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2.5一元二次方程根与系数的关系培优北师大版2024—2025学年九年级上册
例1.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根，
（1）求x1+ x2与x1·x2 的值
（2）求+的值
（3）求的值
（4）求的值
练习1．已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0两根为x1、x2，则x1+x2＝　 　．
练习2.已知 x1，x2是关于 x 的方程﹣x2+2x+4＝0 的两个根，则 x1+x2﹣x1x2＝　 　．
练习3.若x1，x2是x2﹣6x﹣7＝0的根，则x1 x2＝　 　．
练习4.已知x1、x2是方程x2+4x﹣12＝0的两个实数根，则　 　．
例2.关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，
（1）求m的取值范围
（2）若x1＝2求另一个根x2的值
（3）若x1+3x2＝5，求m的值
练习1.如果1是方程2x2﹣x+m＝0的一个根，则m＝　 　．
练习2.已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为　 　．
例3.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）当方程有一个根为﹣1时，求k的值及另一个根；
（2）当方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）若方程两实根x1、x2满足x1+x2＝x1 x2，求k的值．
练习1.已知关于x的方程：x2+ax+a﹣2＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根为x1，x2，若x1+x2＝1，求a的值．
例4．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
练习1．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
课后练习
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
2．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　；
（2）求+，x1+；
（3）已知+＝2p+1，求p的值．
8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
10．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
12．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
14．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
15．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝12，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足+＝14．求+4x2﹣10的值．
18．已知关于x的方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．

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