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专题2 三角函数的图象与性质
2.1 三角函数的图象与性质综合运用
考点分布 考查频率 命题趋势
同角三角函数基本关系式 2024年甲卷第8题，5分 2023年甲卷第7题，5分 2023年乙卷第14题，5分 2025年新高考三角函数考查重点：一是同角三角函数基本关系及诱导公式，需复习三角函数定义，题型为选择或填空，难度适中；二是三角恒等变换，注重公式变形、应用及最值问题，同样以选择或填空形式出现，难度为基础至中档；三是三角函数的图象、性质及恒等变换，组合考查为热点，题型灵活，既可为基础或中档题，也可能成为压轴题。考生需全面掌握三角函数相关知识，灵活运用，以应对高考挑战。
三角恒等变换 2024年I卷第4题，5分 2024年II卷第13题，5分 2024年北京卷第12题，5分 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分
三角函数的图像与性质 2024年I卷第7题，5分 2024年II卷第6、9题，11分 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年甲卷第10题，5分 2023年乙卷第6题，5分 2023年I卷第15题，5分 2023年II卷第16题，5分
三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要集中在三个方面：
1）三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2）三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问题。
3）三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。
1．（2024新高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024新高考Ⅰ卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024新高考Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（多选题）（2024新高考Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
5．（2024新高考Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
6．（2024全国甲卷（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024全国甲卷（文））函数在上的最大值是 ．
8．（2024北京卷）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024天津卷）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
10．（2024北京卷）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
11．（2023新高考Ⅱ卷）已知为锐角，，则　　
A． B． C． D．
12．（2023新高考Ⅰ卷）已知，，则　　
A． B． C． D．
13．（2023全国乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则　　
A． B． C． D．
14．（2022新高考Ⅱ卷）若，则　　
A． B． C． D．
15．（2023北京卷）设函数．
(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
高频考点一 齐次化模型
核心知识：
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到。
典例1：（2024·陕西安康·三模）已知，则（ ）
A．6 B． C． D．2
变式训练
1.（2024·高三·江西宜春·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2024·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 辅助角与最值问题
核心知识：
第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
典例1：（2024·上海杨浦·高三校考期中）已知函数，当取得最大值时， .
变式训练：
1.（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
2．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
高频考点3 与三角函数有关的最值问题
核心知识：
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是与之间的关系.
三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。
典例1：（2024·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2025 山东高考模拟预测）已知函数，则的最小值是 ．
变式训练：
1.（2024·广东·高三校联考阶段练习）函数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
2.（2024·江苏·高三校联考）已知，求的最大值 .
高频考点4 绝对值与三角函数综合模型
核心知识：
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：，
典例1：（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小值为
C． D．在上有解
变式训练：
1．（2024·上海宝山·高三校考开学考试）已知，给出下述四个结论:①是偶函数; ②在上为减函数;③在上为增函数; ④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
2．（2024·云南昆明·高三校考阶段练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间上单调；③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
高频考点5 三角函数的综合性质
核心知识：
三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型，利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意计算准确性。
典例1：（多选题）（2024·重庆·校考一模）函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．的一个周期是 C．是偶函数 D．在上单调递减
变式训练：
1.（多选题）已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
2.（多选题）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为
高频考点6 w的取值与范围问题
核心知识：已知函数
1、在区间内没有零
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
典例1：（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
变式训练：
1．（2024·四川泸州·统考一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点7 换元法配凑角
核心知识：三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。
典例1：已知，则 .
变式训练：
1.若，则 .
2.设，若，则的值为 ．
高频考点8 三倍角公式
核心知识：
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
典例1：若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
变式训练：
1.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现给出三倍角公式和二倍角角公式，则t与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为锐角，且.则 .
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知，则m，n的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东茂名·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·海南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．0 B．4 C． D．0或4
8．（2024·北京·高三强基计划）在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2024·福建·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间上是增函数；③的最大值为2；④的周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
10.关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
11．（2024·北京·高三校考开学考试）已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·湖北·高三校联考）已知在上的最小值为，则的解有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
13.（2024·新疆·三模）已知，若函数在区间上有且只有个零点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
14.（2024·高三·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
15．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（多选题）（2024·福建泉州·二模）已知函数，则（ ）
A．在上的最大值为 B．为偶函数
C．为奇函数 D．在上单调递减
17．（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．
C．函数在上单调递增 D．方程的解为，
18．（多选题）（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．不等式的解集为
C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则
19．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是的一条对称轴
C．的值域为 D．在上单调递减
20.（多选题）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A．函数为偶函数 B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
21.（多选题）已知函数（，）图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则（ ）
A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增
D．当时，曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
22．（多选题）设函数的最小正零点为，则（ ）
A．的图象过定点 B．的最小正周期为
C．是等比数列 D．的前项和为
23．（2024·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ．
24．（2024·江苏徐州·高三校考阶段练习）若，，则 ．
25．（2024·天津河西·高三校考期末）已知直线的一个方向向量为，倾斜角为，则 ．
26.若函数在处取得最大值，则 .
27.（2024·高三·江西萍乡·期中）设，且，则实数的取值范围是 ．
28.已知，则的最大值为 .
29.已知，且，则 .
30．已知，，则 .
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专题2 三角函数的图象与性质
2.1 三角函数的图象与性质综合运用
考点分布 考查频率 命题趋势
同角三角函数基本关系式 2024年甲卷第8题，5分 2023年甲卷第7题，5分 2023年乙卷第14题，5分 2025年新高考三角函数考查重点：一是同角三角函数基本关系及诱导公式，需复习三角函数定义，题型为选择或填空，难度适中；二是三角恒等变换，注重公式变形、应用及最值问题，同样以选择或填空形式出现，难度为基础至中档；三是三角函数的图象、性质及恒等变换，组合考查为热点，题型灵活，既可为基础或中档题，也可能成为压轴题。考生需全面掌握三角函数相关知识，灵活运用，以应对高考挑战。
三角恒等变换 2024年I卷第4题，5分 2024年II卷第13题，5分 2024年北京卷第12题，5分 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分
三角函数的图像与性质 2024年I卷第7题，5分 2024年II卷第6、9题，11分 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年甲卷第10题，5分 2023年乙卷第6题，5分 2023年I卷第15题，5分 2023年II卷第16题，5分
三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要集中在三个方面：
1）三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2）三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问题。
3）三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。
1．（2024新高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，
如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C
2．（2024新高考Ⅰ卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
而，所以，故即，
从而，故，故选：A.
3．（2024新高考Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；综上所述：.
解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，
若，则，又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.
4．（多选题）（2024新高考Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC
5．（2024新高考Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得，
因为，，则，，又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
6．（2024全国甲卷（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，，
所以，故选：B.
7．（2024全国甲卷（文））函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】，当时，，
当时，即时，.故答案为：2
8．（2024北京卷）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，且，所以.故选：B.
9．（2024天津卷）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，故选：D
10．（2024北京卷）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.故答案为：.
11．（2023新高考Ⅱ卷）已知为锐角，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，则，故，
即，为锐角，，．故选：．
12．（2023新高考Ⅰ卷）已知，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，则．
故选：．
13．（2023全国乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意可知，，取，，
又根据“五点法“可得，，，，
，．故选：．
14．（2022新高考Ⅱ卷）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解法一：因为，
所以，即，
所以，所以，
所以，所以，，所以，所以．
解法二：由题意可得，，
即，
所以，故．故选：．
15．（2023北京卷）设函数．
(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为
所以，因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,所以，
又因为，所以，所以，
所以，因为，所以.所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.以下与条件②相同．
高频考点一 齐次化模型
核心知识：
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到。
典例1：（2024·陕西安康·三模）已知，则（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】故选：C.
变式训练
1.（2024·高三·江西宜春·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意若，则，不符合题意，
所以，
即，解得，故选：D
2．（2024·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则.
故选：C.
3．（2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
高频考点2 辅助角与最值问题
核心知识：
第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
典例1：（2024·上海杨浦·高三校考期中）已知函数，当取得最大值时， .
【答案】
【解析】由函数，其中，
当取得最大值，则，解得，
此时. 故答案为：.
变式训练：
1.（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由，其中，
则，可得，即，
两边平方化简可得，因此，
由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：.
2．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为，
所以，
所以
因为，所以，
，
当且仅当时取等，令，，，
所以.
则的范围是：.故答案为：
高频考点3 与三角函数有关的最值问题
核心知识：
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是，与之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是与之间的关系，第三类则是与之间的关系.
三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。
典例1：（2024·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，函数，
令，则，当，即时，，
所以函数的最小值是. 故选：D
典例2：（2025 山东高考模拟预测）已知函数，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．故答案为：.
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．故答案为：.
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．故答案为：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，
当且仅当时等号成立．故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．故答案为：.
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为：.
变式训练：
1.（2024·广东·高三校联考阶段练习）函数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】根据题意，设，则，
则原函数可化为，，所以当时，函数取最大值.故选：C.
2.（2024·江苏·高三校联考）已知，求的最大值 .
【答案】
【解析】∵，且，
∴，即，
所以，设，
由.故的最大值为.故答案为：
高频考点4 绝对值与三角函数综合模型
核心知识：
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：，
典例1：（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小值为
C． D．在上有解
【答案】D
【解析】，是以为周期的函数，
当时，，则，
，∴函数的最小正周期为，函数的最小值为1，故AB错误，
由，故C错误；
由，∴在上有解，故D正确.故选：D.
变式训练：
1．（2024·上海宝山·高三校考开学考试）已知，给出下述四个结论:①是偶函数; ②在上为减函数;③在上为增函数; ④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得的定义域为，关于原点对称，
因为
，所以是偶函数，故正确；
对于②和③，因为，
，
且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当时，，
因为，所以，
所以，所以；
当时，
因为，所以，所以；
当时，；
当时
因为，所以，所以，
所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；故选：D
2．（2024·云南昆明·高三校考阶段练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间上单调；③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，故选：A.
高频考点5 三角函数的综合性质
核心知识：
三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型，利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意计算准确性。
典例1：（多选题）（2024·重庆·校考一模）函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．的一个周期是 C．是偶函数 D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
由题意可得，即，
故，故，由于，故,故，
对于A，，A正确；
对于B，，即的一个周期是，B正确；
对于C，，
不妨取，此时，此时函数不是偶函数，即不是偶函数，C错误；
对于D，当时，，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，D正确，故选：ABD
变式训练：
1.（多选题）已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】的解析式经过辅助角公式变换可转化为正弦型，因为，
所以当时函数取得最小值，即直线是函数图象的一条对称轴，
又，所以，根据图象的对称性得到，
即，所以，
所以．
所以，解得，
则的最小正周期，，
当时，；当时，．验证得AD不符合题意，故选：BC．
2.（多选题）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为
【答案】AB
【解析】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而．又，所以，由得，
故，．
选项A：的最小正周期为，故，A正确．
选项B：令，解得，
故函数在上单调递减，B正确．
选项C：由于，，
故的图象不关于点中心对称，故C错误．
选项D：，
其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误．故选：AB
高频考点6 w的取值与范围问题
核心知识：已知函数
1、在区间内没有零
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
典例1：（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，故，即，故选：C
变式训练：
1．（2024·四川泸州·统考一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，则，
所以 其中，解得，所以，解得，
又因为，则．所以，．因此的取值范围是．故选：D．
2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，则，
所以 其中，解得，所以，解得，
又因为，则．当时，；当时，；
当时，．又因为2，因此的取值范围是．故选：B．
高频考点7 换元法配凑角
核心知识：三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。
典例1：已知，则 .
【答案】
【解析】所以.故答案为：.
变式训练：
1.若，则 .
【答案】/0.5
【解析】由得：，
所以
化简得到：，
所以；所以.故答案为：.
2.设，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】，若，，，
，，
．
故答案为：.
高频考点8 三倍角公式
核心知识：
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
典例1：若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以原不等式可变形为
令，则，
.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.又，所以. 故答案为：．
变式训练：
1.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现给出三倍角公式和二倍角角公式，则t与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，即，令，
则，，，即，
因为，所以，即，整理得，
解得，因为，所以，故．故选：B
2．已知为锐角，且.则 .
【答案】
【解析】由题设及三倍角的余弦公式，得，即.
故.故答案为:
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，令，
即或，即或，
当时，零点从小到大依次为，
因此有，即．故选：B．
2．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，可得，可得
则，
因为，所以与异号，可得为第二或第四象限，
当为第二象限角时，可得；当为第四象限角时，可得.故选：C.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为，所以，
因为，则．故选：B．
4．（2024·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【详解】，由，得，即，
所以，有，
所以，，
所以，
因为，所以，因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，
若，有两解，其中一解中有钝角，此情况不存在.
所以，解得，经检验符合题意，所以，
因为，所以，所以，
则，解得，
所以．故选：B．
5．（2024·河北衡水·三模）已知，则m，n的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，，，
则，
即，即.故选：D
6．（2024·广东茂名·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，则，
所以.故选：D
7．（2024·海南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．0 B．4 C． D．0或4
【答案】D
【解析】由，可得，
整理得或.故选：D.
8．（2024·北京·高三强基计划）在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则，
等号当，且，即时取得．因此所求代数式的最大值为2．故选：C
9．（2024·福建·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间上是增函数；③的最大值为2；④的周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】对①，根据偶函数的定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.对①，函数的定义域为关于原点对称，且，为偶函数，故①正确；
对②，当时，，则，在不恒成立，在区间上是增函数错误，故②错误；
对③，若的最大值为2，则，显然不可能同时取到，故③错误；
利用排除法，可选排除选项ACD.故选：B.
10.关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】的定义域为，
，所以是偶函数，①正确.
当时，是严格增函数，②正确.
当时，，所以在有无数个零点，则③错误.
，
所以不是的最小正周期，④错误. 综上所述，正确的为①②.故选：A
11．（2024·北京·高三校考开学考试）已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在上恰有4个不同的零点，
则方程在上恰有4个不同的解，即方程在上恰有4个不同的解，
所以函数与函数在上恰有4个不同的交点，
因为函数，且在上单调递减，
所以函数函数在上单调递减，且，，
函数是由函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
作出两个函数图象，如图：
要使函数与函数在上恰有4个不同的交点，
由图知：的周期满足，所以，
所以，即实数的取值范围为.故选：B
12．（2024·湖北·高三校联考）已知在上的最小值为，则的解有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当时，，而，显然不满足题意；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，所以，
此时在处取得最小值，即，
令，
因为，所以在上单调递减，
又在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又因为，由函数零点存在性定理可知，此时函数有唯一的零点，
也即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，则有，解得，
当时，则，结合余弦函数的图象可知，
函数在上的最小值为，解得，满足题意；
当时，则，此时在处取得最小值，即，从而将问题转化为与的图像有多少个交点，
因为，所以在上单调递增，
又，，
则与的大致图像如下，
所以与的图像有唯一交点，
即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
综上可知，的解有3个，故选：C.
13.（2024·新疆·三模）已知，若函数在区间上有且只有个零点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵在区间上有且只有个零点，
∴令，当时，，
∴在区间上有且只有个零点，即在区间上有且只有个零点，
又∵的零点（即对称中心的横坐标）为，，
∴当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，∴，解得.故选：D.
14.（2024·高三·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【解析】因直线是一条对称轴，所以，.
整理可得：，即，. 由，得.
则函数在上单调递增.
因为函数在区间上不单调，所以.
解得.因为，且，所以的最小值为11.故选：C.
15．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．
16．（多选题）（2024·福建泉州·二模）已知函数，则（ ）
A．在上的最大值为 B．为偶函数
C．为奇函数 D．在上单调递减
【答案】BD
【详解】
,
对于A，，所以，所以，则在上的值域为，函数的最大值为，故A错误；
对于B，设，则，所以为偶函数，故B正确；
对于C，设，则，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D正确；故选：BD
17．（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．
C．函数在上单调递增 D．方程的解为，
【答案】ABD
【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，所以，
因为，则，则，
因为，则，所以，故B正确；
对于C，，由，得，
而，即时，没有意义，故C错误；
对于D，，则，方程，得，
即，即，
所以或，因为，，
所以或，解得或，故D正确.故选：ABD.
18．（多选题）（2024·湖北襄阳·二模）已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．不等式的解集为
C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则
【答案】BD
【详解】，
，为奇函数，A选项错误；
函数的图像横坐标缩短为原来的倍，得函数的图像，
再向左平移单位，得到函数的图像，
若，即，
则有，解得，B选项正确；
时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
时，有，函数在的零点为，
则有，，，所以，D选项正确.故选：BD
19．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是的一条对称轴
C．的值域为 D．在上单调递减
【答案】BCD
【解析】，
图像如图所示：
由图像可得，函数的最小正周期为，故选项A错误，不符合题意；
是的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；的值域为，故选项C正确，符合题意；
在上单调递减，选项D正确，符合题意；故选：BCD.
20.（多选题）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A．函数为偶函数 B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】由题意的最小正周期为，得：，
对于恒成立，则，
图象关于直线对称，代入，得到，
由于，取，则，
所以为偶函数，
当时，，所以，所以的值域为，故B错误；将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
21.（多选题）已知函数（，）图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则（ ）
A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增
D．当时，曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
【答案】AB
【解析】对于A，因图象的两条对称轴间距离的最小值为，则的最小正周期为，故A正确；对于B，由A分析可得，，因为的一个零点，
则，因，取，则.
得，故B正确；
对于C，，因在上不单调，故C错误；
对于D，由AB分析可画出在上的图象如图所示，则与有4个交点，设其横坐标从左到右依次为，，，，令，，得，，
所以函数的对称轴方程为，，当时，，当时，，
数形结合可知，故D错误．故选：AB．
22．（多选题）设函数的最小正零点为，则（ ）
A．的图象过定点 B．的最小正周期为
C．是等比数列 D．的前项和为
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，的最小正周期为，故B错误；
对于C，令，得，所以，
整理得，即的零点为，
而是的最小正零点，则，，显然，，，
所以是，的等比数列，故C正确；对于D，的前项和为，故D错误.故选：AC.
23．（2024·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数（，）的周期为，又，所以，
所以，即，
因为，所以，解得，所以，因为，所以，
要使在内恰有10个零点，则.所以的取值范围是.故答案为：.
24．（2024·江苏徐州·高三校考阶段练习）若，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，解得，故答案为：.
25．（2024·天津河西·高三校考期末）已知直线的一个方向向量为，倾斜角为，则 ．
【答案】-1
【解析】因为直线的一个方向向量为，所以，所以，
所以
．故答案为：．
26.若函数在处取得最大值，则 .
【答案】
【解析】因为，设，，
则，，当，时，
即当，函数取最大值，最大值为，所以，
所以.故答案为：.
27.（2024·高三·江西萍乡·期中）设，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
令，则，且，
所以，
因为是上的减函数，所以，
即．故答案为：
28.已知，则的最大值为
【答案】
【解析】，设，，
，其中，
可知当时，.故答案为：
29.已知，且，则 .
【答案】
【解析】由于，，故.
而，故.
所以. 故答案为：
30．已知，，则 .
【答案】/
【解析】由可得，则，
因为，所以，
则.
故答案为：
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