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2.6实数之培优训练实数的性质与运算北师大版2024—2025学年八年级上册
一、平方根、算术平方根和立方根
例1．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．1 B． 3 C． 4 D． 9
例2．已知的算术平方根是 ，的立方根是2．
（1）求的值； （2）求的平方根；
变式1．下列说法正确的是（　　）
A．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零
B．一个数的立方根和这个数同号，零的立方根是零
C．一个数的立方根不是正数就是负数
D．负数没有立方根
变式2．已知的平方根是，的平方根是．求：的算术平方根；
二、非负数的性质
例3．已知为实数，且，求的值．
例4．已知实数满足，且，
求的值；
变式3．若，求的值；
变式4．（1）已知非零实数满足，求的值；
（2）已知非负实数满足，求的值；
三、比较实数大小的方法
例5．是两个连续整数，若，则分别是（　　）
A．2，3 B． 3，2 C． 3，4 D． 6，8
例6．如果的小数部分为， 的整数部分为，则= ；
变式5．若整数满足，则的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
变式6．满足>0．99的最小整数的值是（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
四、数形结合
例7．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）
A．段① B． 段②
C． 段③ D． 段④
例8．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数____________表示的点重合；
变式7．张华想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
变式8．（1）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简=_________；
（2）．已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简．
五、观察与发现
例9．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即：，的整数部分为2，小数部分为。
请解答：（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2）如果的小数部分为， 的整数部分为，求的值；
例10．阅读下列解题过程：
====
===
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果．=　 　；
（2）利用上面提供的信息请化简：；
变式9．观察、发现： ====。
（1）试化简： ；
（2）直接写出结果： =　 　；
（3）求值： +++…+ ；
六、课后练习
1.一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，则这个正数为（　　）
A．5 B．10 C．25 D．±25
2.已知a＜0，化简的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2a
3.已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列命题中正确的是（　　）
A．丨a+b丨＝丨a丨+丨b丨 B．丨a﹣b丨＝丨a丨﹣丨b丨
C．丨a+b丨＝丨b丨﹣丨a丨 D．丨a﹣b丨＝丨b丨﹣丨a丨
4.若＝0，则a2+b2的算术平方根是　 　．
5.已知+＝y+4，则yx的平方根为　 　．
6.当x＝　 　时，有最小值，这个最小值为　 　．
7.已知实数x，y满足++y＝4，则代数式的值为　 　．
8.如果2＜x＜3，那么化简的最终结果是　 　．
9.如果，那么x的取值范围是　 　．
10.已知y＝，求y﹣x的平方根．
如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，
试化简：﹣|a﹣c|+．
12.阅读下面的文字，解答问题，例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．
请解答：（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）已知：9﹣小数部分是m，9+小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值
13.阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．
请解答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值
（3）已知：100+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++24﹣y的平方根．

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