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北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
课时1 直角三角形的性质与判定
直角三角形中角的关系
直角三角形中边角关系
逆命题和逆定理.（重点、难点）
学习目标
新课讲解
知识点1 直角三角形中角的关系
想一想
(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形
是直角三角形吗？为什么？
新课讲解
定理　　直角三角形的两个锐角互余.
定理　　有两个角互余的三角形是直角三角形.
新课讲解
知识点2 直角三角形中边角关系
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方.
A
C
B
新课讲解
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.
已知：如图 (1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形
新课讲解
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）.
∵AB2＋AC2＝BC2 ，
∴BC2 ＝ B′C′ 2.
∴BC ＝ B′C′.
∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS).
∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.
因此， △ABC是直角三角形.
新课讲解
知识点3 逆命题和逆定理
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
再观察下面三组命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
新课讲解
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
新课讲解
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别
是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称
为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么
它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理
的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
课堂小结
直角三角形角的关系：
定理　直角三角形的两个锐角互余.
定理　有两个角互余的三角形是直角三角形.
(2) 勾股定理及其逆定理：
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理逆定理　如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
(3) 互逆命题、互逆定理：
当堂小练
1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
当堂小练
2.下列说法正确的是(　　)
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
B
拓展与延伸
一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　　)
A．5 B.
C. D．5或
D
(1)性质：直角三角形的两个锐角　　　　　.
(2)判定：有两个角互余的三角形是　　　　　三角形.
(3)几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠B+∠A=　　　　；
若∠A与∠B互余，则△ABC是　　　　三角形.
直角三角形中有关角的性质及判定
互余　
直角
90°　
直角
1.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是
　　　　.
(2)(人教8上P14)如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
36°　
解：△ADE是直角三角形.理由如下：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.
∵∠2=∠1，∴∠A+∠1=90°.
在△AED中，∠A+∠1+∠ADE=180°，
∴∠ADE=90°.∴△ADE是直角三角形.
(1)性质：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则　　　　　　　.
(2)判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是　　　　　三角形.
几何语言：在△ABC中，∵a2+b2=c2，
∴△ABC为　　　 　三角形，∠ =90°.
直角三角形中有关边的性质及判定
a2+b2=c2
直角
直角
C
2.(1)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　　)
A.5　 B.　 C.　 D.5或

(2)已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是(　　)
A.②　 B.①②　 C.①③　 D.②③
D
D
(1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
　　　　和　　　　，那么这两个命题称为　　　　　命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
逆命题、逆定理
结论
条件
互逆　
3.(1)下列说法中，正确的是(　　)
A.任何一个命题都有逆命题
B.一个真命题的逆命题也是真命题
C.任何一个定理都有逆定理
D.任何一个定理都没有逆定理
(2)(2024杭州模拟)命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是 .
A
若a2=b2，则a=b
4.【例1】(北师8下P17)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠BAE=31°，∠CDE=59°，AE=2，DE=4，求AD的长.
解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA=180°，
即∠BAE+∠EAD+∠EDA+∠CDE=180°，
又∠BAE=31°，∠CDE=59°，
∴∠EAD+∠EDA=180°－31°－59°=90°.
∴∠AED=90°，即△AED是直角三角形.
∴AD==2.
5.【例2】写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)如果ab=0，那么a=0，b=0.
解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；
原命题为真，逆命题为真.
（2）逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0；
原命题为假，逆命题为真.
6.【例3】(2024洛阳期中)如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上.
(1)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(2)求△ABC的面积；
(3)求点A到BC边的距离.
解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：
由题意得，AB==，AC==，BC===4，
∴AB2+AC2=（）2+（）2=5+29=34≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形.
（2）由图可知
S△ABC=4×5－×2×1－×2×5－×4×4
=20－1－5－8=6.
（3）设点A到BC边的距离为h，
∵S△ABC=BC·h=6，∴h===，
∴点A到BC边的距离为.
7.(北师8下P16、人教8下P34)在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.求证：AB=AC.
证明：如图，∵AD是中线，BC=10 cm，
∴BD=BC=×10=5（cm）.
在△ABD中，AB=13 cm，BD=5 cm，AD=12 cm，
∴BD2+AD2=52+122=169，AB2=169，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，∠BDA=∠CDA=90°，又∵BD=CD，AD=AD，
∴△BDA≌△CDA（SAS），∴AB=AC.
★8. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：2CD2=AD2+DB2.
0.40
（1）证明： ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE.
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ECD－∠ACD=∠ACB－∠ACD，即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS）.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
（2）证明：∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°.
∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°.
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=90°.∴AD2+AE2=DE2.
由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2，
又在Rt△ECD中，DE2=CE2+CD2=2CD2，
∴2CD2=AD2+DB2.
(2)求证：2CD2=AD2+DB2.
请完成本节课后对应习题
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