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1.4解直角三角形知识梳理培优专题练习北师大版2024—2025学年九年级下册
一、直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
（1）三边之间的关系：a2+b2=_____；（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______；
（3）直角三角形斜边上的中线等于_______；
（4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______．
二、解直角三角形的四种类型：
已知条件 解法
两条直角边a、
c=______, tanA=______, ∠B=_______.
一条直角边a和斜边c b=______, sinA=_____, ∠B=______.
一条直角边a和锐角A c=_______, b=_______, ∠B=_______
斜边c和锐角A a=_______, b=_______, ∠B=______
三、30°，45°，60°的三角函数值
a 30° 45° 60°
sina
cosa
tana
cota
四、解直角三角形：
只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
题型一、已知一个锐角的三角函数值和一条直角边
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长.
例2、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
例3．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
例4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．
题型二、已知一个锐角的三角函数值构造直角三角形
例1．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
例2．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，BC∥AD，连接AC交BD于点E，∠BAC＝∠ADB，且．
（1）求BD的长；
（2）若，求CD的长．
例3．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．
（1）求∠ABC的正弦值；
（2）求的值．
例4．如图，在△ABC中，AC＝16，，点D在边BC上，CD＝2BD，AD＝CD．
（1）求BD的长；
（2）求∠CAB的正切值．
例5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
题型三、解斜三角形
例1．如图，在△ABC中，．
（1）求AC的值．
（2）求△ABC的面积（结果保留根号）
例2．如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．
例3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是边BC上的中线，sin∠DAB＝，BD＝3．求：
（1）AB的长；
（2）∠CAB的余切值．
例4． 如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则S1：S2（　　）
A．5：8 B．8：5 C．1：1 D．2：7
题型四、在网格中求一个锐角的三角函数
例1．在如图所示的4×4正方形网格中，点A，B，C都在格点上，tan∠ABC的值是（　　）
B．
C． D．
例2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）
B．
C． D．
例3．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　）
B．
C． D．
例4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　）
A．2 B．
C．3 D．
课后练习
1．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是（　　）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化 D．不能确定
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　）
A．3 B．6
C．8 D．9
3．在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD＝，tan∠CAD＝，则∠BAC的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　）
A．6 B．2 C．2 D．9
5．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　）
B．
C． D．
6．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（　　）
A．1 B．
C． D．
7．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACB的值为（　　）
B．
C． D．
8.如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（　　）
B．
C． D．
9.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
B．
C． D．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　 　．
11.如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝
∴＝
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．

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