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2025年中考数学二轮复习专题：二次函数与相似三角形存在性问题练习
1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．连接AC，BC．若Q为抛物线上一点，直线OQ与线段AC交于点N，是否存在这样的点Q，使得以A，O，N为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请求出此时点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3）；
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接BC，CD，DB，求tan∠BDC的值；
（3）在（2）的条件下，点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当△CDB和△BMP相似时，求点P坐标．
3.如图，抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点坐标为P，对称轴交x轴于点D．
（1）求抛物线L的解析式和顶点P的坐标；
（2）已知抛物线L'与抛物线L关于点M（m，0）对称，点P的对称点为点P'，点D的对称点为点D'，若△PDB∽△MD'P'，求抛物线L'的解析式．
4.如图，在矩形OABC中，AO＝10，AB＝8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
5.已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2．当时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
6.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图1，连结PA，PC，求△PAC的面积的最大值；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与AC交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
7.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且A的坐标为（2，0），与y轴交于点C，连接BC，抛物线的对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上的一个动点．过点D作DE⊥OA于点E，DE与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
8.如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，2）、B（2，2）、C（3，﹣2），点P是抛物线y＝ax2+bx+c在x轴上方图象上一点，动直线分别交x轴、y轴于点D、E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当以A、C、P为顶点的三角形面积为6时，求出P点的坐标；
（3）当t＜0，点Q在抛物线y＝ax2+bx+c上运动时，是否存在点Q，使得以D为直角顶点的△QDE与△DOE相似，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
9.已知如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值以及此时点P的坐标；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．
11．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线BC，点D为第二象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△DBC面积最大值及此时点D坐标；
（3）如图2，点M也是第二象限抛物线上一个动点，直线OM交BC于点N，是否存在这样的点M，使以B、O、N为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP，是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
13．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若△ABE的面积取得最大值，求出这个最大值；
（3）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标．
14．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）的两点，与y轴交于点C（0，3），D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，PM⊥x轴于点M，与BC交于点E．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）设点P的横坐标为t（0＜t＜3），
①当t为何值时，线段PE的长最大；
②连数CD，求∠CBD的正弦值；
（3）是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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