垂直平分线交y轴于点P1，交x轴于点P2，则有P1A＝BP1，P2A＝BP2，连接P1B，P2A．
∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3
设AP1＝x，则P1B＝AP1＝x，OP1＝OA﹣AP1＝4﹣x，
在Rt△BOP1中，∠BOP1＝90°，
∴，即32+（4﹣x）2＝x2，
解得，即，．
∴，
同理，设OP2＝y，则AP2＝P2B＝OP2+OB＝y+3，OA＝4，
在Rt△AOP2中，∠AOP2＝90°，
∴，即42+y2＝（y+3）2，
解得，即，
∴，
综上，符合题意的P点坐标为：（3，0），（0，﹣1），（0，9），（﹣8，0），（0，﹣4），（2，0），，．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数相关性质是解题的关键．
14．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣3，2），
∴2＝3+n，
解得n＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣1．
令x＝0，则y＝﹣1，
∴点B（0，﹣1）．
设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c，由题意得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣1；
（2）由（1）知，直线AB的表达式为y＝﹣x﹣1，二次函数的对称轴为直线x＝﹣1．
设直线y＝﹣x﹣1与二次函数图象的对称轴交于点D，则点D（﹣1，0），
把x＝﹣1代入y＝x2+2x﹣1得：y＝﹣2，
∴点C（﹣1，﹣2），
∴△ABC的面积＝；
（3）在该二次函数的对称轴上存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形；理由如下：
设点Q（﹣1，m），
∵点B（0，﹣1），A（﹣3，2），
∴AB2＝18，AQ2＝4+（2﹣m）2，BQ2＝1+（m+1）2．
分两种情况：
①当AB＝AQ时，18＝4+（2﹣m）2，
解得，
∴点Q的坐标为或；
②当AB＝BQ时，18＝1+（m+1）2，
解得，
∴点Q的坐标为或．
综上所述，在该二次函数的对称轴上存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形；点Q的坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
15．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣4，
将点B代入可得4k﹣4＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m﹣4），则E（m，m2﹣3m﹣4），F（m，0），
∴PF＝4﹣m，PE＝﹣m2+4m，
∵PF＝2PE，
∴4﹣m＝2（﹣m2+4m），
解得m＝4（舍）或m＝；
（3）存在m使得△CPE为等腰直角三角形，理由如下：
由（2）可得，PC2＝2m2，PE2＝（m2﹣4m）2，CE2＝m2+（m2﹣3m）2，
当∠PCE＝90°时，PE2＝2PC2，即（m2﹣4m）2＝4m2，
解得m＝2或m＝6（舍）；
当∠CEP＝90°时，2CE2＝PC2，即2m2+2（m2﹣3m）2＝2m2，
解得m＝3或m＝0（舍）；
综上所述：m的值为3或2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
16．【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣1），
把C（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣1），
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，
答：二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）在直线AC上方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，
过N作ND∥y轴，交AC于D，如图：
设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0）、C（0，2）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
设N（n，﹣n2﹣n+2），则D（n，n+2），
∴ND＝（﹣n2﹣n+2）﹣（n+2）＝﹣n2﹣2n，
∴S△NAC＝ND |xC﹣xA|＝×（﹣n2﹣2n）×2＝﹣n2﹣2n＝﹣（n+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴当n＝﹣1时，S△NAC有最大值为1，此时N（﹣1，2），
答：在直线AC上方的抛物线上存在点N（﹣1，2），使△NAC的面积最大为1；
（3）在x轴上存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，
设M（t，0），而B（1，0），C（0，2），
∴BM2＝（t﹣1）2，CM2＝t2+4，BC2＝12+22＝5，
①当BC＝CM时，t2+4＝5，
解得t＝1（与B重合，舍去）或t＝﹣1，
∴M（﹣1，0）；
②当BM＝BC时，（t﹣1）2＝5，
解得t＝+1或t＝﹣+1，
∴M（+1，0）或（﹣+1，0）；
③当BM＝CM时，（t﹣1）2＝t2+4，
解得t＝﹣，
∴M（﹣，0），
综上所述，M坐标为（﹣1，0）或（+1，0）或（﹣+1，0）或（﹣，0）．
【点评】本题考查函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．

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